二次函数与菱形的专题

1、二次函数与菱形1如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左 侧，B 点的坐标为(3，0)，与 y 轴交于 C(0,- 3)点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.(1) 求这个二次函数的表达式.(2)当点 P 运动到什么位置时， 四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.2已知抛物线 y=a+bx+8(a 1)过点 D (5，3)，与 x 轴交于点 B、C (点 B、C 均在 y 轴右侧)且 BC=2,直线 BD 交 y 轴于点 A.(1) 求抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否

2、存在一点 ”， 使厶 ABN 与厶 BCD 相似若存在， 求出点 A、 N 的坐标； 若不存 在，请说明理由.(3) 在直线 BD 上是否存在一点 P 和平面内一点 Q，使以 Q、P、B、C 四点为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，二次函数图象的顶点为坐标原点 O, y 轴为对称轴，且经过点 A (3, 3)，一次函数的图 象经过点 A 和点 B (6，0).(1) 求二次函数与一次函数的解析式；(2) 如果一次函数图象与 y 轴相交于点 C，E 是抛物线上 OA 段上一点，过点 E 作 y 轴平行的直线 DE与直线 AC 交于点 D，ZDOE

3、=/ EDA 求点 E 的坐标；(3)点M是线段 AC 延长线上的一个动点，过点M作 y 轴的平行线交抛物线于 F,以点 0、C、M、 F为顶点的四边形能否为菱形若能，求出点 F 的坐标；若不能，请说明理由.4如图，已知抛物线经过原点 0 和 x 轴上一点 A (4, 0),抛物线顶点为 E,它的对称轴与 x 轴交于 点 D直线 y=- 2x- 1 经过抛物线上一点 B (- 2，m)且与 y 轴交于点 C,与抛物线的对称轴交于 点 F.(1) 求 m 的值及该抛物线对应的解析式；(2)P (x，y)是抛物线上的一点，若SADP=&ADC,求出所有符合条件的点 P 的坐标；(3)点 Q 是平面

4、内任意一点，点 M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设点 M 的运动时间为 t 秒，是否能使以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形若能，请B (-3, 0 )、C(- 1 , 0).以 D 为顶点的抛物线 y=af+bx+c 过点 B动点 P 从点 D 出发，沿 DC 边向点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 边向点 A 运动，点 P、Q 运动的速度均为每秒 1 个单 位，运动的时间为 t 秒过点 P 作 PEI CD 交 BD 于点 E,过点 E 作 EF 丄 AD 于点 F,交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)当 t 为何值

5、时，四边形 BDGQ 的面积最大最大值为多少直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由.5如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 A(3,4）、(3) 动点 P、Q 运动过程中，在矩形 ABCD 内(包括其边界)是否存在点 H,使以 B, Q, E, H 为 顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由.6.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y=axX2-2ax- 3a 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 的正半轴于点 C,连接 BC,且 OB=OC(1) 求抛物线的解析式；(2)如图 2,点 D 为第一象限抛物线上一点，过点 D

6、 作 DE 丄 BC 于点 E,设 DE=d 点 D 的横坐标 为t，求 d 与 t 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点 F 为抛物线的顶点，对称轴交 x 轴于点 G，连接 DF,过 D 作 DH 丄 DF 交 FG于点 H,点M为对称轴左侧抛物线上一点，点 N 为平面上一点且 tan/ HDN=,当四边形 DHMN 为菱形时，求点 N 的坐标.7.如图，抛物线 y=a?- 2x+c( a 0)与 x 轴、y 轴分别交于点 A, B, C 三点，已知点 A(- 2, 0), 点 C(0,- 8)，点 D 是抛物线的顶点.(1) 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)如图 1,抛物线的

7、对称轴与 x 轴交于点 E,第四象限的抛物线上有一点 卩， 将厶 EBP 沿直线 EP 折叠，使点 B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上，求点 P 的坐标；(3)如图 2，设 BC 交抛物线的对称轴于点 F,作直线 CD,点M是直线 CD 上的动点，点 N 是平8 .如图，ABCD 的两个顶点 B, D 都在抛物线 y=xbx+c 上，且 OB=OC AB=5, tan / ACB=面内一点，当以点B,F, M,(1) 求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点 E,使以 A, C, D, E 为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点 E 的坐 标；若不存在，请说明理由.(3) 动点 P 从点

8、A 出发向点 D 运动，同时动点 Q 从点 C 出发向点 A 运动，运动速度都是每秒 1 个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动， 运动时间为 t (秒)当 t 为何值时， APQ 是直角三角形9如图，抛物线 y=- ：x2-x+1 与 y 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B,过点 B 作 BC 丄 x轴，垂足为点 C (- 3, 0).(1) 求直线 AB 的函数关系式；(2)动点 E 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 移动， 过点 E 作 EG 丄 x 轴， 交直 线AB 于点 F,交抛物线于点 G设点 E 移动的时间为 t 秒，GF 的长

9、度为 s 个单位，求 s 与 t 的函 数关系式，并写出 t 的取值范围；(3) 设在(2)的条件下(不考虑点 E 与点 0、C 重合的情况)，连接 CF, BG,当 t 为何值时，四 边形 BCFG为平行四边形问对于所求的 t 值，平行四边形 BCFG 是否菱形请说明理由.10如图，已知抛物线 y=af+c 过点(-2, 2), (4, 5),过定点 F (0, 2)的直线 I: y=kx+2 与抛 物线交于 A、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 C.(1) 求抛物线的解析式；(2)当点 B 在抛物线上运动时，判断线段 BF 与 BC 的数量关系(、=)

10、,并证明你的判断；(3)P 为 y 轴上一点，以 B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形，设点 P (0, m),求自然数 m 的值;(4)若 k=1，在直线 I 下方的抛物线上是否存在点 Q,使得 QBF 的面积最大若存在，求出点 Q 的坐标及厶 QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由.11 如图，抛物线 y=ax2+bx- 2 的对称轴是直线 x=1，与 x 轴交于 A, B 两点，与 y 轴交于点 C,点 A 的坐标为(-2, 0)，点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD 丄 x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E.(1) 求抛物线解析式；(2) 若点 P 在第一象限内，当 0

11、D=4PE 时，求四边形 POBE 的面积；(3) 在(2)的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.12如图 1,抛物线 y=af+bx+4 的图象过 A (- 1，0)，B (4，0)两点，与 y 轴交于点 C,作直线 BC,动点 P从点 C 出发，以每秒个单位长度的速度沿 CB 向点 B 运动，运动时间为 t 秒，当点 P 与 点 B 重合时停止运动.(1)求抛物线的表达式；(2) 如图 2,当 t=1 时，求&ACP的面积；(

12、3) 如图 3,过点 P 向 x 轴作垂线分别交 x 轴，抛物线于 E、F 两点.1求 PF 的长度关于 t 的函数表达式，并求出 PF 的长度的最大值；2连接 PCF 沿 CF 折叠得到厶 P CF,当 t 为何值时，四边形 PFP C 是菱形13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=af+bx+3 与 x 轴交于点 A (- 4, 0), B (- 1, 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限的抛物线上有一动点 D.1如图(1),若四边形 ODAE 是以OA为对角线的平行四边形， 当平行四边形 ODAE 的面积为 6 时, 请判断平行四边形 ODAE 是否为菱形说明理由.2

13、如图(2),直线丫寺+3 与抛物线交于点 Q、C 两点，过点 D 作直线 DF 丄 x 轴于点 H,交 QC 于 点 F.请问是否存在这样的点 D,使点 D 到直线 CQ 的距离与点 C 到直线 DF 的距离之比为：2 若存 在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=a (x+1)2- 3 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C (0,-善)，顶点为 D,对称轴与 x 轴交于点 H,过点 H 的直线 I 交抛物 线于 P, Q 两点，点Q 在 y 轴的右侧.(1) 求 a 的值及点 A, B

14、的坐标；(2) 当直线 I 将四边形 ABCD 分为面积比为 3: 7 的两部分时，求直线 I 的函数表达式；(3) 当点 P 位于第二象限时，设 PQ 的中点为M，点 N 在抛物线上，则以 DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形若能，求出点 N 的坐标；若不能，请说明理由.15. 已知， 如图， 在平面直角坐标系中， ABC 的边 BC 在 x 轴上， 顶点 A 在 y 轴的正半轴上， 0A=2, 0B=1,0C=4（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）设点 G 是对称轴上一点，求当 GAB 周长最小时，点 G 的坐标；（3） 若抛物线对称轴交 x 轴于点 P,在平面直角坐

15、标系中，是否存在点 0,使厶 PAQ 是以 PA 为腰 的等腰直角三角形若存在，写出所有符合条件的点Q 的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不 存在，说明理由；（4） 设点 M 是 x 轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N,使得以点 A、B、M、 N为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，说明理由.16. 如图，已知抛物线 Ci: y=-丄 x2,平移抛物线 y=*,使其顶点 D 落在抛物线 Ci位于 y 轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为 C2,且 C2与 y 轴交于点 C （0, 2）.（1）求抛物线 C2的解析式；（2）抛物线 C2与 x 轴交于 A,

16、 B 两点（点 B 在点 A 的右侧），求点 A, B 的坐标及过点 A, B, C 的 圆的圆心 E 的坐标；(3)在过点(0,)且平行于 x 轴的直线上是否存在点 F,使四边形 CEBF 为菱形若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.17. 如图，直线 y=x- 4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y 丄 x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C,连接 BC.(1 )求抛物线的解析式及点 C 的坐标；(2) 点M在抛物线上，连接 MB，当/ MBA+ZCBO=45 时，求点M的坐标；(3) 点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C 向

17、A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由 B 向 C 运 动，P、Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C 点时，P、Q 同时停止运动，试问在 坐标平面内是否存在点 D,使 P、Q 运动过程中的某一时刻，以 C D、P、Q 为顶点的四边形为菱 形若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，说明理由.抛物线与菱形的专题参考答案1解：(1)将 B、C 两点的坐标代入得-=4 ,2解：（1） 设 B 点坐标为 （ xi, 0）, C 点坐标为（X2, 0）,则 xi、X2是方程 ax2+bx+8=0 的两根,V - 2 ;c-3所以二次函数的表达式为：y=xI 2- 2

18、x- 3（2）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 0B 交于点 F,设 P （x, x2- 2x- 3）,解得:易得，直线 BC 的解析式为 y=x- 3 则Q 点的坐标为（x, x- 3）;S四边形ABPCFSAABC+SABPQ+SACPQABOC+QPOF+QPBF2 2=十:xqx 內* （ - J 十捡）x3= （10 分）当时，四边形 ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为，四边形 ABPC 的面积的最大值为.24（3）存在点 P,使四边形 POPC 为菱形;设 P 点坐标为（x, x2- 2x- 3）, PP交 CO 于 E若四边形 POP C 是菱形，则有

19、PC=PO;连接 PP,贝 U PE CO 于 E, OE=EC=-2- y=; （6 分） x2- 2x- 3=,X2=2 P 点的坐标为（二 ,）2（不合题意， 舍去）1ViX 什 x2=-a,X1X2把 D 点坐标代入抛物线解析式可得 25a+5b+8=3,f 1由可解得斗 1 或 二（舍去），I 21抛物线解析式为 y= - 6x+8；(2)在y=x2- 6x+8 中，令 y=0 可得 x2- 6x+8=0,解得 x=2 或 x=4, B (2, 0), C (4, 0),设直线 BD 解析式为 y=kx+s把 B D 坐标代入可得r2k4s=o，解得E ,L5k+s=3直线 BD 解

20、析式为 y=x-2,- A (0,- 2),当点 N 在 x 轴上时，设 N (x, 0),则点 N 应在点 B 左侧, BN=2-x ,- A (0, - 2), B (2 , 0), D (5 , 3), AB=2, BD=3vZABN=ZDBC,有 BCD BNA 或厶 BCD BAN,当厶 BCD BNA 时,则有=,即=,解得 x=- 3当厶 BCD BAN时,则有=,即=,解得 x=- 4,此时N 点坐标为（-4,0）;当点 N 在 y 轴上时，设 N （0 , y）,则点 N 应在 A 点上方, AN=y+2 , 由上可知有 BCD ABN 或厶 BCD ANB,当厶 BCaAA

21、BN 时,则有=,即=,解得 y=4 ,此时 N 点坐标为（0,4）;综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（,0)或(-4 , 0)或(0 , 4)或(0 ,(3)v点 P 在直线 BD 上,可设 P (t , t - 2), BP= |=|t-2|,PC= ： 二.： =. i . .,v以 Q、P、B、C 四点为顶点的四边形为菱形,当厶 BCD ANB 时,则有=,即=,解得 y=-,此时 N 点坐标为（0 ,） ；） ；,此时 N 点坐标为有 BC 为边或 BC 为对角线，当 BC 为边时，则有 BP=BC 即|t - 2|=2，解得 t=2+或 t=2 -，此时 P 点坐标为（2+

22、,）或（2 当 BC 为对角线时，则有 BP=PC 即|t - 2|=我十+20，解得 t=3,此时 P 点坐标为（3，1）;综上可知存在满足条件的点 P,其坐标为（2+，）或（2-,）或（3，1）.3.解: （1 ）设二次函数的解析式为 y=af，把点 A （3, 3）代入得 3=ax32,解得 a 丄;设一次函数的解析式为 y=kx+b,把点 A （3, 3）、点 B （6, 0）代入得 PkU=3,解得,6k+b=0 （b-C所以二次函数与一次函数的解析式分别为 y 丄 x2, y=- x+6;kJ（2） C 点坐标为（0, 6）, DE/ y 轴， / ODE=Z COD, / EDA

23、=/ OCD,vZDOE=Z EDA / DOE=Z OCD,OCADOE, OC: OD=OD DE,即 OD2=OCDE设 E 点坐标为（a , a2）,则 D 点坐标为（a , 6 - a）,JOD2=a2+ (6-a)2, =2 厂 12a+36,2a2-12a+36=6（6-a-討，解得ai=0,违，vE 是抛物线上 OA 段上一点, 0vav3, _3冇，点 E 坐标为（伶,|）;（3）以点 O、CM、F 为顶点的四边形不能为菱形理由如下：如图,过 O 点作 OF/ AC 交抛物线于 F,过 F 点作 FM/ y 轴交 AC 延长线于 M 点,交 x 轴于 H 点, 则四边形 OC

24、MF 为平行四边形，vOC=OB=6 OCB 为等腰直角三角形,/ OBC=45,/ HOF=45, OHF 为等腰直角三角形， HO=HF,设 F 点坐标为(m,- m) (m0),把 F( m，- m)代入 yx2得-mJm2,解得 mi=0, m= - 3, HO=HF=3 OF=OH=3而 OC=6四边形 OCMF 不为菱形.4解：(1 )点 B (-2 , m)在直线 y=- 2x- 1 上m=3 即 B (-2 , 3)又抛物线经过原点 0设抛物线的解析式为 y=ax2+bx点 B (- 2 , 3), A (4 , 0)在抛物线上.庠-2X31 命+420(二解得：广 4 .b=

25、 - 1设抛物线的解析式为 y=-工.4(2)TP (x , y)是抛物线上的一点，P g/ -X),4若Sx ADF=SxADC, %应冷肚叩匚,SAADP 詁处 lyI ,又点 C 是直线 y=-2x- 1 与 y 轴交点，C (0, 1),OC=1 ,m2=- igx? _K|二,即寺/- 或1,1444解得:只尸曲2皈、丫尹-2逅、巧二工旷？.点 P 的坐标为Pj (2+22. I)，P2(2-2D , p3仏-n(3)结论：存在.抛物线的解析式为v=lK2-K,4顶点 E ( 2,- 1),对称轴为 x=2;点 F 是直线 y=- 2x- 1 与对称轴 x=2 的交点， F ( 2,

26、- 5) , DF=5.又 A (4, 0), AE=.如右图所示，在点 M 的运动过程中，依次出现四个菱形：1菱形AEMIQI.此时DMI=AE=,-MIF=DF-DE-DM1=4-,ti=4 -;2菱形 AE0M2.此时 DM2=DE=1,M2F=DF+DM2=6,-12=6；3菱形 AEM3Q3.此时 EM3=AE=,DM3=EM3-DE=- 1 ,M3F=DM3+DF= (- 1 ) +5=4+,t3=4+；4菱形 AM4EQ.此时 AE 为菱形的对角线，设对角线AE 与 M4Q4交于点 H,则 AE 丄 M4Q4,易知AEAM4EH,一得M4E=F,DM4=M4E-DE= 1=二,2

27、 2综上所述，存在点 M、点 Q,使得以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形；时间 t 的值为：ti=4-, t2=6.t3=4+, t4=.5解：(1 )由题意得，顶点 D 点的坐标为(-1, 4). 设抛物线的解析式为 y=a (x+1)2+4 (a 0),抛物线经过点 B(-3, 0),代入 y=a (x+1)2+4 可求得 a= - 1抛物线的解析式为 y=-( x+1)2+4,即 y=- x2- 2x+3.(2)由题意知，DP=BQ 巩 PE/ BC, DPE DBC PE 丄 DP 丄 t.2 2点 E 的横坐标为-1-寺 t, AF=2-t.将 x=- 1 - t 代入 y

28、=-(x+1)2+4,得 y=-寺 t2+4.点 G 的纵坐标为-丄 t2+4.t2+4-( 4- t) =-t2+t.如图 1所示： MB=t.J-t(2- 舟)-2242当t=2时， 四VCD=4, BC=2tan/BDC,BD=2.2cos/BDC=VBQ=DP=, DE=t.如图 2 所示：当 BE 和 BQ 为菱形的邻边时，BE=QBVBE=BD-DE,BQ=Bt2+t.=t2+2t=4( t-2) 2+2VMB=cos/ QBMBQ,二 BE=t. BE+DE=BD t+t=2，解得:t=.菱形 BQEH 的周长为.综上所述，菱形 BQEH 的周长为或 80 - 32.6解：(1)

29、对于抛物线 y=aW- 2ax- 3a,令 y=0,得到 ax2- 2ax- 3a=0,解得 x=- 1 或 3, A (- 1, 0), B (3, 0), OA=1, OB=OC=3- C (0, 3),- 3a=3,-a= 1, 抛物线的解析式为 y= -X2+2X+3.(2)如图 2 中,作 DT 丄 AB 于 T,交 BC 于 R.设 D (t, - t2+2t+3)./7:GTB vOB=OC/BOC=/ RTB=90, ZOBC=/ TRB=Z DRE=45, vDE 丄 BC,ZDER=90, DER 是等腰直角三角形,v直线 BC 的解析式为 y=- x+3, R (t, -

30、 t+3), DR=-t2+2t+3-( -t+3) = - t2+3t , DE=DRcos4= t2+t.(3)如图 3 中,c4/團 3四边形 DHMN 是菱形，点 H 在对称轴上， D、M 关于对称轴对称，点 N 在对称轴上，设 DM 交 FH 于 Q,作HKL DN于 K. tan/ HDK= 设 HK=12k DK=5k,贝 U DH=丄卜 _=13k,DN=DH=13k NK=DN- DK=8k,在 RtANHK中，NH= 丁, |：=1 : =4k，.QN=QH=2kSADNH=NHDQ 丄 DNHK,.DQ=3,.tan / QDH=，3 DF 丄 DH，/QDH+ZFDQ=

31、90，v/QFD+ZFDQ=90，/DFQ=/QDH,.tan /DFQ，v抛物线的顶点 F (1, 4), Q (1，-t2+2t+3).FQ=4-( - t2+2t+3), I -1=2=4-t-t2+2tf3)3，解得 t=一，D(. DQ=-2 QN=1,-N (1,).7.解：(1)将点 A、点 C 的坐标代入抛物线的解析式得：,解得：a=1, c= 8.抛物线的解析式为 y=W 2x 8. y= (x 1)2 9,- D (1, 9).(2)将 y=0 代入抛物线的解析式得：x2 2x 8=0,解得 x=4 或 x=- 2,- B (4, 0). y= (x 1)2 9,抛物线的对

32、称轴为 x=1, - E (1, 0).将AEBP 沿直线 EP 折叠，使点 B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上, EP 为/ BEF 的角平分线. / BEP=45.设直线 EP 的解析式为 y=-x+b， 将点 E 的坐标代入得： -1+b=0,解得 b=1, 直线 EP 的解析式为 y= x+1.将 y= x+1 代入抛物线的解析式得：-x+1= -2x 8,解得：X点 P 在第四象限, y-1(3)设 CD 的解析式为 y=kx- 8,将点 D 的坐标代入得：k 8= 9，解得 直线 CD 的解析式为 y=-x 8.设直线 CB 的解析式为 y=k2x 8，将点 B 的坐标代入得：4

33、k2-8=0,解得: 直线 BC 的解析式为 y=2x- 8.将 x=1 代入直线 BC 的解析式得：y=-6, F (1, 6).设点 M 的坐标为(a, a 8).当 MF=MB 时，(a-4)2+ (a+8)2= (a- 1)2+ (a+2)2,整理得：6a=- 75,解得：a=-.点 M 的坐标为(-,#)当 FM=FB 时，(a - 1)2+(a+2)2= (4- 1)2+(- 6- 0)2,整理得：a2+a- 20=0,解得：a=4 或 a=1+V37I:，2k=1,k2=2.2 P ()-5.点 M 的坐标为(4,- 12)或(-5,- 3).综上所述，点 M 的坐标为(-,*)

34、或(4,- 12)或(-5,- 3).8解：(1 )OB=OC OA 丄 BC, AB=5, AB=AC=5tan/ACBf由勾股定理，得 0&+06=人 6,()2+OC?=52，解得 OC= 4 (负值舍去).二 3，0B=0C=4 AD=BC=8 A (0, 3), B (-4, 0), C (4, 0), D (8, 3).-fx (-4) -4b+c=019X g%0bR=3-o抛物线的解析式为 y=Wx+5;（2）存在.四边形 ABCD 为平行四边形， AC=AB=CD又 ADMCD,当以 A, C, D, E 为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE由对称性可得，此时点 E

35、 的坐标为（4, 6）当 x=4 时，y=f 七严+5=6,所以点（4, 6）在抛物线 y=x-x+5 上.存在点 E 的坐标为（4, 6）;解之得(3)v 四边形 ABCD 为平行四边形, AD/ BC,/ DACN ACB 90当厶 APQ 是直角三角形时，/ APQ=90 或/ AQP=90 .由题意可知 AP=t, AQ=5- t, 0 t 5.当/ APQ=90 时,ip5-t一5解得.CQSZPAQ|9.解：(1)由抛物线的解析式知：A (0, 1); BC 丄 x 轴，且点 C (- 3, 0)点 B 的横坐标为-3,将其代入抛物线的解析式中，得:-2_x 9+x 3+1=-42

36、点 B (-3, 一)；设直线 AB 的解析式为：y=kx+1，有：直线 AB：y 二-丄 x+1.(2)由题意，OE=t,则点 E (- t, 0); (0 t 3)1c.当 x=- t 时，点 F (- t，女 t+1)，点 G (- t，-亍 t2+t+1)当/ AQP=90 时, BF2=x2+ (/+12)2=/+ (丄 x2-1)2=(x2+1)2,444 GF=| (号 t2+t+1)-(* t+即：s=-t2+t (0 t 0, 3k2- 4=0,解得 k= / kv0, k=-, P (- 3 - 1 , 6) , M (- 1, 2), N (- 2 - 1, 1) PM=

37、DN=2 ,/ PM / DN ,四边形 DMPN 是平行四边形,点 M 是线段 PQ 的中点，由中点坐标公式的点M啥k-1,討.假设存在这样的 N 点如图，直线 DN/ PQ,设直线DN 的解析式为 y=kx+k- 3g，解得:3X1= - 1, x2=3k - 1, N (3k- 1, 3k2- 3)4x-433 y=kx+k. 由(一-k)x-k=0 ,3由题意可求，A (0, 2), B (- 1, 0),点 C 的坐标为(4, 0).点 G, 设直线 AC 的解析式为：y=mx+n,把 A (0, 2),点 C (4, 0)代入得：.f2=nl0=4m+n，/DM=DN,四边形 DM

38、PN 为菱形,设过 A、B、把点 A (0,C 三点的抛物线的解析式为 y=a (x- 4) (x+1),-,2)代入，解得：a=-(x-4) (x+1) = 一乂 工丄，由点 C 是点 B 关于直线:X=2所以抛物线的解析式为：y=-2寺的对称点，所以直线 AC 和直线 xg 的交点即为 GAB 周长最小时的x=2所以：y=x+2,15解：(1)当 xi 时, 灼， 所以此时点 G （耳,闻）;Q3(2，丄)，Q4( 2, 三),证明 Q1：过点 Q1作 Q1M 丄 X 轴，垂足为M,由题意：/ APQ=90 AP=PQ,/APO+ZMPQi=90vZAPO+ZPAO=90,ZPAO=/ M

39、PQi,在厶 AOP 和厶 MPQi中,rZA0P=ZPMQl=90Q* ZPAOZHPQ,L丄三 PM=AO=2, QiM=OP=-,使 PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q 的坐标:Qi（弓，寻），Q2（，-哥）,（3）如图 2(4)存在点 N 的坐标为：(0,- 2), ( , 2), (-, 2), ( , 2).OM冷，此时点 Q 的坐标为:16.解：(1)由题意设 D (a,-a2), 假设抛物线 C2的解析式为：y= (x-a)2 a2,2点 C 在抛物线 C2上,将 C (0, 2)代入上式，解得：a= 2,点 D 在 y 轴右侧，-a=2,抛物线 C2的解析

40、式为：y= (x- 2)2- 2；(2)由题意，在 y= (x- 2)2- 2 中，令 y=0,则 x=2,点 B 在点 A 的右侧， A (2-, 0), B (2+, 0),又过点 A, B, C 的圆的圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上,设 E (2, m),且|CE|=|AE| ,则 22+ (2 - m)2=m2+ (2 - 2+)2,解得：m=,圆心 E 的坐标为：(2,二)；(3)假设存在点 F (t,丄)，使得四边形 CEBF 为菱形,贝 U|BF|=|CF|=|CE| ,(一)2+ (2+-t)2= (2-占)2+t2,解得：t=,当上=时，F (2 ,-),此时|EC|=,|FC|=J (伍)沁严诉 f=， |CF