第四章平差数学模型与最小二乘法

1、 第一节第一节 测量平差概述测量平差概述第二节第二节 函数模型函数模型第三节第三节 函数模型的线性化函数模型的线性化 第四节第四节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型 第五节第五节 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理第四章第四章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差方法本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好基础。最的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的准则。后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的准则。

2、4-1 测量平差概述测量平差概述几何量：几何量：高程，高程，包含高差、高程等元素；包含高差、高程等元素； 平面平面坐标坐标，包含角度、边长、边的方位角等元素。，包含角度、边长、边的方位角等元素。（2）要确定三角形的形状和大小，只要知道其中）要确定三角形的形状和大小，只要知道其中任意的两角一边、两边一角或三边即可。任意的两角一边、两边一角或三边即可。涉及两种类型的元素（涉及两种类型的元素（角度角度、边长边长）几何模型几何模型: :为测定待定点的高程和坐标需要建立水准网和平面控制网等，确为测定待定点的高程和坐标需要建立水准网和平面控制网等，确定高程和坐标的控制网及其计算方法都是定高程和坐标的控制网

3、及其计算方法都是几何模型几何模型。 确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小，其它元素可以通过它们来确定。知道其中部分元素的大小，其它元素可以通过它们来确定。例如：例如：（1 1）要确定图）要确定图4-14-1的三角形的形状（相似形），的三角形的形状（相似形），只要知道其任意两个内角（只要知道其任意两个内角（角元素角元素）即可。）即可。 图图4-2 (3)(3)在图在图4-24-2的水准网中，要确定的水准网中，要确定A A、B B、C C、D D四点之间的相对高差，只要四点之间的相对高差，

4、只要知道知道3 3个个高差元素高差元素即可，如即可，如 等。等。654621hhhhhh、或或、必要元素（必要元素（值值）的性质：）的性质：（1）相互相互独立独立，对于任一几何模型，它的对于任一几何模型，它的t个必要个必要值之间必须相互独立，亦即其中任一元素不能表达成值之间必须相互独立，亦即其中任一元素不能表达成其余（其余（t-1）个元素的函数。否则，它的）个元素的函数。否则，它的t个必要元素个必要元素之间函数不独立，就不能确定一个几何模型。之间函数不独立，就不能确定一个几何模型。（2）唯一唯一确定一个几何模型。确定一个几何模型。 对于上述三种情况，分别是对于上述三种情况，分别是t=2,t=3

5、t=2,t=3和和t=3t=3。对于第二种情况，。对于第二种情况，3 3个元素中个元素中需要两个角度一个边长，没有边长仍只能确定其形状需要两个角度一个边长，没有边长仍只能确定其形状, ,而无法确定其大小，因而无法确定其大小，因此，此，必要元素必要元素不仅要考虑其不仅要考虑其个数个数，而且要考虑到，而且要考虑到元素的类型。元素的类型。1 1、必要元素：、必要元素：能够唯一地确定一个几何模型所必能够唯一地确定一个几何模型所必须需须需要的元素要的元素， 必要元素的个数用必要元素的个数用t t来表示。来表示。必要元素的必要元素的个数个数t t及其及其类型类型只与只与几何模型有关几何模型有关，与实际观测

6、量无关。，与实际观测量无关。(3)若若nt，则产生闭合差，就能及时，则产生闭合差，就能及时发现粗差和误发现粗差和误，并提高测量成果的精度，若令并提高测量成果的精度，若令 r=n-t （4-1-1）r 称为称为多余观测数，多余观测数，n为观测值总数，为观测值总数，t 称为称为必要观必要观测数测数，多余观测数在测量中又称，多余观测数在测量中又称“自由度自由度”。 当当几何模型中选定的元素几何模型中选定的元素多余必要元素数多余必要元素数t t时，独立量间会产生一个几时，独立量间会产生一个几何条件函数式。何条件函数式。在图在图4-1中，若以中，若以 作为必要元素，则能唯一地确定作为必要元素，则能唯一地

7、确定 ABC形状与大小形状与大小 。若选定了。若选定了 ，则，则有有若再增加一个元素若再增加一个元素121SLL、2321SLLL和和、 180LLL321，则有，则有2S1212LsinLsinSS 3 3、必要观测数与多余观测数必要观测数与多余观测数 必要观测数：必要观测数：为求得一个几何模型中各量的大小为求得一个几何模型中各量的大小而而必须进行观测必须进行观测的元素数的元素数。（1 1）若观测）若观测总总数数n n少于必要元素的个数少于必要元素的个数t t，即，即ntnt，它无法确定该模型；（，它无法确定该模型；（2 2）若若n=tn=t，则可唯一地确定该模型，由于，则可唯一地确定该模型

8、，由于相互相互独立，故不存在任何条件方程，独立，故不存在任何条件方程，无法发现观测结果中的误差和错误。无法发现观测结果中的误差和错误。2 2、多余元素、多余元素几何模型中选定元素几何模型中选定元素多于必要元素的元素多于必要元素的元素4、条件方程与闭合差条件方程与闭合差：一个几何模型如果有：一个几何模型如果有r个多余观测，就产生个多余观测，就产生r个条件方个条件方程。由观测值组成上述条件方程必不能满足理论值，若观测了角度程。由观测值组成上述条件方程必不能满足理论值，若观测了角度L1、L2、L3和边长和边长S1、S2，考虑观测误差，有，考虑观测误差，有333222111, LLLLLL221121

9、,SSSSSS 因因r=n-t=5-3=2，可组成，可组成2个条件方程为个条件方程为 180332211LLL)sin()sin()(1122S11S22 LLSS若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即即0180LLL321 01LsinSLsinSLsinLsinSSS21121212 即即，由于有了由于有了r个多余观测个多余观测，才有了，才有了r个条件方程个条件方程和和r个个闭合差闭合差w。如何对观测值合理地加上改正数，消如何对观测值合理地加上改正数，消除闭合差，是测量平差的主要任务之一。除闭合差，是测量平差的主要任务之一。 测量平差的任

10、务，测量平差的任务，一一是按一定原则对是按一定原则对待求量待求量进行进行估计，二估计，二是对是对测量成测量成果果进行进行精度评定精度评定。4-2 函函 数数 模模 型型函数模型中的未知量：函数模型中的未知量：可视平差问题选取，当可视平差问题选取，当未知量未知量选为选为观测量的真值观测量的真值时，时，函数模型为函数模型为条件方程条件方程，当，当未知量选为未知量选为必要观测量的真值必要观测量的真值时，函数模型为时，函数模型为观测方程观测方程。几何模型几何模型：描述几何元素观测量与未知量之间关系的模型，如水准网、：描述几何元素观测量与未知量之间关系的模型，如水准网、 测角网、边角网、测边网、重力网、

11、测角网、边角网、测边网、重力网、GPSGPS网等。网等。物理模型物理模型：描述与时间有关的速度、加速度、位移、和应变等观测量与：描述与时间有关的速度、加速度、位移、和应变等观测量与 未知量之间关系的模型。未知量之间关系的模型。几何、物理综合模型几何、物理综合模型：描述几何模型、物理模型中的某些元素的观测量：描述几何模型、物理模型中的某些元素的观测量 与未知量之间关系的模型。与未知量之间关系的模型。函数模型：函数模型：是描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型，是确定客观实是描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型，是确定客观实 际的本质或特征的模型。际的本质或特征的模型。函数模型又分为线性模型

12、和非线性模型两类，非线性模型要线性化。函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 例如，在图例如，在图4-2所示水准网中，所示水准网中，A为已知其高程的水准点，为已知其高程的水准点，B、C、D均为均为未知点。网中观测向量的真值为未知点。网中观测向量的真值为 T6543211 ,6hhhhhhL 0hhh)L(F0hhh)L(F0hhh)L(F643365223211 101100110010000111A6 ,30LA1 ,66 ,3 图图4-2系数阵为系数阵为则有则有（4-2-1）一、一、条件平差法的函数模型条件平差法的函数模型条件平差法条件平差法：以以观测值的真值观测值的

13、真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。构成的条件方程为函数模型的平差方法。 为了确定为了确定B B、C C、D D三点的高程，其必要观测数三点的高程，其必要观测数t=3t=3，余观测数，余观测数r=n-tr=n-t=3=3。应列出应列出3 3个线性无关的条件方程，它们可以是个线性无关的条件方程，它们可以是 又如在图又如在图4-1ABC中，观测了三个内角，多余观测中，观测了三个内角，多余观测r=nt=32=1，存，存在条件方程为在条件方程为0180LLL321 111 3, 1ATLLLL3211 , 31800A令令0ALAo 则有则有 （4-2-2） 如果有如果有n个观测值，个观测值，t个

14、必要观测，则应列出个必要观测，则应列出r =nt个条件方程，即个条件方程，即 0)L(F 1 ,r1 ,r01 ,nn,rOALA LL0WA 则有则有 (4-2-5) (4-2-6)（4-2-4）或（）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型）式为条件平差的函数模型。条件方程数条件方程数=多余观测数多余观测数r。0AALW 如果条件方程为线性形时，可写为如果条件方程为线性形时，可写为A A0 0为常数向量，将为常数向量，将 代入代入上上式，并令式，并令（4-2-44-2-4）间接平差法：间接平差法：以以t t个独立的必要观测量为平差参数个独立的必要观测量为平差参数为平差的函数模型，又称为平差的

15、函数模型，又称 为为参数平差法参数平差法。 T2121XXX T32131LLLL ，即，即和和21XX 180XXLXLXL2132211由图知由图知观测方程的个数等于观测值的个数。观测方程的个数等于观测值的个数。 111001B 18000ddXBL 18000XX111001LLL21321二、间接平差法的函数模型二、间接平差法的函数模型观测方程观测方程: :选择几何模型中选择几何模型中t t个独立的必要观测量个独立的必要观测量为平差参数，将为平差参数，将n n个观测量表达个观测量表达 成所选参数函数的关系式。成所选参数函数的关系式。 在图在图4-34-3的的ABCABC中，观测量中，观

16、测量 ，选定，选定AA和和BB为平差参数，为平差参数，设为设为 图图4-2 在图在图4-2中，中，A点高程已知，选待求点点高程已知，选待求点B、C、D的高程为参数，则有的高程为参数，则有 00HH0HXXX111001100010011001hhhhhhAAA321654321即即dXBh 如果某平差问题有如果某平差问题有n个观测值，选择个观测值，选择t个必要观测个必要观测量的真值作为平差参数量的真值作为平差参数 ，则独立观测值必定可以表，则独立观测值必定可以表达成这个达成这个t个参数的函数，即有个参数的函数，即有1 , tX)X(FL1 ,n (4-2-8）如果是线性的，一般为如果是线性的，

17、一般为1 ,1 ,1 ,nttnndXBL (4-2-9）式中，式中，B和和d为系数阵和常数阵，为系数阵和常数阵，（4-2-94-2-9）式是）式是间接平差间接平差的函数模型。的函数模型。 326315A34A23212A11XXhXXhHXhHXhXXhHXh1X2X3X其中，其中，l =L d ，或，或 写成写成 LLlXB XBl 间接平差法是选了间接平差法是选了t个独立参数，多余观测数不随平差方法不同而异，个独立参数，多余观测数不随平差方法不同而异，自由度自由度仍是仍是 r = n t。 设在平差问题中，观测值个数为设在平差问题中，观测值个数为n n，t t为必要观测数，则可列出为必要

18、观测数，则可列出r=n-tr=n-t个条个条件方程，现又增设了件方程，现又增设了u u个独立量作为参数，而个独立量作为参数，而0ut0ut，每增设一个参数应增加，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数附有参数的的条件平差法条件平差法。 (4-2-9）1 ,1 ,1 ,nttnndXBL将将 代入代入 式，则有式，则有三、附有参数的条件平差法的函数模型三、附有参数的条件平差法的函数模型 例如，在图例如，在图4-3的的ABC中，观测量为三个内角，中，观测量为三个内角， ，此时，此时，r=n-t

19、=3-2=1，有一个条件方程。若选择，有一个条件方程。若选择A为平差参数为平差参数 ，由于增加了一，由于增加了一个参数个参数 ，应再增加一个条件方程，应再增加一个条件方程，方程数为方程数为c=r+u=1+1=2。即。即 T321LLLL X,0XL0180LLL1321 0180A10B,001111A001 ,201 ,21 ,33,2AXBLA令令则有则有矩阵表达式为矩阵表达式为00180X10LLL001111321 在某一平差问题中，观测值个数为在某一平差问题中，观测值个数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，再增选，再增选u个独立参数，个独立参数，0u

20、t,ut,其中包含其中包含t个独立参数，则多个独立参数，则多选的选的s=ut个个参数必是参数必是t个独立参数的函数，亦即在个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着个参数之间存在着s个个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的几何关系。函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的几何关系。)X(FL1,u1,n 0)X(1,s (4-2-12)线性形式的函数模型为线性形式的函数模型为1 , s1 , sx1 ,uu , s0WXC 1 ,n1 ,un,un,1dXBL (4-2-13)附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法的的自由度不变自由度不变，仍是，仍是r =nt=n(us)。c=r

21、+u=n+s四、附有限制条件的间接平差法四、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法：附有限制条件的间接平差法：在选定的在选定的 utut 个参数进行间接平差时，除了个参数进行间接平差时，除了建立建立n n个观测方程外，还要增加个观测方程外，还要增加s s个约束参数的条件方程的平差方法。个约束参数的条件方程的平差方法。附有限制条件的间接平差法可组成下列方程附有限制条件的间接平差法可组成下列方程 可以看出可以看出n=3,t=1,r=3-1=2,u=2, s=u-tn=3,t=1,r=3-1=2,u=2, s=u-t=1=1，可列出，可列出 c =r+u=n+sc =r+u=n+s=4=4

22、个方程，个方程，即可列即可列3 3个观测方程，个观测方程，1 1个限制条件。个限制条件。baxybaxybaxy332211 观测方程为观测方程为限制条件为限制条件为0ybax00 baxybaxybaxy333222111 2.4-ba3y-bax2.0-ba2y-bax1.6-bay-bax333222111 02 .1ba0.4 4 . 20 . 26 . 1ba131211321 2 21 1y0.4 1 2 30.4 1 2 31.2 y1 y2 y3 x 02 . 1ba14 . 0 0WXCdXBx 在下图中为了确定通过已知点在下图中为了确定通过已知点 x0=0.4,y0=1.2

23、的的直线直线：y=ax+b，等精度量，等精度量测了测了x=1,2,3处的处的y y 值分别为值分别为1.61.6、2.02.0、2.42.4。又选。又选a a、b b作为参数作为参数 TbaX 四种平差函数模型的总结四种平差函数模型的总结1、条件平差：参数个数、条件平差：参数个数u=0,r=nt,条件方程个数条件方程个数c=r+u=r。 2、间接平差：参数个数、间接平差：参数个数u=t,观测方程个数观测方程个数c=r+u=r+t=n。 3、附有参数的条件平差：参数个数、附有参数的条件平差：参数个数u,0ut,uut,u个参数中有个参数中有 t t个独立的参数，有个独立的参数，有s s个不独立的

24、参数，即可列个不独立的参数，即可列n n个观测方程，个观测方程， s s个限制条件方程个限制条件方程，方程个数方程个数c=r+u=n+s(c=r+u=n+s(r=nr=nt,u=t+st,u=t+s) )。4-3 函数模型的线性化函数模型的线性化 均要求是微小量，按台劳公式展开时略去二次和二次以上的项，只均要求是微小量，按台劳公式展开时略去二次和二次以上的项，只取至一次项，则有取至一次项，则有)X,L(FF1 ,u1 ,n1 ,c XxXXO LL 和和xx|XF|LF)X,L(F)xX,L(FF00X,LX,L00 在进行平差计算时，必须先将非线性方程按台劳公式展开，取至一次项，在进行平差计

25、算时，必须先将非线性方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。转换成线性方程。一、非线性函数的线性化一、非线性函数的线性化 设有函数设有函数 （4-3-14-3-1）取取 的充分近似值的充分近似值X XO O，使，使（4-3-24-3-2）同时考虑到同时考虑到 （4-3-34-3-3）00X,Lnc2c1cn22212n12111X,Ln,cLFLFLFLFLFLFLFLFLF|LFA 00X,Luc2c1cu22212u12111X,Lu,cXFXFXFXFXFXFXFXFXF|XFB xBAXLFF),(0若令若令 （4-3-4）（4-3-5）则函数则函数 的线性形式为的线性形式为c

26、1F （4-3-6）二、四种平差方法函数的线性化模型二、四种平差方法函数的线性化模型1、条件平差法、条件平差法： 式中式中 令令 W=F（L） （4-3-7） 可得其函数模型为可得其函数模型为 AW=0 （4-3-8） 此即（此即（4-2-6）式。）式。2、间接平差法、间接平差法： 式中式中 令令 （4-3-9） 可得其函数模型为可得其函数模型为 （4-3-10）此即（此即（4-2-9）式）式 或或 。1 ,r1 ,nn,r1 ,r1 ,rOA)L(F)L(F ,|LFAL 1 , tt ,n01 ,n1 ,nxB)X(F)X(FLL ,|XFB0X )X(FLl0 1 ,n1 , tt ,n

27、1 ,ndXBL l-xBxBl 或或XBl 3、附有参数的条件平差法、附有参数的条件平差法： ，式中式中A，B即（即（4-3-4）、（）、（4-3-5）式，令）式，令 （4-3-11）可得其函数模型为可得其函数模型为 （4-3-12）此即（此即（4-2-11）式）式 。4、附有限制条件的间接平差法、附有限制条件的间接平差法： 由（由（4-2-12）式知，一般方程为）式知，一般方程为 因为因为1 ,c1 ,uu,c1 ,nn,c01 ,c1 ,c0 xBA)X,L(F)X,L(F )X,L(FW01 ,c 0WxBA 0)X()X(FL1 , s1 ,u1 ,n 0 xC)X(x|X)X()X

28、(1 ,uu, s0X01 . s0 1 ,c1 ,c1 ,uu,c1 ,nn,c0WXBA 令令 （4-3-13） 考虑（考虑（2-3-10）式，其函数模型为）式，其函数模型为 （4-3-14） （4-3-15）此即（此即（2-2-21）和（）和（2-2-22）式。式中）式。式中 （4-3-16）)X(W0 x lxBxBl 或或0WxCx 00|212221212111,XusssuuXusXXXXXXXXXXC4-4 测测 量量 平平 差差 的的 数数 学学 模模 型型 平差的平差的数学模型：数学模型：包含包含函数模型函数模型和和随机模型随机模型。 对于观测向量对于观测向量L=(L1，L

29、2，Ln）T，其，其随机模型随机模型是指是指L的方差的方差-协方差协方差阵，即阵，即1,20,20,nnnnnnPQD （4-4-1）式中，式中，Q为为L的协因数阵，的协因数阵，P为为L的权阵，的权阵，P与与Q互为逆阵，互为逆阵，02为单位权方差。为单位权方差。一、随机模型一、随机模型随机模型：随机模型：描述平差问题中随机量（如观测量）及其相互间统计相关性质描述平差问题中随机量（如观测量）及其相互间统计相关性质 的模型。的模型。 观测不可避免地带有偶然误差，观测量是随机变量，描述随机变量的精观测不可避免地带有偶然误差，观测量是随机变量，描述随机变量的精度指标是方差或中误差（标准差），描述两个随

30、机变量之间相关性的是协方度指标是方差或中误差（标准差），描述两个随机变量之间相关性的是协方差，差，方差、协方差是随机变量的统计性质方差、协方差是随机变量的统计性质。 由于由于 是随机向量，故是随机向量，故L L也是随机向量，则有也是随机向量，则有D DL L=D=D =D.=D.1、条件平差的数学模型：、条件平差的数学模型：n,n-120n,n20n,n1 ,r1 ,nn,rPQD0WA (4-4-2)式中式中1 ,r01 ,nn,rr,1ALAW （4-4-3）二、数学模型二、数学模型 平差的数学模型平差的数学模型包含函数模型和随机模型两部分，函数模型给出的观测值包含函数模型和随机模型两部分

31、，函数模型给出的观测值与未知量间的函数关系，顾及观测值的先验方差和协方差，确定观测值的协因与未知量间的函数关系，顾及观测值的先验方差和协方差，确定观测值的协因数阵或权阵，按最小二乘原理作出未知量的最佳估计值。数阵或权阵，按最小二乘原理作出未知量的最佳估计值。四种基本平差方法的数学模型如下：四种基本平差方法的数学模型如下：2、间接平差的数学模型、间接平差的数学模型120201 ,n1 , tt ,n1 ,nPQDlxB （4-4-4）式中式中000XXx,LLdBXLl 间接平差模型（间接平差模型（4-4-44-4-4）式称为）式称为高斯高斯- -马尔科夫模型马尔科夫模型，简称，简称G-MG-M

32、模型。模型。（4-4-5）3、附有参数条件平差的数学模型、附有参数条件平差的数学模型120201 ,c1 ,c1 ,uu,c1 ,nn,cPQD,0WxBA （4-4-6）式中，式中， W=AL+BX0+A0 (4-4-7)(4-4-7) 1 ,n1 ,uu,n1 ,nlxB 1 ,s1 ,sx1 ,uu,s0WxC 12020PQD （4-4-8）式中，式中， l =LBX0d=LL0, Wx=CX0+A0 (4-4-9) LL 0XXx x XX,VLL0 （4-4-10）4 4、附有参数的条件平差的数学模型、附有参数的条件平差的数学模型 上述的平差函数模型都是用真误差上述的平差函数模型都

33、是用真误差 和未知量真值和未知量真值 表达的，真值是未知的，按最小二乘原理平差可求出它们的最佳估值，即表达的，真值是未知的，按最小二乘原理平差可求出它们的最佳估值，即V V是是 的平差值，称为改正数，在讨论的平差值，称为改正数，在讨论V V的统计性质时又称的统计性质时又称V V为残差。为残差。 的平差值，它是的平差值，它是X0的改正数。用平差值的改正数。用平差值代以真值列出的函数模型为：代以真值列出的函数模型为：xx 为为0WVA1 ,r1 ,nn,r 1 ,n1 , tt ,n1 ,nlx BV 1 ,c1 ,c1 ,uu,c1 ,nn,c0Wx BVA 1 ,n1 ,uu,n1 ,nlx

34、BV 1 ,s1 ,sx1 ,uu,s0Wx C 0WA1 ,r1 ,nn,r 1 ,n1 , tt ,n1 ,nlxB 1 ,c1 ,c1 ,uu,c1 ,nn,c0WxBA 1 ,n1 ,uu,n1 ,nlxB 1 ,s1 ,sx1 ,uu,s0WxC 1、条件平差：、条件平差：2、间接平差：、间接平差：3、附有参数的条件平差：、附有参数的条件平差：4、附有限制条件的间接平差：、附有限制条件的间接平差： （4-4-11） （4-4-12） （4-4-13） （4-4-14）x XX,VLL0 V V是是 的平差值，称为改正数，在讨论的平差值，称为改正数，在讨论V V的统计性质时又称的统计性

35、质时又称V V为残差。为残差。4-4 4-4 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数平差最终目的都是对参数 和观测量和观测量 （或（或）的真值作出某种估计，并）的真值作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是对未知量的方差与协方差作出估计，统评定其精度。所谓评定精度，就是对未知量的方差与协方差作出估计，统称为对平差模型的参数进行估计。称为对平差模型的参数进行估计。XLXX 由多余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接获得唯一解。例如由多余观测

36、而产生的平差数学模型，都不可能直接获得唯一解。例如条件平差的函数模型，条件方程个数为条件平差的函数模型，条件方程个数为r r，而待估未知量，而待估未知量V V有有n n个，个，nrnr，V V不不能唯一确定。又如间接平差的函数模型，观测方程个数为能唯一确定。又如间接平差的函数模型，观测方程个数为n n，待求参数，待求参数 和和V V共有共有t+nt+n个，个， 和和V V不能唯一确定。不能唯一确定。 按数理统计观点，最终估计值应该具有最优的统计性质，从而可对平差按数理统计观点，最终估计值应该具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。这种约束是用某数学模

37、型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。这种约束是用某种准则实现的，其中最广泛采用的准则是种准则实现的，其中最广泛采用的准则是最小二乘原理最小二乘原理。一、一、参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质0WVA1 ,r1 ,nn,r 180)vL()vL()vL(3322110180LLLvvv321321 在在 ABCABC中观测了三个内角，按中观测了三个内角，按条件平差条件平差可列出一个条件方程，可列出一个条件方程，而未知量而未知量V V有有3 3个，个，3131，V V不能唯一确定。不能唯一确定。 若选定若选定 A A、 B B为参数，按为参数，按间接平差间接平差可列出观测方程可列出

38、观测方程 18000XX111001LLL21321 180XXLXLXL2132211iiiiXXLL替代替代用用替代替代用用 观测方程个数为观测方程个数为3 3，待求参数，待求参数 和和V V共有共有5 5个，个， 和和V V不能唯一确定。不能唯一确定。x i0iiiiix XX,vLL 代入上式整理为代入上式整理为误差方程误差方程 180LXXLXLXx x 111001vvv3020120210121321x )(E二、数理统计中参数估计的最优性质二、数理统计中参数估计的最优性质 （1 1）无偏性无偏性 设设 为参数为参数 的估计量，如果的估计量，如果估计量的数学期望等于参数估计量的数

39、学期望等于参数 ，即即（4-5-14-5-1）则称则称 为为 的无偏估计量。否则估计量不具有无偏性。的无偏估计量。否则估计量不具有无偏性。 例例Ln1iiLn1x 算数平均值算数平均值x是是L的数学期望的数学期望 L的无偏估计量。的无偏估计量。 LLn21n1iinn1LELELEn1Ln1ExE 据方差的定义，观测值的方差为据方差的定义，观测值的方差为 ，对其两边取数学期望，对其两边取数学期望 2n1i2xLn1 22n122in1222in1n1n12i2i2n1i2n1i2LExnEnn1)LEx(n)LE(LEn1)LEx(n)LEx(2n)LE(LEn1)LEx()LE(L)LEx(

40、2)LE(LEn1)LEx()LE(LEn1xLEn1E 222LExnEnn1E )x(DxExExELExE22L2 nn.n1LDn1LDn1Ln1D)x(D222n1i2n1i2n1i 2222222n1n)nn(nn1LExnEnn1E 2n1i2xLn1 可见可见 是是有偏估计。有偏估计。将式子将式子 两端都乘以两端都乘以 ，得观测量的无偏估计量，得观测量的无偏估计量 2n1i2xLn1 1nn 22E 即即 1nvvxL1n1mn12i 白塞尔公式白塞尔公式另一种推导无偏估计值的方法另一种推导无偏估计值的方法 设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为设对某未知量进行了一组等精度

41、观测，其真值为 , ,观测值分别为观测值分别为L L1 1、L L2 2、L Ln n, ,真误差为真误差为 1 1、 2 2、 n n，有，有XXLii 将将n n 则称则称 为为 的一致估计量，其中的一致估计量，其中n为子样容量，为子样容量， 是任意小的正数。是任意小的正数。 0)(Elim0)(E2n （4-5-3）（2 2）一致性一致性 满足概率表达式满足概率表达式1)(Plimn 2L2xExExE)x(D nn.n1LDn1LDn1Ln1D)x(D222n1i2n1i2n1i (4-5-2)(4-5-2)若估计量同时满足若估计量同时满足 则称则称 为为 的严格一致性估计量。严格一致

42、性估计量一定是一致性估计量。的严格一致性估计量。严格一致性估计量一定是一致性估计量。例如，证明算术平均值例如，证明算术平均值x是是 L L的严格一致性估计量。的严格一致性估计量。由方差定义知由方差定义知 ，且知，且知有有 0nlimxElim2n2Ln 说明说明x是是 L L一致性估计量，也是一致性估计量，也是 L L的严格一致性估计量。的严格一致性估计量。（3）有效性有效性 若若 是是 的无偏估计量，具有无偏性的估计量并不唯一。如的无偏估计量，具有无偏性的估计量并不唯一。如果两个无偏估计量果两个无偏估计量 ，具有，具有 21 和和)(D)(D21 则称则称 有效。其中方差最小的估计量有效。其

43、中方差最小的估计量 ，即，即 为为 的最的最有效估计量，或称为有效估计量，或称为最优无偏估计量最优无偏估计量。21 比比min)(D （4-5-4）证明举例略去。证明举例略去。三、最小二乘原理三、最小二乘原理1 1、最小二乘法、最小二乘法 一个作匀速运动的质点在时刻一个作匀速运动的质点在时刻 的位置是的位置是 ，可用线性函数来描述：，可用线性函数来描述： （4-5-5） 式中，式中， 是质点在是质点在 =0时刻的初始位置，时刻的初始位置， 是平均速度，它们是未知参数。是平均速度，它们是未知参数。 如果观测无误差，则只要在时刻如果观测无误差，则只要在时刻 1和和 2观测质点的相应位置观测质点的相

44、应位置y1和和y2，可列，可列两个方程解出两个方程解出 和和 。 观测值带有偶然误差，总是作多余观测，即在观测值带有偶然误差，总是作多余观测，即在 1、 2， n时刻来测时刻来测定质点的位置定质点的位置y1，y2，yn，但对应，但对应 i，yi的解不是的解不是, ay y 用什么准则来对参数用什么准则来对参数 进行估计，从而使诸观测点进行估计，从而使诸观测点“最佳最佳”地拟合地拟合成成直线直线 。 “ “最佳最佳”一词有不同的理解。例如一词有不同的理解。例如, ,认为认为各观测各观测点到直线最大距离取最小值时点到直线最大距离取最小值时, ,直线是直线是“最佳最佳”的的；也可以认为也可以认为,

45、,各观测点到直线的偏差的绝对值之和各观测点到直线的偏差的绝对值之和取最小值时取最小值时, ,直线是直线是“最佳最佳”的的, ,等等。在不同等等。在不同 “ “最佳最佳”的准则下，可以求得参数的准则下，可以求得参数 不同的估值不同的估值 。 和和 a y 和和 和和 按照最小二乘原理的要求，按照最小二乘原理的要求，“最佳最佳”地拟合于诸观测点的估计曲线，地拟合于诸观测点的估计曲线，应使诸观测点到曲线的偏差应使诸观测点到曲线的偏差 vi 满足满足 最最小小 n1in1i2iii2iiya pp （4-5-8）此条件下解出参数的估计值此条件下解出参数的估计值 。 和和 minYXBPYXBVPVTT （4-5-9）这就是求最佳估值的这就是求最佳估值的最小二乘法最小二乘法。即即)n,2 ,1i (,yvii （4-5-6）令令 n211 ,nvvvV n211 ,nyyyY n212,n111B X1 ,2则有间接平差的函数模型则有间接平差的函数模型YXBV （ 4-5-7） 设观测值的改正数为设观测值的改正数为设观测向量为设观测向量为 ，L为随机正态向量，其数学期望和方差分别为为随机正态向量，其数学期望和方差分别为1 ,nL 2nn2n1n22212n11221LLn21LDD ,LE 由极大似然估计准则知，