第2讲 圆周角定理与圆的切线

1、 第2讲圆周角定理与圆的切线【2013年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法. 基础梳理1圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半(3)圆周角定理的推论同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径2圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个dr相

2、切一个dr相离无dr(2)切线的性质及判定切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等3弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角(2)弦切角定理及推论定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等双基自测1如图所示，ABC中，C90°，AB10，AC6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为_解析连接CP.由推论2知CPA90°，即CPAB，由射影定理知，AC2AP·AB

3、.AP3.6，BPABAP6.4.答案6.42如图所示，AB、AC是O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知BAC80°， 那么BDC_.解析连接OB、OC，则OBAB，OCAC，BOC180°BAC100°，BDCBOC50°.答案50°3(2011·广州测试(一)如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC1，BCD30°，则圆O的面积为_ 解析连接OC，OB，依题意得，COB2CAB2BCD60°，又OBOC，因此BOC是等边三角形，OBOCBC1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积

4、为×12.答案4 (2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，B90°，AB4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD2，则C的大小为_ 解析连接BD，则有ADB90°.在RtABD中，AB4，AD2，所以A60°；在RtABC中，A60°，于是有C30°.答案30°5(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若M30°，AP2，则圆O的直径为_ 解析连接OP，因为M30°，所以AOP60°，因为PA切圆O于P，所以O

5、PAP，在RtADO中，OP2，故圆O的直径为4.答案4考向一圆周角的计算与证明【例1】(2011·中山模拟)如图，AB为O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB3，CD1，则sinAPB_.审题视点 连结AD，BC，结合正弦定理求解解析连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以ADBACB90°.又ACDABD，所以在ACD中，由正弦定理得：AB3，又CD1，所以sinDACsinDAP，所以cosDAP.又sinAPBsin (90°DAP)cosDAP.答案 解决本题的关键是寻找APB与DAP的关系以及AD与AB的关系【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点

6、，且AB4，ACB30°，则圆O的面积等于_解析连接AO，OB.因为ACB30°，所以AOB60°，AOB为等边三角形，故圆O的半径rOAAB4，圆O的面积Sr216.答案16考向二弦切角定理及推论的应用【例2】如图，梯形ABCD内接于O，ADBC，过B引O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC8，CD5，AF6，则EF的长为_ 审题视点 先证明EABABC，再由AEBC及等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解解析BE切O于B，ABEACB.又ADBC，EABABC，EABABC，.又AEBC，.又ADBC，ABCD，EF.答案 (1)圆周角定理及其推

7、论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【训练2】 (2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)ACEBCD；(2)BC2BE×CD.证明(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切