高中数学必修四知识点大全

1、WORD格式.知识点串讲必修四专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.第一章：三角函数1.1 1 任意角1、角的有关概念：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角的名称：角的分类：B始边终边负角：按顺时针方向旋转形成的角OA顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角2、象限角的概念：定义：假设将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外 )在第几象限，我们就说这个角是第几象限角终边一样的角的表示：所有与角 终边一样的角，连同在内，可构成一个集合S| = +k·360&#

2、176;，k Z，即任一与角终边一样的角，都可以表示成角与整个周角的和注意：k Z 是任一角； 终边一样的角不一定相等，但相等的角终边一定一样终边一样的角有无限个，它们相差360 °的整数倍；角 + k·720°与角 终边一样，但不能表示与角终边一样的所有角3、写出终边在y 轴上的角的集合( 用 0°到 360 °的角表示 ) 解 : | = 90 ° + n· 180 ° ,n Z4、角是第三象限角，那么2 ，各是第几象限角？2解：角属于第三象限，k·360°+180°k·

3、360°+270°( kZ)因此， 2 k· 360 ° +360 ° 2 2k· 360 ° +540 ° (k Z)即 (2 k +1)360 ° 2(2 k +1)360 ° +180 ° (k Z)故 2 是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角又 k·180°+90° k·180 °+135 ° (k Z) 2专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.当 k 为偶数时，令k=2 n (nZ)，

4、那么 n ·360°+90° n·360°+135° (n Z) ，2当 k 为奇数时，令k=2 n +1 ( nZ)，那么 n ·360°+270° n·360°+315°( nZ)，2因此属于第二或第四象限角21.1.2弧度制1、弧度制我们规定 ,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下 , 1 弧度记做 1rad 在实际运算中，常常将rad单位省略2、 弧度制的性质：r;2 r2 .rr半圆所对的圆心角为整圆所对的圆心角为

5、正角的弧度数是一个正数负角的弧度数是一个负数l.零角的弧度数是零角的弧度数的绝对值 | |=r3、弧长公式ll rr(的弧度数 ) 的绝对值与半径的积弧长等于弧所对应的圆心角例 6. 利用弧度制证明扇形面积公式 S1 lR , 其中 l是扇形弧长 ,R是圆的半径 .21R2R2证法一 :圆的面积为,圆心角为 1rad的扇形面积为 2,又扇形弧长为 l,半径为 R,lSl1 R21 lR扇形的圆心角大小为R rad,扇形面积R22nR2n RSl证法二 :设圆心角的度数为n ，那么在角度制下的扇形面积公式为360，又此时弧长180，S1n R1R2Rl1802可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式

6、可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多扇形面积公式 : S1lR1R222专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.1.2.1 任意角的三角函数1、三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P 除了原点的坐标为( x, y) ，它与原点的距离为 r ( r| x |2| y |2x2y20) ，那么专业资料整理WORD格式1比值y叫做的正弦，记作sin，即ysin；专业资料整理WORD格式rx2比值r叫做的余弦，记作cos，即rxcos；r专业资料整理WORD格式y 3 比值叫做的正切，记作xx 4 比值叫做的余切，记作y2三角函数的定义域、值域t

7、an，即 tany；xcot，即 cotx；y专业资料整理WORD格式函数定义域值域ysinR1,1ycosR1,1ytan |k, k ZR2cosxtan x的值域3、求函数ytan xcosx解： 定义域： cosx0 x 的终边不在x 轴上又 tanx 0x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时，x0, y0cosx=|cosx|tanx=|tanx| y=2, x0, y0|cosx|=cosx|tanx|=tanx y= 2 ,x0, y0|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=0x0, y04、诱导公式专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.s

8、in( 2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)tan(2k)tan(kZ)5、三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点 O ，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P ( x, y)，专业资料整理WORD格式过 P 作x轴的垂线，垂足为M长线交与点 T .yPMo；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延yTPAo MAxxT专业资料整理WORD格式yyTMAoM AxoxPP T由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OMx, MPy ，于是有sinyyyMP ， cosxxx OM， tanyMPATATr1r1xOMOA我们就分别称有向线段MP ,

9、 OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。说明：x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上； 1三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。 2三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。 3三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y轴同向的为正值，与x 轴或y轴反向的为负值。 4三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。6、利用三角函数线比较以下各组数的大小：专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WOR

10、D格式.1sin 2与 sin 42 tan2与 tan 43535解： 如图可知：sin 2sin 4tan2tan435351.2.2 同角三角函数的根本关系1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： 1 商数关系：tansin2平方关系：sin2con211.con12 ，并且2、sin是第二象限角，求cos, tan,cot13125解： sin 2cos21 ， cos21sin 21() 2()251313又 是第二象限角， cos0，即有 cos，从而13sin1215cottan5 ，tan12cos3、sin2 cos，求 sin4 cos2sin22sincoscos2

11、5sin2 coscos x1sin x4、求证：sin xcosx1证法一：由题义知cosx0，所以1sin x0,1sin x0 cos x(1 sin x)cosx(1sin x)1sin x右边左边 =sin x)cos2 xcos x(1 sin x)(1原式成立证法二：由题义知cosx0，所以1sin x0,1sin x0 又 (1 sin x)(1sin x)1sin2 xcos2xcos x cos x ， cos x1 sin x 1 sin xcos x证法三：由题义知cosx0，所以1sin x0,1sin x0 专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格

12、式.cosx1 sin xcos x cos x(1 sin x)(1sin x)cos2 x 1 sin2 x，1 sin xcosx(1sin x)cos x0(1 sin x) cos x cos x 1 sin x 1sin xcosx1 3 诱导公式1、诱导公式一sin(360 k)sincos(360 k)costan(360 k)tan诱导公式二sin(180)sincos(180)costan(180) tan诱导公式三sin()sincos()costan()tan诱导公式四sin( )=sincos( )=costan ( ) = tan诱导公式 (五)sin()cosco

13、s(2)sin2诱导公式六sin()coscos(2)sin2) cos(11sin(2) cos() cos()2、化简：22.) sin(9cos() sin(3) sin()23、sin()4 , 且 sincos0,求 2sin()3 tan( 3)的值 .54cos(3 )专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.4、化简 :cos2( 2) cos2 (1)sin(2 ) cos(2);)sin 525、sin,cos 是关于 x的方程 x21的两根，且3ax02求 tan( 6) sin(2) cos(6)的值 .cos(180)sin(900)1.4.1 正

14、弦、余弦函数的图象1、yy=sinx1-6-5-4-3-2-o2-1yy=cosx1-6-5-4-3-2-12.tan( 360o) .sin()7 .23456x3456x专业资料整理WORD格式正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图描点法：正弦函数 y=sinx ， x 0 ， 2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) ( ,0) (3,-1) (2 ,0)22余弦函数 y=cosxx 0,2 的五个点关键是哪几个？ (0,1) (,0) ( ,-1) ( 3,0) (2 ,1)223、别利用函数的图象

15、和三角函数线两种方法，求满足以下条件的x 的集合：(1)sin x1 ;(2)cos x1 ,(0x5 ).222专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.1.4.2正弦、余弦函数的性质1、奇偶性：y=cosx 是偶函数y=sinx 是奇函数。2、单调性正弦函数在每一个闭区间2 2 k， 2 k(k Z)上都是增函数，其值从1 增大到 1；32在每一个闭区间 2 k， 2 k ( k Z)上都是减函数，其值从 1减小到 1.22余弦函数在每一个闭区间(2 k 1) ， 2k (k Z)上都是增函数，其值从1 增加到 1；在每一个闭区间2， (2k 1) (Z)上都是减函数，

16、其值从1 减小到 1.k k3、有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为 x= k2k Zy=cosx的对称轴为 x= kk Z4、判断以下函数的奇偶性(1) f (x)1sin xcos x ;(2)f (x)lg(sin x 1sin2 x );1sin xcos x1.4.3正切函数的性质与图象1、正切函数ytan x 的定义域是什么？x | xk , k z22、y tan xx R，且 xkkz的图象，称“正切曲线 。2yy3O3xx202223、正切函数的性质1定义域：x | xk , kz；2专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式. 2值

17、域： R观察：当 x 从小于kkz ，xk时， tan x22当 x 从大于kkz ，xk时， tan x。 3周期性：T22； 4奇偶性：由tanxtan x 知，正切函数是奇函数； 5单调性：在开区间k ,k kz 内，函数单调递增。224、求以下函数的周期： 1 y 3tanx5答： T。 2 ytan 3x答： T。63说明：函数 yA tan xA 0,0的周期 T5、求函数ytan 3x的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，3解： 1 、由3xk得 xk5，所求定义域为x | xk5,kz318R,且x323182 、值域为 R，周期T3，3 、在区间k18, k5kz

18、上是增函数。33181.5 函数 y=Asin(wx+)(A>0， w>0) 的图象1、函数 y = Asin(wx+) ， (A>0 ， w>0) 的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左( >0)或向右 ( 0)平移 | |个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1) 或伸长 (0<w<1) 到原来的1倍 (纵坐标不变 )，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0<A<1) 到原来的 A 倍， (横坐标不变 )。即：平移变换周期变换振幅变换。2、函数 y = sin2x图像向右平移 5个单位所得图像的函数

19、表达式为ysin 2(x5)1212函数 y = 3cos(x+)图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为y3 cos(x7)4312函数 y = 2log a 2x 图像向左平移3 个单位所得图像的函数表达式y2 log a 2( x 3)函数 y = 2tan(2x+) 图像向右平移3 个单位所得图像的函数表达式为3专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.y 2 tan2( x3)33、函数 y = Asin(wx+) 表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅.T：T2往复振动一次所需的时间，称为“周期.f ：f1单位时间内往返振动的 次

20、数，称为“频率 .T 2x : 称为“相位.: x=0时的相位，称为“初相.例 由右图所示函数图象， 求2.y4、yA sin(x)(| |的表达式).解析：由图象可知A=2，217(),To即 288，2.8又 (8,0)为五点作图的第一个点 ，2因此2，.804因此所求函数的表达式 为y2sin(2x).41.6 三角函数模型的简单应用1、画出函数y|sin x|的图象并观察其周期.3 788x专业资料整理WORD格式y |sinx|y专业资料整理WORD格式22x22专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.第二章：平面向量2.1.1-2.1.2向量的物理背景与概念及

21、向量的几何表示1、数量与向量的区别：aB数量只有大小，是一个代数量，可以进展代数运算、比较大小；终点向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.A(起点 )2、向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、黑体，印刷用等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ；向量AB 的大小长度称为向量的模，记作|AB |.3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（ 1 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，这两个向量就是一样的向量；（ 2有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一样，也是不同的有向线段 .4、零向量、单位

22、向量概念：长度为0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写区别.长度为1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向一样或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0 与任一向量平行.说明： 1 综合、才是平行向量的完整定义；2向量 、 平行，记作 .2.1.3相等向量与共线向量1、相等向量定义：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.说明：1 向量与相等，记作； 2零向量与零向量相等； 3任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量

23、，因为任一组平行向量都可移到同一直线上与有向线段的起点无关.专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.说明： 1平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 2共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3、判断：（ 1 不相等的向量是否一定不平行？不一定（ 2 与零向量相等的向量必定是什么向量？零向量（ 3 两个非零向量相等的当且仅当什么？长度相等且方向一样（ 4 共线向量一定在同一直线上吗？不一定4、以下命题正确的选项是A. 与共线，与共线，那么与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量与不共线，那么与都是

24、非零向量D. 有一样起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上， 而此时就构不成四边形， 根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向一样或相反即可，与起点是否一样无关，所以不正确；对于 C ，其条件以否认形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假假设与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.5、判断以下命题是否正确，假设不正确，请简述理由向量 AB 与CD是共线向量，那么A、

25、B、 C 、 D 四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB DC一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同.解：不正确 .共线向量即平行向量，只要求方向一样或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC在同一直线上.不正确 .单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确 .零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 、正确 . 不正确 .如专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.图 AC 与 BC 共线，虽起点不同，但其终点却一样.2.2.1向量的加法运算及其几何意义

26、1、三角形法那么“首尾相接，首尾连如图，向量a 、 .在平面内任取一点A ，作ABa， BC ，那么向量AC 叫做a与的和，记作a ，即a ABBCAC ，规定：a + 0-= 0 + a2、向量a 、 b ，求作向量a + b作法：在平面内取一点，作OAaABb ，那么 OBab .2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1、作法：在平面内取一点O ，作 OA =a，AB =b那么BA=ab即 ab 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.注意： 1AB 表示ab .强调：差向量“箭头指向被减数2 用“相反向量定义法作差

27、向量，ab = a + (b )BBaba+ ( b)bOa专业资料整理WORD格式bbBA专业资料整理WORD格式2.2.3向量的数乘运算及几何意义1、实数与向量的积的定义：一般地，实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度与方向规定如下： 1|a | | a |； 2当0 时，a 的方向与 a 的方向一样；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a 0 2、实数与向量的积的运算律：1(a) ()a 结合律；2() aaa 第一分配律 ； 3 a+b=ab 第二分配律3、计算： 1(3)4a ； 23(a b)2( ab) a ； 3(2 a3bc) (3a 2bc

28、) 解： 1原式 =12a ； 2 原式 = 5b； 3 原式 = a 5b 2c4、a 3ba b12b,求证：向量 a 和 b共线 .向量 a 、b满足23a55专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.5、证明三点共线的问题ABBC(BC0)A、B、C三点共线 .2.3.1-2 平面向量根本定理、平面向量的正交分解和坐标表示1、平面向量根本定理：如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1，2使 a =1 e1+2 e2.专业资料整理WORD格式2、 (1)我们把不共线向量、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

29、；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底、的条件下进展分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. ， 是被a，e1，e2唯12一确定的数量3、如图，、不共线,且OA OBAP t AB (tR ),用，表示OP .OA OBPB专业资料整理WORD格式此题实质是 O、A、B三点不共线，OA假设点 P 在直线 AB 上，那么 OP mOAnOB, 且 mn1.4、向量的夹角 :两个非零向量a、 b ，作 OAa ，OBb，那么，叫向量a、 b 的AOB夹角， 当=0 °，a、b同向，当=180 °，a、b反向，当=90 °，a与b

30、垂直，记作ab。6、正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。7、在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y轴方向一样的两个单位向量i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y，使得a xi1yj 专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.我们把 ( x, y) 叫做向量 a 的直角坐标，记作a(x, y) 2在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.23 3 平面向量的坐标运算1、平面向量的坐标运算 1 假设a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，那么ab( x1x2 , y1y2 ) ，ab(

31、 x1x2 , y1y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 2 假设a( x, y) 和实数，那么a( x, y) .实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为 i 、 j ，那么a(xiyj )xiyj ，即a( x, y)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3假设A( x1, y1)，B( x2, y2)，那么ABx2x1, y2y1AB = OBOA =( x2，y2)(x1， y1 )= (x 2x1， y 2y1 )2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.3、思考：你能标出坐标为 (x

32、2 x1， y2y1 )的 P 点吗？向量 AB 的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是一样的。专业资料整理WORD格式参考 .资料专业资料整理WORD格式.4、三个力F1(3 ，4) ，F2(2，5) ，F3(x ， y) 的合力F1 + F2 + F3=0，求F3的坐标 .解：由题设 F1+ F2+F3=0得： (3 ， 4)+ (2，5)+(x ， y)=(0 ， 0)32x0x5F3(5， 1)即：5y014y5、假设 A(0 ， 1)，B(1， 2)，C(3 ， 4) ， 那么AB2BC =.2.3.4平面向量共线的坐标表示1、设 a =(x1，y1)，b=(x2，y2)其中 ba .x1x2由 a =b得，(x1，y1) =(x2，y2)消去，x1y2-x2y1=0y1y2a b( b0 )的充要条件是x1 y2-x2y 1=02、假设向量a =(-1 ， x)与b =(-x ， 2) 共线且方向一样，求x解： a =(