第6章几何变换周第2次课

1、西北工业大学西北工业大学机电学院机电学院 白晓亮二维、三维图形的几何变换二维、三维图形的几何变换6.1 变换的数学基础6.2 二维几何变换6.3 三维几何变换6.4 几何变换小结2022-2-27计算机图形学计算机图形学3矢量 是一个n元组，对应于n维空间的一个点。该点可以代表物体在空间的一个位置，也可以代表其运动状态。2022-2-27计算机图形学计算机图形学4TzyxuuuUTzyxvvvV矢量的长度 单位矢量 长度为1的矢量矢量间的夹角VUVUcos2022-2-27计算机图形学计算机图形学5222zyxuuuUUUVUUVUUUU)(cos矢量运算 矢量和 数量的数乘 矢量的点乘 矢量

2、的叉乘zyxkukukuUkzzyyxxvuvuvuVU2022-2-27计算机图形学计算机图形学6zzyyxxvuvuvuVUUVVUVUVU000UUUzyxzyxvvvuuukjiVUUVVU 矩阵 m行n列矩阵A 方阵 m = n 零矩阵 元素全为0的矩阵 行向量与列向量mnmmnnaaaaaaaaaA2122221112112022-2-27计算机图形学计算机图形学7矩阵的加法 满足结合率和交换率mnmnmmmmnnnnnmijijbabababababababababaBA221122222221211112121111)(2022-2-27计算机图形学计算机图形学8矩阵的数乘 标

3、量乘矩阵的每个元素 mnmmnnnmijkakakakakakakakakakakA212222111211)(2022-2-27计算机图形学计算机图形学9矩阵的乘法 满足结合律和分配律 nlljilijpnnmpmijbacBAcC1)(元素：2022-2-27计算机图形学计算机图形学10单位矩阵 主对角线元素为1的矩阵2022-2-27计算机图形学计算机图形学11100010001nInmnmnnmnnmAAIAIA矩阵的转置 矩阵的行列互换 mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111TTTTTTTTTTABBAkAkABABAAA)().4()().3()().2()()

4、.1 (2022-2-27计算机图形学计算机图形学12矩阵的逆：若AB=BA=I,B=A-1 矩阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵（行列式不为0）。AB互为逆矩阵2022-2-27计算机图形学计算机图形学1310001000111125323231343122321BA11125323231,343122321BA10001000134312232111125323231AB齐次坐标 由n+1维向量表示一个n维向量 二维平面的点：P(x,y)含2个分量，唯一性 齐次坐标表示： P(wx,wy,w)含3个分量， w不为0，表示不唯一。2022-2-27计算机图形学计算机图形学14(x,y)x

5、y(w1x, w1y, w1) 和(w2x, w2y, w2)表示同一个点(x, y )例如：点（3,2）可以用（12,8,4）或（6,4,2）表示一般，w取为1。为什么要使用齐次坐标？ 1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（xh, yh, h)，令h等于0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。 4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现2022-2-27计算机图形学计算机图形学15图

6、形变换是计算机图形学基础内容之一。 几何变换，投影变换，视窗变换 线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。2022-2-27计算机图形学计算机图形学16二维图形显示流程2022-2-27计算机图形学计算机图形学17图形的几何变换 图形变换 对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。 图形变换的两种形式 1.图形不变，坐标系改变； 2.图形改变，坐标系不变。 我们所讨论的是针对坐标系的改变而讲的。2022-2-27计算机图形学计算机图形学18设变换前坐标为(x,y,1)T,变换后为(x*,y

7、*,1)T 二维变换矩阵注意：T2D可看作三个行向量，其中 1 0 0：表示x 轴上的无穷远点 0 1 0：表示y 轴上的无穷远点 0 0 1：表示原点 ifchebgdaTD22022-2-27计算机图形学计算机图形学1911*yxifchebgdayx变换矩阵元素的功能2022-2-27计算机图形学计算机图形学20smlqdcpbaTx平移分量y平移分量a: x比例因子d: y比例因子s:总比例因子a、b、c、d 旋转变换a、b、c、d 剪切变换a、b、c、d 对称变换平移变换2022-2-27计算机图形学计算机图形学21平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状TyxyxTTTyT

8、xTTyxyx1101000111*比例变换 以坐标原点为放缩参照点 当Sx=Sy=1时：恒等比例变换 当Sx=Sy1时：沿x,y方向等比例放大。 当Sx=Sy1时：沿x,y方向等比例缩小 当SxSy时：沿x,y方向作非均匀比例变换，图形变形。2022-2-27计算机图形学计算机图形学221100000011*ySxSSSyxyxxxyxTT对称变换 当b=d=0,a=-1,e=1时，(x*,y*,1)T=(-x,y,1)T与y轴对称 当b=d=0,a=1,e=-1时，(x*,y*,1)T=(x,y,1)T与x轴对称 当b=d=0,a=e=-1时， (x*,y*,1)T=(-x -y 1)T与

9、原点对称 当b=d=1,a=e=0时， (x*,y*,1)T=(y,x,1)T与y=x对称。 当b=d=-1,a=e=0时， (x*,y*,1)T=(-y,-x,1)T与y=-x对称2022-2-27计算机图形学计算机图形学2311000011*eydxbyaxebdayxyxTT旋转变换2022-2-27计算机图形学计算机图形学24(x,y)(x,y)sincosyxcossinsinsincoscosyxyyxx1cossinsincos1000cossin0sincos11*yxyxyxyxTT剪切变换2022-2-27计算机图形学计算机图形学25PTP沿x轴方向关于y的剪切100010

10、01tgTyyytgxx沿y轴方向关于x的剪切10001001tgTxtgyyxx偏移量偏移量复合变换 应用：单一变换不能满足变换要求，需要多个矩阵相乘。典型： 绕空间任一点旋转 关于参考点的比例变换2022-2-27计算机图形学计算机图形学26绕二维空间任一点旋转2022-2-27计算机图形学计算机图形学27分析：绕原点旋转的矩阵已知，不能直接使用！任一点变成原点？原点变回到任一点？10100011AAyxT10100013AAyxT1000cossin0sincos2T321TTTT三维其次坐标 (x,y,z)T点对应的齐次坐标为 标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系 2022-2-2

11、7计算机图形学计算机图形学28),(hzyxhhh0,hhzzhyyhxxhhh变换矩阵元素的功能2022-2-27计算机图形学计算机图形学29射影变换总比例平移变换比例、旋转、剪切、对称) 1 ,(zyxP三维空间的点：snmlrihgqfedpcbaT齐次变换矩阵TPP平移变换1010000100001zyxTTT2022-2-27计算机图形学计算机图形学30比例变换1000000000000zyxSSS2022-2-27计算机图形学计算机图形学31对称变换 相对xy平面对称变换 2022-2-27计算机图形学计算机图形学321000010000100001Tzzyyxx对称变换 相对xz

12、平面对称变换 2022-2-27计算机图形学计算机图形学331000010000100001Tzzyyxx对称变换 相对yz平面对称变换 2022-2-27计算机图形学计算机图形学341000010000100001Tzzyyxx剪切变换 b、c、d、f、g、h2022-2-27计算机图形学计算机图形学351000010101hgfdcbTfycxzzhzbxyygzdyxx绕任意轴旋转-绕坐标轴旋转 绕z轴旋转- x-y平面绕原点的公式 2022-2-27计算机图形学计算机图形学361000010000cossin00sincosTzzyxyyxxcossinsincosTPP绕y轴旋转：y

13、值不变2022-2-27计算机图形学计算机图形学3710000cos0sin00100sin0cosTsincoscossinxzzyyxzx绕x轴旋转：x值不变2022-2-27计算机图形学计算机图形学3810000cossin00sincos00001Tcossinsincoszyzzyyxx绕空间任意轴(AB)旋转2022-2-27计算机图形学计算机图形学391010000100001AAAAzyxT原点到A点坐标系平移：1BBAxzyzxyAB轴变成坐标轴绕x轴旋转 ABAB2:2022-2-27计算机图形学计算机图形学4010000cossin00sincos00001xR22sin

14、coscbvvbvc1BBAxzyzxy2BA3Bbcav绕y轴旋转 AB2AB42022-2-27计算机图形学计算机图形学41B4B2BAxzyzxy3B10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(yR22sincosvassasvsvbcas为AB轴绕z轴旋转2022-2-27计算机图形学计算机图形学42B4B2BAxzyzxy3Bsvbca1000010000cossin00sincoszR旋转轴=z轴 逆变换：旋转轴回到AB:2022-2-27计算机图形学计算机图形学4310000cos0sin00100sin0cos1yR10000)cos()sin(00)sin()cos(000011xR10100001000011AAAAzyxT绕空间任意轴(AB)旋转矩阵2022-2-27计算机图形学计算机图形学44111AxyzyxAABTRRRRRTTBAzxy几何变换：几何变换： 对图形的点进行变换，将变换矩阵作用于图形的点对图形的点进行变换，将变换矩阵作用于图形的点