考研高数泰勒公式及其应用典型例题_第1页
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文档简介

1、泰勒公式及其应用泰勒（Tayler）中值定理若函数在含有的某个开区间 （00） 内具有直到；.1阶导数，则当时，可以表示成了詁+恥）=/（叼）+ 討:? -叼）“ + 77?（X-叼）回k=i 七！（n + 1）!这里匚是：与：之间的某个值。三、几个概念1、严附2讹+件.（5严（月 +1）!此式称为函数的幕次展开到阶的泰勒公式;或者称之为函数一 “门在点： 处的阶泰勒展开式。当U 时，泰勒公式变为X0+1)/心曲+时(5)=曲+蚀(7)这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。严叫叼严W + 1)!为拉格朗日余项a <x <b2、对固定的'，若此式可用作

2、 误差界的估计。<->0 （兀t萧门）（x-x0）w（ + 1）5故忙表明：误差是当二T 一时较高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。3、若_匸，则匚在 l与之间，它表示成形式泰勒公式有较简单的形式麦克劳林公式心心譽普斗+牛宀涪皿近似公式f » /(0) + 亍 x + 了 W x" + + z* (0 < 3 < 1)1! 2! «1误差估计式责克劳林展开式是一种特殊形武的泰勒展开武，容 易求。因此.求函数/(筈)在任意点X = XQ处的泰 勒展开式时可通过变量替换x -x0 =： ft归到这 情况&令 x =：则 /()

3、= /G + o)= F(O对函数F(f)作麦克劳林展开。【例1】求的麦克劳林公式。解: . '' >- « 1山厂口 丨，十-“于是+ + +2! nl有近似公式V x x e 対 1 + + + 1! 2!I IJ1+1其误差的界为(用+ 1)我们有函数.的一些近似表达式。【例2】求T"： 的，阶麦克劳林公式。佈广冷“血(X + #) /解：AO)=o, f (O)=it 7*(0)=0,(0)=o,-它们的值依次取四个数值L丨。"再+字+(-严其中:2耕1+(2m-1)!n0x+(2m + l)為=°优舫昭同样，我们也可给出曲

4、线的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。加 7(2/77+1)!【例3】求 几C)二加的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。-2 cosx - (- sinx)cos4x2sinxcos3x. 山cosx - cosJ x - sinr 3cos2 x' (- sin x) 2cos2x + 6sin2x防)=2贡=一砧一涮沦=4 (如)1z=h (Wr|x=o=O?(妙厂|说二2T曰 于是:利用泰勒展开式求函数的极限，法可求许多其它方法难以处理的极限。可以说是求极限方法中的“终极武器”，使用这一方【例4】利用泰勒展开式再求极限limxtO.'厂。如二 JC + lj + 0(门 解：= x + -x 3 + o(r3)-(龙一策)+ (xsinx =+6兀-丄x3 +o(x3) I6)+ (o(x3)-o(x3)r3fer-sinxlim13JC += limx1 3= lim + lim 丫 '

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