考前归纳总结导数中的易错题分析

1、导数中的易错题分析一切线问题中忽视切点的位置致错例1：已知曲线f (x) =2x3 _3x，过点M (0,32)作曲线f (x)的切线，求切线方程。分析：本题常会这样解：由导数的几何意义知k二f (0) = -3，所以曲线的切线方程为y =3x 32。这是错误的，原因是点M (0,32)根本不在曲线上。解：设切点坐标为N(xo,2x； -3冷)，则切线的斜率 k = f(X。)=6x2 -3，故切线方程为y =(6x2 -3)x 32，又因为点N在切线上，所以 2x3 -3x0 = (6x2 -3)x0 32，解得x。- -2，所以切线方程为 y=21x+32。注意：导数的几何意义是过曲线上该

2、点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上。二.忽视单调性的条件致错ax +1例4 :已知函数 f(x)二也(a为常数)，在(-1,1)内为增函数，求实数 a的取x +1值范围。分析：课本上给出的有关单调性的结论是：若f (x)在(a,b)上有(x) > 0 ,则有f (x)在(a, b)上为单调递增函数；若 f (x)在(a,b)上有f (x) <0,则有f (x)在(a, b)上为单调递减函数。 注意这一条件只是单调的充分条件并不是充要条件，这一充分条件也可扩大为 f(x)在(a,b)上有f (x) >0 (或f (x) < 0)且(x)在 任一子区间上不恒为零，则有

3、f(x)在(a,b)上为单调递增(减)函数。a 1a 1解：由已知得f (x)=2，由题意可得f (x)=2 >0在(-1,1)上恒成立，(x+1)(x + 1)即a -1，而当a=1时，f(x)=0恒成立，所以当a=1时，f (x)不是单调递增函数，所以a> 1。三忽视极值的存在条件致错例5：已知函数f (x)二x3 ax2 bx a2在x = 1处有极值10，求a,b。分析：抓住条件“在x =1处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得a,b。a, b有两组值，是否都合题意需检验。h2(1) = 0 刚解：f (x 3x2 2ax b,根据题意可得，即(1) = 102

4、a b 3=0,2a a b 1 = 10,ai 4,a 3,解得1,或2,bi = -11,© = 3.而当去八3时,p2 =3匚22f (x) =3x -6x 3 = 3 x -1,易得此时，f (X)在x=1两侧附近符号相同，不合题意。fai = 4 当 1时，f (x) =(3x 11)(x-1)，此时，D 11_La = 4 f (x)在x =1两侧附近符号相异，符合题意。所以。lb = 11注意：极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号。四混淆极值与最值是两个不同的概念致错32例6:求函数f(x)=X - 2x x在3, 3上的最值。分析：需注意在闭区间上的最值应

5、是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而 得，而不能简单地把极值等同于最值。解：f (x)=3x2 4x+1= ( 3x 1) (x 1),1所以极值点为x=1或x= -。3又 f (1)=0, f(-1)= 4, f(-3)二48, f(3) =12.所以函数最大值为12,最小值为48。五.忽视“导数为零的点”与“极值点”的区别致错例7:函数f (x) =(x2 -1)32的极值点是()A 、x =1 B、x - -1 或 x = 1 或 x=0 C、x=0 D、x = -1 或 x = 1误解:T f (x)二 3(x2 -1)2x，即 f (x)二 6x(x2 -1)2,2 2由 f (x) = 0 得 6x(x1) =0 ,x=0 或 x=± 1 故选(B).正解:由 f (x) = 0 有 x=0 或 x= ±