2010现代控制理论基础考试题a卷及答案

1、哈工大 2010 年春季学期现代理论基础 试题 A一（本题满分 10 分）为一个摆杆系统，两摆杆长度均为 L ，摆杆的质量忽略不计， 摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，q1 与q2 分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当q1 = q2 时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力 f (t) 作用在中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sinq = q ， cosq = 1。（1） 写（2） 写的运动微分方程； 的状态方程。【解】（1）对左边的质量块，有ML q = f × L cosq- k × L (sinq)

2、15; L cosq-sinq- MgL sinq2111211222对右边的质量块，有= k × L (sinq)× L cosqML2q-sinq- MgL sinq2122222在位移足够小的条件下，近似写成：f- kL (q) - MgqMLq =-q112124= kL (q) - MgqMLq-q21224第 1 页 （共 8 页）题号一二三四五六七八卷面分作业分实验分总分满分值1010101010101010801010100得分值班号试 题：现代理论基础 (A 卷)班号：即q = -æ+ g öqkk+q +ç 4ML 

3、7;112èø4Mk-æk+ g öqq =q4Mç 4ML ÷212èø（2）定义状态变量x1 = q1 ， x2 = q1 ， x3 = q2 ， x4 = q2则ìx1 = x2ïïè 4ML ø4Mïíïï=öL ÷ 3Mè 4Mø或写成é0éê-æ+ g ök1ê x úç 4ML ÷&#

4、234;èøê2 ú =êúêú0k4Mêëúû二（本题满分 10 分）设一个线性定常系统的状态方程为 x = Ax ，其中 AÎ R2´2 。ée-2têùúûé2ùé1 ù=x(0) = ê-1úx(0) = ê-1úx(t) 若时， 状态响应为 ；时， 状 态 响 应 为-e-2tëûë

5、51;ëx(0) = é1ùé2e-t ùx(t)=x(t) ê úêú。试求当时的状态响应。3-e-të ûëû【解答】系统的状态转移矩阵为(t) = eAt ，根据题意有ée-2tùé 1 ùx(t) = êú = eAt êúë-1ûë-e-2t ûé2e-t ùé 2 ùx(t) = ê&#

6、250; = eAt êúë-1ûë-e-t û合并得第 2 页 （共 8 页）试 题：现代理论基础 (A 卷)班号：é e-2t2e-t ù =At é 12 ùeêúê-1-1ú-2t-t-e-eëûëû求得状态转移矩阵为2 ù-1-1û2e-t ù é-1-2ùé e-2t2e-t ù é 1ú êé

7、e-2t= ê= êeAtú êúú-e-t û ë-1ë-e-2të-e-2t-e-t û ë 11 ûé-e+ 2e-2e-2t + 2e-t ù-2t-t=êúe-2t - e-t2e-2t - e-tëû当 x(0) = é1ù 时的状态响应为ê3úë ûé1ùé-e-2t + 2e-t-2e-2t + 2e-

8、t ù é1ùx(t) = eAt êú = êú ê úe-2t - e-t2e-2t - e-tùë3ûû ë3ûëé-7e+ 8e-2t-t=êú7e- 4e-2t-tëû三（本题满分 10 分）已知某系统的方块图如下，回答下列：（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表；（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k 的取值范围。【解答】（1）系统的状态空间表为ì&#

9、233;ùé-2k ù é xùxé1ù1=1+ uïê x úê 10ú ê xúê1úïë 2 ûëû ë 2 ûë ûíé x ùï y = 10ê1úïë x2 ûî（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数k ¹ 3 且 k &#

10、185; 0 。第 3 页 （共 8 页）试 题：现代理论基础 (A 卷)班号：四（本题满分 10 分）离散系统的状态方程为éx1 (k +1) ù = é-41 ù éx1 (k) ù + é0ù u(k)êx(k +1)úê 2-3ú êx (k)úê1 úë 2ûëû ë 2ûë û序列u(0)u(N) ，使得系统由已知的初始状态（1）是否u(1)一个

11、有限x1 (0) ， x2 (0) 转移到 x1 (N +1) = 0 ， x2 (N +1) = 0 ？试给出依据和过程。序列u(0)u(N) 。（2）若，求 N 的最小值及u(1)【解答】（1）由题意，G = é-41 ù ， h = é0ù ， Q= hGh = é01 ù ， rankQ = 2 ，能控性的定义可ê 2-3úê1 úê1-3úccë知：（2）ûë ûëû有限序列，使得在有限时间内由状态初值转移

12、到零。态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的u(0) ， u(1) ，使得 x(2) = 0 ，即 N 的最小值为 1。根据状态方程 x(k +1) = Gx(k) + hu(k) 进行递推如下：x(1) = Gx(0) + hu(0)x(2) = Gx(1) + hu(1) = G Gx(0) + hu(0)+ hu(1) = G2 x(0) + Ghu(0) + hu(1) = 0 ， 由上面最后一步可得Ghu(0) + hu(1) = -G2 x(0)即hGhé u(1) ù = -G2 x(0)êu(0)úëûQ

13、é u(1) ù = -G 2 x(0)êúcu(0)ëûé u(1) ù = -Q-1G2 x(0) = é-40 10ù x(0) = é-4010ù é x1 (0) ùêu(0)úê-187 úê-187 ú êx(0)úcëûëûëû ë 2û即u(0) = -18x1(0) + 7x2

14、(0) ， u(1) = -40x1(0) +10x2 (0) 。五（本题满分 10 分）对下列系统x = é 01 ù x + é0ù uê-6-5úê1 úëûë û试设计一个状态反馈器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数z= 0.707 ；阶跃响第 4 页 （共 8 页）试 题：现代理论基础(A 卷)班号：应的峰值时间等于 3.14 秒。【解答】éùx律为u = k1k2 êx ú假设状态反馈，代入状态方程得闭环系统1ë

15、2 ûë-6-5ûë1 û1-5 + k= éù x0ê-6 + kúë2 û1闭环特征多项式为f (l) = det (l I - A) =l-1= l2 + (5 - k )l + 6 - k6 - kl + 5 - k2112t=p= pz = 0.707 = 2w =2根据题意的要求， P，期望特征多w1- z 2n2n项式为l) = l + 2zw l + w = l2 + 2l + 2*22f (nn根据多项式恒等的条件可得：ì5 - k2 = 2í6

16、- k = 2î1ìk1 = 4ík= 3î 2律为u = k1k2 状态反馈2 。六（本题满分 10 分） 设系统的状态空间表为第 5 页 （共 8 页）试 题：现代理论基础 (A 卷)班号：x = é01 ù x + é0ù uê0-5úê100úëy = 1ûëû0 x若该系统的状态 x2 不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为 -10 ，要求写出降维观测器动态方程，并写出状态 x2 的估计方程。【解答】将状态空

17、间表写成：ìx1 = x2ïx= -5x +100uí22ï y = xî1进一步写成ìx2 = -5x2 +100uíw = y = xî2设降维观测器方程为x2 = (-5 - l ) x2 +100u + lw x2 = (-5 - l ) x2 +100u + ly引入中间变量 z = x2 - ly ，两边求导数得z = x2 - ly = (-5 - l ) x2 +100u + ly - ly = (-5 - l ) x2 +100u z = (-5 - l )( z + ly) +100uz = (

18、-5 - l ) z - l (5 + l ) y +100u根据题意，降维观测器的极点为-10，即-5 - l = -10 ， 最终得到降维观测器的动态方程为z = -10z - 50y +100ul = 5 。为 x2 = z + 5y 。状态估计的表第 6 页 （共 8 页）试 题：现代理论基础 (A 卷)班号：七. （本题满分 10 分）证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。【证明】设原线性系统为ì x = Ax + Buí y = Cx + Duî其传递函数矩阵为W (s) = C (sI - A)-1 B + D设线性变换为 x = Tz ，变换后的线性系统为ìz = T -1ATz + T -1Buí y = CTz + Duî该系统的传递函数矩阵为W (s) = CT (sI -T -1AT )-1