弹性力学第五章线性本构关系

1、弹性力学主讲弹性力学主讲 邹祖军邹祖军 第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系5.1 弹性体变形过程中的功和应变能弹性体变形过程中的功和应变能5.2 广义胡克定律广义胡克定律5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体5.5 余能密度余能密度5.1 弹性体变形过程中的功和应变能弹性体变形过程中的功和应变能第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.1弹性体变形过程中的功和应变能弹性体变形过程中的功和应变能平衡方程、几何方程和物理方程平衡方程、几何方程和物理方程(本构关系或本构方程本构关系或本构方程)不计热效应不计热效应,准静态准静态.对位移增量对位移

2、增量iu,1()2iji jj iuu外力功外力功:iiiiijjiiisVsVT u dsfu dVnu dsfu dV ijijVVdVWdV (a)(5.1)第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.1弹性体变形过程中的功和应变能弹性体变形过程中的功和应变能其中其中ijijW (5.2)外力所做的功等于内力所做的功外力所做的功等于内力所做的功ijijdWd(应变能密度是应变的单值函数应变能密度是应变的单值函数)(5.3)0ijijijWd(5.4)ijijW(5.5)格林格林(Green)公式公式0VWdV0W0W 应变状态的应变能密度是正定的应变状态的应变能密度是正定的,等号

3、在等号在 为零时成立为零时成立(5.5)为弹性材料的本构关系为弹性材料的本构关系(5.6)第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.2 广义胡克定律广义胡克定律5.2 广义胡克定律广义胡克定律12ijijijklijklWcbE 0ijcW0ijijijWb20ijijklijklWE2222ijkljiklijlkklijWWWW 应变能密度是应变的单值函数应变能密度是应变的单值函数,W在在 附近附近Taylor展开展开0ij(5.7)(b)(a)ijkljiklijlkklijEEEE(5.8)0c 无应变状态无应变状态时的应变能时的应变能密度为零密度为零将式将式(5.7)代入代

4、入(5.5),并利用并利用(5.8),则则第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.2 广义胡克定律广义胡克定律1()2ijijijklklklijklijijklklijWbEEbE(5.9)0ijb 初应力假定初应力假定则则:ijijklklE1122ijklijklijijWE (5.10)(5.11)广义胡克定律广义胡克定律按商法则为四阶张量按商法则为四阶张量,弹性模量张量弹性模量张量.81个独立分量个独立分量.对一般线弹对一般线弹性因对称性性因对称性,只有只有21个独立分量个独立分量.对均匀弹性体对均匀弹性体,E与空间位置无关与空间位置无关.对非均质弹性体对非均质弹性体,E

5、是矢径是矢径r的函数的函数ijijklklC(5.12)柔度系数张量柔度系数张量5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体Hookes law,E为弹性模量。一般情况为弹性模量。一般情况 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关),(),(),(),(),(),(zxyzxyyyxzxzxzxyzxyyyxyzyzzxyzxyyyxxyxyzxyzxyyyxzzzxyzxyyyxyyzxyzxyyyxxx在单向应力的理想情况在单向应力的理想情况:xxE（5.13）对于线

6、性弹性材料，应力与应变是线性关系对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系zxyzxyyyxzxzxyzxyyyxyzzxyzxyyyxxyzxyzxyyyxzzxyzxyyyxyzxyzxyyyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211系数系数cij为弹性系数，共为弹性系数，共36个个取决于材料弹性性质，与坐标系选取无关，广义虎克定律取决于材料弹性性质，与坐标系选取无关，广义虎克定律第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性

7、本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体由对称性可知，独立的弹性常数共有由对称性可知，独立的弹性常数共有21个个两种表示方式之间的关系两种表示方式之间的关系 弹性系数弹性系数c的下标的下标 1、 2、 3、 4、 5、6 对应于张量对应于张量E的指标的指标11、22、33、12、23、31 例如：例如： c11E1111 c12E1122 c13E1133 c14E1112 弹性系数弹性系数cmn也应具有对称性也应具有对称性 cmncnm满足广义虎克定律的线性弹性体称为各向异性弹性体满足广义虎克定律的线性弹性体称为各向异性弹性体第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.3 各向

8、异性弹性体各向异性弹性体A 具有一个弹性对称面的线性弹性体具有一个弹性对称面的线性弹性体弹性对称面弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系该面对称的两个方向具有相同的弹性关系 弹性主方向弹性主方向 垂直弹性对称面的方向垂直弹性对称面的方向弹性对称面弹性对称面弹性主方向弹性主方向 第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体, , , , xxyyzzxyxyyzyzzxzx , , , , xxyyzzxyxyyzyzzxzx xxyy zz （a）（b）(a)和

9、和(b)代入代入(5.13)xyzXYZXYZXYZ111012013021031122032023133ijj ji ij i 由由第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体1112131415162122232425263132333435364142434445 xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 46515253545556616263646566yzzxyzxyzxyyzzxzxxyzxyyzzxCCCCCCCCCCCCC （c）第五章第五章 线性弹性本构关

10、系线性弹性本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体要使变换后的应力应变关系不变，则必须要使变换后的应力应变关系不变，则必须04645363526251615CCCCCCCC弹性常数由弹性常数由21个减少到个减少到13个，式个，式(5.13)简化为：简化为：zxyzzxzxyzyzxyyyxxyxyyyxzxyyyxyxyyyxxcccccccccccccccccccc6665565544434241343332312423222114131211第三章第三章 本构关系本构关系 3.1 线性弹性体的本构方程线性弹性体的本构方程本构关系为：本构关系为：zxyzxyzyxzxyzxyzyxcc

11、ccccccccccc6656554434332423221413121100000000对称对称弹性常数从弹性常数从21个减少到个减少到13个个第三章第三章 本构关系本构关系 3.1 线性弹性体的本构方程线性弹性体的本构方程B 正交各向异性弹性体正交各向异性弹性体具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个个各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料，如果各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料，如果相互垂直的三个平面中有两个是弹性对称面，则第三相互垂直的三个平面中有两个是弹性对称面，则第三个平面必然也是弹性对称面。个平面必然也是弹性对称

12、面。（3.9）zxyzxyzyxzxyzxyzyxccccccccc665544332322131211000000000000对称对称C横观各向同性弹性体横观各向同性弹性体存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性。将存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性。将x，y轴互换时，材料弹性关系不变，本构关系为：轴互换时，材料弹性关系不变，本构关系为：独立的弹性常数减少到独立的弹性常数减少到6个。例如：层状结构的岩体。个。例如：层状结构的岩体。(d)zxyzxyzyxzxyzxyzyxccccccccc555544331311131211000000000000对称对称11221

13、3235566, , CCCCCC第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体将坐标系绕将坐标系绕z轴旋转轴旋转，剪切应力应变关系不变，剪切应力应变关系不变，12()sin2cos2()sin2cos2x yyxxyx yyxxy 44x yx yC 1442()sin2cos2()sin2cos2 yxxyyxxyC 442()yxyxC1112()()yxyxCC14411122()CCC(e)由由(任意任意)(f)由由(d)得得(g)(h)第五章第五章 线性弹性本构

14、关系线性弹性本构关系 5.3 各向异性弹性体各向异性弹性体1112132111133131331111225555()xxyzyxyzzxyzxyxyyzyzzxzxCCCCCCCCCCCCC（5.16）zxyzxyzyxzxyzxyzyxcccccccccc5555121121331311131211000)(000000000对称对称独立的弹性常数减少到独立的弹性常数减少到5个。个。横观各向同性材料的本构关系横观各向同性材料的本构关系第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体1131233115511122, ,

15、 ()CCCCCCC若沿所有方向的弹性性质都相同若沿所有方向的弹性性质都相同,则这种材料为各向同性弹则这种材料为各向同性弹性材料性材料.将将x轴与轴与z轴互换，或将轴互换，或将y轴与轴与z轴互换时，材料弹性轴互换时，材料弹性关系不变，式关系不变，式(5.16)仍成立仍成立于是，独立的弹性常数减少到于是，独立的弹性常数减少到2个个121112121112121112111211121112()()()()()()xxyyzzxyxyyzyzzxzxCCCCCCCCCCCCCCC(a)(5.17a)第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体12C1112(

16、) / 2CC拉梅系数拉梅系数Lame222222xxyyzzxyxyyzyzzxzx2ijijij(5.17b)ijijklklE(5.17c)()ijklijklikjliljkE (5.18)第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体()ijklijkliijjkklliijikklkiijjkiljiijjkjliEE ()i jk li kj li lj k lkj iklkki ji il lkkj ji iklij 弹性模量张量在坐标变换时不变弹性模量张量在坐标变换时不变 在式在式(5.17b),令令i=j,求和得体积应力与体积应变的关系

17、求和得体积应力与体积应变的关系 2ijijij(5.17b)(32 )3K (5.19)23K(5.20)体积模量体积模量由式由式(5.17b)和和(5.19)得偏应力与偏应变的关系得偏应力与偏应变的关系2ijijSe(5.21)在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体122 (32 )ijijij应力表示应变的关系应力表示应变的关系(5.22)x考虑只在考虑只在X

18、方向简单拉伸的情况。此时，只有方向简单拉伸的情况。此时，只有不为零。不为零。(32 )2 (32 )0 xxyzxxyyzzx (b)xxEyzxE 0 xyyzzx 简单拉伸简单拉伸E E是杨氏（是杨氏（YoungYoung）弹性模量）弹性模量,是泊松（是泊松（PoissonPoisson）比）比 (c)第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体(32 ), 2()E(5.23), (1)(12 )2(1)EE(5.24)1xyxy1xyxyGG G是剪切弹性模量是剪切弹性模量 由由(5.22)(5.22)得剪应力与剪应变的关系得剪应力与剪应变的关系

19、 在实用中在实用中 (d)(e)G(5.25)利用利用(5.24),(5.24),应力应变关系应力应变关系(5.22)(5.22)为为1ijijijEE(5.26a)第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体2(1)1() , ,2(1)1() , ,2(1)1() , .xxyzxyxyyyzxyzyzzzxyzxzxEEEEEE (5.26b)展开展开1123KE 3(12 )EK(5.27)(5.28)相应地相应地应变能密度应变能密度21122ijijijijW 22222221()()22xyzxyyzzx (5.29)第五章第五章 线性弹性本构关系线性弹性本构关系 5.4 各向同性弹性体各向同性弹性体2111333()()ijijijijij