2020届高考数学一轮复习通用版讲义基本不等式

1、第7页共10页第四节基本不等式1.基本不等式/ab0, b0.1定要验证等号是a=b.-J -1-2 .算术平均数与几何平均数 a+ b 一设a0, b0,则a, b的算术平均数为几何平均数为/ab,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3 .利用基本不等式求最值问题已知x0, y0,则(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+ y有最小值是2vp(简记：积定和最小).2(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时，xy有最大值是(简记：和定积最大.).和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大 值；积为定值时，可求 其和的最小值.二、常

2、用结论汇总一一规律多一点(1)a2+b22ab(a, b R),当且仅当 a=b时取等号.(2)ab 2-b/(a, bCR),当且仅当 a=b 时取等号.(4)b+ jb 2(a, bCR,且a, b同号)，当且仅当a=b时取等号.三、基础小题强化一一功底牢一点（一判一判（对的打“，”，错的打“X”）a b （1）当 a0, b0 时，-2-强.（）a+ b（2）两个不等式a2+b22ab与一丁 仲成立的条件是相同的.（）（3）x 0且y0是：+； 2的充要条件.（）答案：（1）， （2）X （3）X（二）选一选1 一1 .设a0,贝U 9a+a的取小值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7

3、解析：选C因为a0,所以9a+92=6,当且仅当1 一 1 一9a=二，即 a=不时,a 39a + 1取得最小值6.故选C. a2.若x0, y0,且2（x + y） = 36,则弧的最大值为（）A. 9B. 18C. 36D . 81解析：选 A 由 2（x+y）=36,得 x+y= 18,所以/XyWXy= 9,当且仅当 x= y=9 时， 等号成立.13. x0”是 “x+12” 成立的（）xA.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C当x0时，x+12x1=2（当且仅当x=1时，等号成立I因为x,xxxx同号，所以若x+ -2,则x0, 10,

4、所以x0”是“x+12”成立的充要条件，故选 C. xxx（三）填一填4,若实数x, y满足xy= 1,则x2+2y2的最小值为 解析：x2+ 2y2 = x2 + （2y）22x（y/2y）= 2v2,当且仅当x= 2y且xy= 1时等号成立.所以x2+ 2y2的最小值为2收.答案：2 25.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2.解析：设一边长为x m,则另一边长可表示为(10 x)m,由题知 0x2,则a 十 二的最小值是()A. 6B. 2C. 273 + 2D. 43(2)设0x0, y0,且x+2y=1,则x+y的取小值为 .(4)已知 x0, y0

5、, x+2y+ 2xy= 8,贝U x+2y 的最小值为 .解析(1)拼凑法因为 a2,所以 a 20 ,所以 a+= (a 2) + 22、/(a 2 V+ 2 = 23a-2a- 2丫、ya- 2+ 2,当且仅当a-2=o,即a= 2+也时取等号.故选 C.(2)拼凑法y= 4x(3-2x)=2 2 x(3 2x) 0 2 2x 3 2x 2=,当且仅当 2x=3-2x,即 x = 4 时,等号成立.0,2)，函数y= 4x(3 - 2x) Fx0, y0,且 x+2y=1,.1+ 1 = x+2y+ x+2y= 1 + 2+ 2y+ x3+2 2 12y=3+ 2P. x y x yx

6、y:. x y ,当且仅当2y= x且x+2y= 1,即x=p-1, y= 1半时，取得等号-1+ 1的最小值为3+2J2. x y(4)拼凑法因为 x0, y0,所以 8= x+ 2y+ x 2y (x+ 2y) +2y 2,令 x+ 2y= t,则80, 4解得t 4或tw 8,即 x+2y4或 x+2yw 8(舍去),当且仅当x= 2y,即x= 2, y=1时等号成立.答案(1)C (2)9 (3)3+ 272 (4)4解题技法基本不等式求最值的2种常用方法拼凑法拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数 的两项，然后利用基本不等式求解最值. 利用基本不等式求解最值时，

7、 要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件常数代换法常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商题组训练1.（常数代换法 后a0, b0且2a+b=4,则已的最小值为（）1A.2B.2八_ 1C4D.T4解析：选B 因为a0, b0,故2a+ b272ab（当且仅当2a = b时取等号）.又因为 2a+ b= 4, . 22ab 4? 0ab0 , y0,且x+4y= 40,则lg x+lg y的最大值是(A . 40B . 10C. 4D. 2解

8、析：选D 因为x+4y=40,且x0, y0,所以x+4y 2/ 4y =49(当且仅当x=4y时取=)所以 4Wyw40.所以 xyw 100.所以 lg x+ lg y= lg xyw lg 100= 2.所以lg x+ lg y的最大值为2. 113.(拼凑法 声ab0,则a+元+ ab取小值是()A.1B.2C.3D.4解析： 选 D a2 += (a2 ab) + 2- t +ab2a /(a2 ab1 2 十ab a(a-b)(aab) aba ab)2、/1x ab= 4,当且仅当 a2 ab= -1一且-1;=ab,即a=*J2, b= 当时取等号，故选 D. ；aba - a

9、b ab24.(常数代换法 F知x0, y0,且x+2y=xy,则x+y的最小值为 解析：由 x0, y0, x+2y= xy,得 2+1=1, x y所以 x+y=(x+y)g+y j= 3+2y+x3+2 2. x y当且仅当x= &y时取等号.答案：3+2.2考点二基本不等式的实际应用典例某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产 x千件，需另投入成1本为C(x),当年厂量不足 80千件时，C(x) = 1x2+10x(万兀).当年厂量不小于 80千件时, 30.05万元.通过市场分析，该厂生产的C(x)=51x+10000-1 450(万元).每件商品售价为 x商品能全部售完.

10、(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千彳)的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为 0.05万元，则x千件商品销售额为 0.05X 1 000x万元, 依题意得：10 000 x .当 0Vx80 时，L(x)=(0.05X 1 000x)- gx2+10x ；- 250 = - 1x2+40x-250. 33,_ r,10 000-1x2+40x-250, 0Vx80 时，L(x)=(0.05X 1 000x) -(51x+-x 1 450 厂 250=1 200 x +所以L(x)=10 0001 200,十 x x

11、80.(2)当 0x80 时，L(x)=1 2001+10：00 产 1 200-210 000此时x=,x即x= 100时，L(x)取得最大值1 000万元.由于 950 8、/警x= 240,当且仅当x= 30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x的值是 30.答案：302 .某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为 1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚忽略不计）.则泳池的长设计为 米时，可使总造价最低.解析：设泳池的长为x米，则宽为 等米, 总造价 f（x）=400X x+2X2

12、x0 - 100X200+ 60X200= 800X 5+等；+ 12 0001 600*225+12 000=36 000（元），当且仅当 x=竿（x0）,即x= 15时等号成立.即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.答案：15a+ b 2”课时跟检测1 . (2019 长春调研)“a0, b0 是 “ ab0, b0 时，a *3Jab,即 ab2,当 a=b 时，ab0, b0不是“ab”的充分条件.当 ab0, b0不一定成立，故“a0, b0 不是 “ab/a 2”的必要条件.故b0是abvF-bj”的既不充分也不必要条件，故选 D.2 .已知 x0, y0,且 x+2y=2,则

13、 xy3 .有最大值为1B.有最小值为1, 一 一 1一，一 1C.有最大值为2D.有最小值为2解析：选 C 因为 x0, y0, x+2y=2,11所以 x+ 2y 2Vx 2y,即 22/2xy, xy0, b0,a b所以ab2/（当且仅当b= 2a时取等号 所以ab的最小值为2#.),4.已知a0, b0, a, b的等比中项是1,且 m=b+ = , n = a + 1,则 m+n的最小值abB.D.A. 3C. 51 一1解析：选 B 由题思知 ab= 1,m= b+ a=2b, n = a+b= 2a, m+ n= 2(a+ b)4*ab=4,当且仅当 a=b= 1时取等号，故

14、m+ n的最小值为 4.5.（2019长春质量监测）已知x0, y0,且4x+y= xy,则x+y的最小值为（）A.B.C.12D.16解析：选 B 由 4x + y=xy得y + ；= 1,则 x+y= (x+y)x)=4x+x+g+5=9,当且仅当 j=y，即x= 3, y= 6时取,故选B.6.若正数x,y满足4x2 + 9y2 + 3xy=30,贝U xy的最大值为（）4A3B5B.35C.4D. 2解析：选D即 3015xy,30=4x2+9y2+3xy2 36x2y2+3xy,所以xyw 2,当且仅当4x2=9y2,即x=43, y= 乎时等号成立.3故xy的最大值为2.7.设2x

15、0,则函数 y=x+2x+12的最小值为（）A. 01B.2C. 1解析:3-2= 0,当且仅23选 A y= x + 一二 2x+1 2x+2第8页共10页当x+ 2即x = 2时等号成立.所以函数的最小值为0.故选A.一，一18 .已知x1, y1 ,且log2x, 4，log2y成等比数列，则 *丫有（）A.最小值 42B.最小值2C.最大值啦D.最大值2解析：选 A x1, y1,，log2X0, log2y0.又log2X, 1, log2y成等比数列，/4161=log2x log2y,由基本不等式，得log2x+ log2y 2jlog2x log2y= 2，当且仅当 log2x

16、= log2y时取等号，故log2(xy)1,即xy 2）的最小值为 6,则正数 m的值为 x 2、解析： x2, m0,y= x2 + xm2+ 22 xJx 2)x_m2+ 2= 2/m+ 2,当 x= 2+ 而时取等号，又函数 y= x + -m(x2)的最小值为 6,2Vm+2=6,解得 m=4.x 2答案：411. (2018天津高考)已知a, bCR,且a-3b+ 6=0,则2a+9的最小值为 .8解析：a 3b+ 6= 0).二 a 3b= 6.- 2a+ $= 2a+ 2 3b 242a 2 3b=2、2a 3b =2y126 =2X23=4.第10页共10页当且仅当a= -

17、3b,a3b+ 6=0,a= - 3,即i时等号成立.b= 112. （2018聊城一模）已知a0, b0,3a+b= 2ab,则a+ b的最小值为31解析：由 a0, b0,3a+b= 2ab,得 z + ;-=1, 2b 2a所以a+b=(a+b)倍+ ； 1= 2+3a+ b- 2+木，当且仅当b= 43 a时等号成立，则a 2b 2a 2b 2a十 b的最小值为2 +，3.答案：2+事13. (2019孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度噌02- 130X+4 900xC 50, 80x(km/h)(50 & x 120)的关系可近似表示为y=x 12-, xC80, 120.60(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A, B两地相距120 km,假定该型号汽车匀速从 A地驶向B地，则汽车速度为 多少时总耗油量最少？解：(1)当 xC 50,80)时，y=(x2-13