立体几何知识讲义

1、方向不相同高三数学总复习高考復習科目：數學高中數學總復習九復習內容：高中數學第九章-立體幾何復習範圍：第九章編寫時間：2004-7修訂時間：總計第三次 2005-4I.基礎知識要點一、平面.1. 經過不在同一條直線上的三點確定一個面注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內2. 兩個平面可將平面分成 3或4局部.兩個平面平行，兩個平面相交3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.三條直線在一個平面內平行，三條直線不在一個平面內平行注:三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.4. 三個平面最多可把空間分成 _8_局部.X、Y、Z三個方向二、空間直線.1. 空間直線位置分

2、三種：相交、平行、異面.相交直線一共面有反且有一個公共點；平行直線一共面沒有公共點；異面直線一不同在任一平面內注：兩條異面直線在同一平面內射影一定是相交的兩條直線.X可能兩條直線平行，也可能是點和直線等 直線在平面外，指的位置關係：平行或相交 假设直線a、b異面，a平行於平面：，b與的關係是相交、平行、在平面 :.內. 兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點. 在平面內射影是直線的圖形一定是直線.X射影不一定只有直線，也可以是其他圖形 在同一平面內的射影長相等，則斜線長相等.x並非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段 a,b是夾在兩平行平面間的線段，假设a =b，

3、則a,b的位置關係為相交或平行或異面.2. 異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.不在任何一個平面內的兩條直線3. 平行公理：平行於同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等如下圖 二面角的取值範圍 【三0 ,180 直線與直線所成角 日 o ：90 ： 斜線與平面成角匚三0 ,90 直線與平面所成角- 0 ,90 1_ _ -OO向量與向量所成角；.-0 ,180 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成銳角或直角相等5. 兩異面直線的距離：公垂線

4、的長度 .空間兩條直線垂直的情況：相交共面垂直和異面垂直11, 12是異面直線，則過11, 12外一點P,過點P且與11,12都平行平面有一個或沒有，但與 11, 12距離相等的 點在同一平面內.L!或L2在這個做出的平面內不能叫與L2平行的平面三、直線與平面平行、直線與平面垂直 .1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那麼這條直線和這個平面 平行.“線線平行，線面平行注:直線a與平面：.內一條直線平行，則 a II . x平面外一條直線 直線a與平面:-內一條直線相交，則 a與平面：相交.x平面外一條直線

5、 假设直線a與平面平行，則：內必存在無數條直線與 a平行.“不是任意一條直線，可利用平行 的傳遞性證之 兩條平行線中一條平行於一個平面，那麼另一條也平行於這個平面.x可能在此平面內 平行於同一直線的兩個平面平行 .X兩個平面可能相交 平行於同一個平面的兩直線平行 .X兩直線可能相交或者異面 直線I與平面：、加所成角相等，則V :. II - X ：.、:可能相交3. 直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼 這條直線和交線平行.“線面平行，線線平行4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有

6、且只有一個平面和一條直線垂直 .P假设PA丄，a丄AO，得a丄PO 三垂線定理 得不出：丄PO.因為a丄PO，但PO不垂直0A.三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這兩條直線垂直 於這個平面.“線線垂直，線面垂直直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直於一個平面，那麼另一條也垂直於這個平面.推論：如果兩條直線同垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行注:垂直於同一平面 的兩個平面平行.x可能相交，垂直於同一條直線 的兩個平面平行 垂直於同一直線的兩個平面平行 .V條直線垂直于平行的一個平面，必垂直於另一個平面 垂直於同一

7、平面的兩條直線平行 .V?5. 垂線段和斜線段長定理：從平面外一點.向這個平面所引的垂線段和斜線段中， 射影相等的兩條斜線 段相等，射影較長的斜線段較長； 相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；垂線段比任何一條斜線段短.注:垂線在平面的射影為一個點.一條直線在平面內的射影是一條直線 X射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那麼這點在平面內的射影在這個角 的平分線上四、平面平行與平面垂直.1. 空間兩個平面的位置關係：相交、平行 .2. 平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，哪麼這兩個平面平行.“線面平行，面面平行推論：垂直於同一條直線的

8、兩個平面互相平行；平行於同一平面的兩個平面平行注:一平面間的任一直線平行於另一平面.3. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交 ，那麼它們交線平行.“面面平行， 線線平行4. 兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那麼經過這條直線的平面垂直於這個平面.“線面垂直，面面垂直注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什麼關係5. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那麼在一個平面內垂直於它們交線的直線也垂直於另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直於第三平面，則它們交線垂

9、直於第三平面證明：如圖，找0作OA、OB分別垂直於1l,.，二為鈍取減,6.兩異面直線任意兩點間的距離公式:I = m2 n2 d 2 2mn cos 二為銳角取加,綜上，都取加則必有三0,7.最小角定理：cos V - cos确cos戈十為最小角，如圖最小角定理的應用/ PBN為最小角簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有因為 PM 一 |.：. OA _ 1, PM 二很,0B _:.則

10、PM _ OA, PM _0B .五、棱錐、棱柱1. 棱柱.直棱柱側面積：S =Ch C為底面周長，h是高該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的 斜棱住側面積：S rC* C1是斜棱柱直截面周長，I是斜棱柱的側棱長該公式是利用斜棱柱的側面 展開圖為平行四邊形得岀的.四棱柱 _： 平行六面體 _： 直平行六面體 _： 長方體- 正四棱柱 - 正方體.直四棱柱 ' 平行六面體=直平行六面體.四棱柱金一平行六面体侧面与侧底宀直平行六面体伞一长方体正一正四棱柱底侧R 正方体棱柱具有的性質： 棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形?都是全等的矩形. 棱柱的兩

11、個底面與平行於底面的截面是對應邊互相平行的全 ?等多邊形. 過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形注：棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.X直棱柱不能保證底面是钜形可如圖 直棱柱定義棱柱有一條側棱和底面垂直.;正棱柱的各個側面平行六面體:定理一：平行六面體的對角線交於一點，並且在交點處互相平分注:四棱柱的對角線不一定相交於一點 定理二：長方體的一條對角線長的平方等於一個頂點上三條棱長的平方和推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為、；，"，則cos2'：亠cos2 ,亠cos2=1.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側面所成的角為:,&#

12、39;-,，則cos2鳥-cos cos2吋=2.注：有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱 .X斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形 各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.X應是各側面都是正方形的直?棱柱才行 對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.X只能推岀對角線相等，推不岀底面為矩形 棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱.兩條邊可能相交，可能不相交，假设兩條邊相交，則應是充要條件2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其餘各面是有一個公共頂點的三角形注：一個棱錐可以四各面都為直角三角形 .一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以V棱柱二Sh =3V棱柱.正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影

13、為底面的中心注：i.正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形.不是等邊三角形ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正側棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：假设一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形即側棱相等；底面為正多邊形正棱錐的側面積：SrCh 底面周長為C，斜高為h'2棱錐的側面積與底面積的射影公式:附abc以知c丄l，則0冷aS底S侧 側面與底面成的二面角為cosctcos a =b，:-為二面角 a I b .1I ，S2I b ，cos - a = b 2=得S侧=S底cos.z注：S為任意多邊形的面積可分別多個三角形的方法棱錐具有的性質：正棱錐各側棱相等，各

14、側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等它叫做正棱錐的斜高.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射 影也組成一個直角三角形.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置： 棱錐的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心. 棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心 棱錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心 棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心 三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心 三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角

15、形的垂心 每個四面體都有外接球，球心 0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等於球半徑； 每個四面體都有內切球，球心I是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等於半徑注：i.各個側面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐 是否全等ii.假设一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直簡證：AB丄 CD, AC丄BD : BC丄AD.令 AB =a, AD AC =b * . 、+ "l亠 j"*得 BC =AC -AB =b -a, AD =c= BC AD =bc -ac， a c -b =0, b aac be =0 貝y bc ad =0.

16、X各個側面的等腰三角形不知空間四邊形OABC且四邊長相等， 假设是四邊長與對角線分別相等，則順簡證：取 AC中黑占 O'，則 oo _AC, BO _ AC = AC _平面 00 B 二 AC _ BO = FGH =90° 易知EFGH 為平行四邊形= EFGH為長方形.假设對角線等，則 EF =FG=，EFGH為正方形.iii.iv.3. 球：球的截面是一個圓面. 球的外表積公式：S=4j!R2. 球的體積公式：V =4-R3.3緯度、經度： 緯度：地球上一點 P的緯度是指經過 P點的球半徑與赤道面所成的角的度數 . 經度：地球上 代B兩點的經度差，是指分別經過這兩點的

17、經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點 A的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是B點的經度.R 00附：圓柱體積：V -:r2h ( r為半徑，h為高) 圓錐體積：Vl-fh( r為半徑，h為高)31 錐形體積：V Sh( S為底面積，h為高)36-.3 24. 內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，ha，S底a2，S侧二34得.32 6, 32132242_6彳得a a a Ra R =R a / - 3 a、3 a.43434434411注：球內切於四面體：Vb©dS侧R 3 S底R =S底h33外接球：球外接於正四面體，可如圖建立關係式六. 空間向

18、量.1. ( 1)共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合注：假设a與b共線，b與c共線，則a與c共線.(x)當b =0時，不成立 向量a,b,c共面即它們所在直線共面.(X)可能異面 假设a / b，則存在小任一實數.，使a = b . (x)與b = 0不成立 假设a為非零向量，則0 a =0 (V)這裏用到，b(b=0)之積仍為向量(2)共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b(b =0)， a b的充要條件是存在實數.(具有唯一性)使a八b .(4)共面向量定理：如果兩個向量(3)共面向量：假设向量 a使之平行於平面：或a在內，則a與的關係是平行，記作

19、a ：.a, b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存在實數對y 使 P =xa yb.? ? ? ? ? ? ? ? - '空間任一點 O和不共線三點 A、B、C，則OP =xOA yOB - zOC(x y 1)是PABC四點共面的充要條件.(簡證：OP =(1 y z)OA - yOB - zOC 二 AP 二 yAB - zAC P、A、B、C 四點共面)注：是證明四點共面的常用方法.?-r r ?-2. 空間向量根本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那麼對空間任一向量 P，存在一個唯一的有序實數組P,都存在唯一的有序實數組x、y、z使x、y、z，使 p = xa y

20、b zc.D推論：設 0、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點OP =xOA yOB zOC (這裏隱含 x+y+z 工 1).注：設四面體ABCD的三條棱，AB =b,AC =G AD =d,其4千中q sBCD的重心，則向量A3ac用AAM MQ即證.3. 1空間向量的座標：空間直角坐標系的x軸是橫軸對應為橫坐標，y軸是縱軸對應為縱軸軸是豎軸對應為豎座標.令 a =(ai,a2,a3), b = Q , b2,6)，則a b =(a1 Jb1,a2二b2,a3二b3)a =( £1,，a2, £3)(= R) a b =a1b1 a2b2 a3b3a /- aa?a

21、 3b：=a1 = b1,a2 = b2,a 七3.；，：- Ra _b：= a1b1 a2b2 a3b 0b1b2b3a =<a a =、Ja 七22七32 用到常用的向量模與向量之間的轉化：|a2 = a日二甘=右石-_ a b3羽1 +玄2匕2 +玄3匕3cos : a,blal '|b| pa： +a +af Jb：加；+bf空間兩點的距離公式：d = . (x2 xj2 (y2 yj2 (z2 z<|)2 .j.，記作a -.、，如果al '那2法向量：假设向量a所在直線垂直於平面:-，則稱這個向量垂直於平面麼向量a叫做平面.工的法向量.3用向量的常用方法

22、： 利用法向量求點到面的距離定理 ：如圖，設n是平面：.的法向量，AB是平面：.的一條射線，其中-，iI則點B到平面:-的距離為1 AB,n |.|n| 利用法向量求二面角的平面角定理：設n1, n2分別是二面角-I - ：中平面的法向量，則n1, n?所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小n 1, n2方向相同，則為補角，n1 ,n2反方，則為其夾角. 證直線和平面平行定理：直線 a二平面，A B a,C D :，且CDE三點不共線，則a/ :的充要條件是存在有序實數對使AB -，CD #_CE .常設AB - CD ：._CE求解,假设存在即證畢，假设，不存在，則直線AB與平面相交.II.競賽知識要點、四面體.1. 對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質： 四面體的六條棱的垂直平分面交於一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心； 四面體的四個面