第1章函数与极限

1、高等数学案例数据拟合问题【实验目的】1. 加深对函数根本概念的理解2讨论了函数的实际应用问题3.掌握Matlab软件中有关函数、画图等命令 【实验要求】掌握函数根本知识，Matlab软件 【实验内容】某研究所为了研究氮肥(N)的施肥量与土豆产量的影响，做了十次实验，实 验数据见表1,其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克。试分析氮肥的施肥量 与土豆产量之间的关系。表1氮肥施肥量与土豆产量关系的实验数据施肥量x(kg/ha)03467101135202259336404471产量y(t/ha)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75【

2、实验方案】设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y和x之间应该有某种关系， 假设y与x之间的关系为函数关系，那么问题就转化为数据点(xi,yi)位置关系， 寻找函数y=y(x)。这就是数据拟合问题。所谓数据拟合，就是从一组实验数据点(Xi,yi)出发，寻找函数y=y(x)的一个近 似表达式y=f(x)(称为经验公式)。从几何上看，就是希望根据给定的这些数据点 (xi,yj，求曲线y=y(x)的一条近似曲线y=f(x)。近似曲线y=f(x)不必过每一个数据 点，但如果近似曲线的效果要好的话，那么数据点(Xi,yi)离近似曲线的距离应该尽量小。用偏差平方和函数W八(f(Xi)-yJ2i来刻画

3、近似曲线的效果，偏差平方和函数越小那么近似曲线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满足 mi(f(xi)-yi)2.i多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来进行数据拟合。可以考虑采用1，x，x2作为基函数来拟合这组数据(即用二次多项式函数ao+aix+a2x2作为经验公式)，此时偏差平方和函数为n22W=(a0+a1xi +a2xi -yi)i=1其中n为数据点的数目。要使偏差平方和函数 W最小，需要nnn2na +印乞 xyi 二7i 二nnnn23* a瓦 务 +aQ Xi +a Xj =E 紗i1i4i4ynnnna送 x2 +a x；+a2送 x：=送 x：%、.ii=1yi=1

4、(该方程组称为法方程组)，将实验数据(Xiy)代入上式，解得a0=14.7391,cJ=O.1973139,c2=-O.OOO339492即拟合函数为2从图1-1O可以看出拟合效果比拟好，但是是否还可以更好呢？ 一般而言，拟合 次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并不是次数越高越好。现在提高拟合次数，将基函数由1, x，x2修改为1，x，x2, x3(三次拟合)，1，x，x2, x3, x(四 次拟合)，得到拟合图1-11至图1-14。从图形可以看出拟合曲线的次数在二、 三、四、五次拟合的效果都相差不大， 但是高次拟合效果反而不理想，例如本例中的八次拟合，所以在本例中使用二次 拟合效果就比拟好

5、了，拟合函数为2)2【实验过程】clearx=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 3O.75;p=polyfit(x,y,2);disp( nu m2str(p(1),*xA2+ ,nu m2str(p(2),*x+ ,n um2str(p(3);xx=li nspace(0,471,100);yy=poiyvai(p,xx)；plot(x,y,r*,xx,yy)运行结果：4510o100200300400500464035302510020030

6、0400500图1-14八次拟合复利问题【实验目的】1加深对函数极限概念的理解2. 讨论极限在实际问题中的应用3会用Matlab命令求函数极限【实验要求】掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命令limit【实验内容】复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会 问题。随着商品经济的开展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短， 即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入 电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款， 结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不 断地向储户支付利息，

7、称为连续复利问题。假设银行一年活期年利率为0.06,那么储户存10万元的人民币，如果银行允许 储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，由于复利，显然这比一年 结算一次要多，因为屡次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。连续复利会 造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？【实验方案】设本金为p，年利率为r，假设一年分为n期即储户结算频率为n，每期利率 为r/n,存期为t年，依题意，第一期到期后利息为本金*利率=p*r/ n第一期到期后的本利和是本金 +利息=p+p*r/ n=p(1+r/ n)因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为p(1+r/n)

8、,第二期到期后的利息 应为本金 * 利率=p(1+r/n)*r/ n第二期到期后的本利和是2本金 + 禾丄息=p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r/ n =p(1+r/n)第n期到期后的本利和是p(1+r/n)n存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为p(1+r/n)tn随着结算次数的无限增加，即在上式中n-3 t=1年后本息共计lim 1 0 001+0 )n 仟/106184万元)n_j:随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于 10.6184万元，储户并不能 通过该方法成为百万富翁。实际上，假设年利率为 r，一年结算无限次，总结算额 有一个上限，即100000*exp(

9、r)元。它说明在n-x时，结果将稳定于这个值。而 且用复利计息时，只要年利率不大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。【实验过程】 syms n a=limit(100000*(1+0.06/n)A n,n,infa =100000*exp(3/50)一年结算无限次，总结算额有上限为 syms n ra=limit(100000*(1+r/n)A n,n,infa =100000*exp(r)最优价格问题【实验目的】1加深对微分求导，函数极值等根本概念的理解2. 讨论微分学中的实际应用问题3. 会用Matlab命令求函数极值【实验要求】掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff

10、【实验内容】某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部 租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论2. 假设租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大【实验方案】1. 方法一：设每套公寓月租金在1000元根底上再提高x元，每套租出公寓实际月收入 为(1000 x)元，共租出(100- )套。25收益R(x)= (1000 mo。吩)(g 2500)R x)= 60 -2x252令R x)=0,解得驻点x=750。Rx)二-三0,故R(x)在x=750处取得极大值。2

11、5在0,2500上只有一个驻点，故 R ( x )在x=750处取最大值。即每套公寓的月 租金为1750元时，才能使公司收益最大。检验：x=1750元，少租出1750 1000 =30套，实际租出70套，公司有租金收入251750*70=122500元。比100套全部租出时公司租金收入 1000*100=100000元多 22500 元。方法二：设每套公寓月租金为x元，少租出x-1000套，实际租出100 X-1000套2525x _1000收益R(x)= x(100) (1000 政 3500)252xR 乂)=140 -25令R x)=0,解得驻点x=1750(每套公寓租金)检验讨论如方法

12、一2. 设每套公寓月租金在1000元再提高x元，每套租出公寓实际月租金收入是x(1000+x-20)元，共租出 100 - 套25x收益R(x)= (1000 x-20)(100) (0 2500)25x1R x)=100+(980+x)()25252令R x)=0,解得驻点x=760。R，x)=-f=i nlin e(-(1000+x)*(100-x/25)%通过内联函数建立函数 f,定义求最大值的语句函数，注意负号 %a=fmi nbn d(f,0,2500)x=_f(a)Inline fun ctio n:f(x) = -(1000+x)*(100-x/25)750122500方法二 f

13、=i nlin e(-x*(100-(x-1000)/25)a=fm inbn d(f,1000,3500)x=_f(a)f =Inline fun ctio n:f(x) = -x*(100-(x-1000)/25)a =1750x =122500(2) f=i nli ne(-(980+x)*(100-x/25) a=fmi nbn d(f,0,2500)f =Inline fun ctio n:f(x) = -(980+x)*(100-x/25)a =760实验二效果最正确问题【实验目的】1利用积分概念、函数最大值最小值理论，解决实际最优化问题2. 掌握符号求导的实际应用3. 熟悉Mat

14、lab命令求函数积分，解代数方程【实验要求】 掌握函数最大值最小值理论，Matlab软件求导命令、解方程的 命令【实验内容】洗过的衣服含有洗衣粉残液，现用总量为A m3的清水漂洗，漂洗一遍再甩 干后衣服上有a m3的洗衣粉残液。假设规定漂洗两遍，问如何分配水两次的用水 量，才能使漂洗效果最正确？【实验方案】设第一次用水量为x m3,那么第二次用水量为A-x m3。并设漂洗前衣服上 含有的a m3的洗衣粉残液中洗衣粉占b m3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比为，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为b_*abab第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比为a xaba A-x (a x)(a A_x)，

15、将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为f (x)二a b(a x)(a*ax牛a 妁a A x两次漂洗后效果最正确就是漂洗后残液中洗衣粉含量f (x)最小，为此只要求g(x)=(a+x)(a+A-x)(0xA)的最大值。g (x)=(a+A)-(a+x)=A-2x令 g (x)=0军得 x= A，因 g (x)=2 syms x a A f=(a+x)*(a+A_x); b=diff(f,x);solve(b)ans = 1/2*A实验三相关变化率【实验目的】1加深对复合函数、相关变化率的理解2. 通过实例学习用微分知识解决实际问题3. 熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分 【实验要求】

16、掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软件中求复合函数，符号函数求微分命令【实验内容】有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求1当其下端离开墙脚1.4m时，梯子的上端下滑之速率为多少？2何时梯子的上下端能以相同的速率移动？3. 何时其上端下滑之速率为4m/s?【实验方案】设t=0时，梯子贴靠在墙上，在时刻t 秒时，梯子上端离t=0时位置的距离为S米，梯子下端离开墙脚的距离为 x米，那么有x=3t, S=5- 52 -X2 见图2-3图2-3梯子示意图dS dS dx -2x 3x1. 梯子的上端下滑之速率*3 =dt dx d

17、t一2Y52x225x2dS 3* 1 4当 x=1.4m 时，/ 1.40.875( m/ s).dt125-1.422.梯子上、下端相同速率处,dSdtdxdt_3x_25 -x2解得X2誇5.2:3.54, x 二舍去，即当梯子下端离开墙脚的距离是3.54m时，梯子的上、下端的相同的速率移动3. 齐4即一2二厂4解得x=4，-4舍去.即当梯子下端离墙脚4m时淇上端下滑之速度为4m/s.【实验过程】(1) syms x t f=5-sqrt(5A2-xA2); x=3*t; a=compose(f,x); c=diff(a,t); b=subs(c,t,x/3); d=subs(b,x,1

18、.4); nu meric(d)ans =0.8750(2) syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-xA2)-3,x)a =5/2*2 A(1/2)(3) syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-xA2)-4,x) a =4树的高度问题【实验目的】1. 加深对积分概念的理解2. 使用积分理论解决实际问题3. 熟悉Matlab命令求不定积分，解数值方程【实验要求】掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令【实验内容】有一种快速生长的树，为了衡量它是否有种植的经济价值如作为木柴，人们要求该树在5年内t=6，在种植时已生长一年至少生长 6m，如果树的生长速 度为

19、1.2+5t-4m/年，烂1，其中t为年数.假设种植时t=1，树已有1m高，试问 种植此树是否有经济价值。【实验方案】树的高度，由题意可得5 oht二1.2 5t dt =1.2t t C,3将h1 =1代入，得 1 =1.2 -5 C32215h(t) =6t 趕丝,5 3t 15h(6) 一*6 : 8.66(m)，53* 6315即种植树5年后，树高8.66m,比种植时的1m长高了 7.66m,超过至少生长6m 的要求，种植此树有经济价值。【实验过程】 syms t f=in t(1.2+5*tA(-4)f =6/5*t-5/3/tA3 clear syms c c=solve(1.2-

20、5/3+c-1,c)c =1.4666666666666666666666666666667还款问题【实验目的】1加深了解一元函数积分法2. 定积分在经济数学中的实际应用3. 熟悉Matlab命令求定积分，解一元数值方程【实验要求】掌握定积分概念，Matlab软件求定积分【实验内容】现购置一栋别墅价值300万元，假设首付50万元，以后分期付款，每年付款数目 相同。10年付清，年利率为 6%，按连续复利计算，问每年应付款多少？(e-0.6 ： 0.5448)【实验方案】每年付款数目相同，共10年，这是均匀现金流，付款总值的现在值等于现价扣 去首付。这类问题属于贴现问题，假设第 t年还款为a万元，

21、那么第t年还款的贴现 值为ae04t，n年的贴现值为nae.04tdt依题意：设每年付款 A万元，那么第t年付款的现在值，由连续贴现公式应为Ae06t，因付款流总值为250万元，即有25O=f0Aeq6tdt,A-006*10A250(1 -e )* 0.4552,0.060.06得A=33.2447 (万元)，故每年应付款33.2447万元。【实验过程】 clear syms t A a=i nt(A*exp(-0.06*t),0,10)-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A b=solve(-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250,A)b =-15/(exp(-3

22、/5)-1)生日蛋糕问题【实验目的】1. 应用数值积分方法，加深对积分概念的理解2. 通过实例学习用数值积分知识解决面积、体积计算等实际应用问题3. 学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令【实验要求】掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令【实验内容】一个数学家即将要迎来他九十岁生日， 有很多的学生要来为他祝寿，所以要定做 一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果一一口腔医学的悬链线模型， 他 的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成以下悬链线函数：r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5，0h H22 2S = 2： r1 H/2 2二r2 H /2 r1 -二(

23、* r2)H 亠 *以此类推，如果蛋糕是n层的，图3-6多层蛋糕每层高为H/n,半径分别为ri,2,，rn,那么蛋糕的质量和外表积为H n 2W = kirn i弓S =2二 二 rj n i 二事实上，蛋糕边缘圆盘半径(0h syms h r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5;i quadl(pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).A2,0,1)%求积分二 r (h)dh ,也可以用 int 命令ans =5.4171 r0=subs(r,h,0)r0 =1.6000 quadl(2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5),0,1)+pi*r

24、0A2 ans =16.0512 求得该数学家的生日大蛋糕的质量和外表积为2W =5.4171 k (kg) ， S =16.0512(m 2)地球外表的气温分布【实验目的】 1加深对空间曲线和曲面的理解和认识 2掌握 Matlab 软件中各种绘制曲线和曲面的绘图命令3掌握用 Matlab 软件中各种绘图命令解决实际问题 【实验条件】掌握空间解析几何的有关根本理论知识， Matlab 软件 【实验内容】 地球外表的气温差异很大，而且随时间变化，赤道温度最高，两极最冷，中间地 带那么是过渡带。 所以可以粗略将这种气温分布情况用图形表现出来， 试绘制地球 外表的气温分布图。【实验方案】用一个球体表

25、示地球， 用不同的颜色表示不同的气温， 这样就可以用色图表现地 球的气温分布。为了有好的视觉效果，可进行色彩渲染。【实验过程】在 Matlab 命令窗口输入下述命令： a,b,c=sphere(40); t=max(max(abs(c)-abs(c);surf(a,b,c,t); axis(equal),colormap(hot),a,b,c=sphere(40);t=max(max(abs(c)-abs(c);surf(a,b,c,t); axis(equal),colormap(hot), a,b,c=sphere(40); t=max(max(abs(c)-abs(c);surf(a,b

26、,c,t);axis(equal) colormap(hot) shading flat,colorbar 运行结果：-1 1图4-16地球外表气温分布图-Jir-？实验二 路线的设计【实验目的】1 加深对空间曲线和曲面的认识和理解2.掌握Matlab软件中各种绘制曲线和曲面的绘图命令3掌握用Matlab软件中各种绘图命令解决实际问题【实验条件】掌握空间解析几何的有关根本理论知识，Matlab软件【实验内容】一座山，水平位置与高度满足函数 Z=320-x2/500-y2/500，试设计一条坡度不超过 30的路线直到山顶，并用图标出来。【实验方案】考虑两条相邻等高线，设它们之间的高度差为d，假设

27、沿坡度不超过：，海拔高度较低的等高线上A点走至海拔高度较高的等高线B点，见以下图。显示最短距离应为:AB =d /sin :在上式中当坡度:时，假设两条等值线高度差d固定，那么从等值线A点到等值 线B点的距离就确定。现在区域 400Wx4Q0-400Wy X,Y = meshgrid(-400:40:400);Z = 320-(X.A2+Y.A2)/50;contour(X,Y ,Z,30)grid off运行结果：湎 aoo 200 -too 01 DC 200300400图4-18等值线图三维图的输入命令：X,Y = meshgrid(-400:40:400);Z = 320-(X.A2+

28、Y .人2)/50;con tour3(X,Y,Z,30)grid off运行结果：图4-19 三维图由图4-18等值线图可以看出，从海平面，如点A0,-400(海拔高度为0)到最高点坐标为0 , 0共有11条等高线，因此任二条等高线的高度差为320/11 29.0那么两等高线间地面距离应为|AB|=29.09/sin30=58.18,从A点开始, 以定长58.18移动到第二条等高线的点 B,在以B点开始以定长58.18移动到第 三条上C点，直至山顶。合理开料问题【实验目的】运用多元函数微分法求解含约束条件的最值问题【实验要求】1. 掌握Lagrange乘数法及其在求解含约束条件的最值问题中的

29、应用2. 了解Matlab优化工具箱中fmincon函数在求解含约束条件的最值问题中的应 用【实验内容】某建筑工地上有一个四面体铁块，其相邻的三个面两两互相垂直，对应棱长分别 为1米、2米和3米。现钢筋工人面临的问题是：如何在四面体铁块内切割出一 个体积最大的长方形。【实验方案】以四面体铁块互相垂直的三个面为坐标平面，三个面的交点为坐标原点建立空间 直角坐标系。设长方体的长、宽和高分别为 x米、y米和z米，那么长方体的体积V 二 xyz，且长方体的顶点x, y,z在平面y - -2 -|=1下方。于是，问题转化为如下有约束的优化问题：max V = xyzS.t.123K 0, y 0, z

30、= 0可以用Langrange乘数法求解，请读者作为练习。现用Matlab软件的优化工具箱 中fmineon函数求解。上述优化问题等价于max V = xyz6x+3y+2z 兰 6s.t.J，x A 0, y A 0, z A 0于是用fmincon命令求解得：当x =0.3334, y = 0.6665, z = 1.0002,时，长方体体积达最大，最大体积为0.2222.【实验过程】建立 M 文件 myfun.m： function f=myfun(x) f=-x(1)*x(2)*x(3); 再建立主程序如下： clear all clcA=6,3,2; b=6; x0=1; 1; 1;

31、lb=0,0,0; x,fval=fmincon(myfun,x0,A,b,lb,); xv=-fval 运行结果： x =0.33340.66651.0002v =0.2222血管在分支点的几何形状【实验目的】 运用多元函数微分法求解无约束条件的最值问题【实验要求】 掌握多元函数微分法在求解无约束条件的最值问题中的应用【实验内容】高级动物的血管系统遍布全身， 其几何形状直接影响到机体在完成血液循环过程 中所消耗的能量 血管应如何分布 才能使血液循环过程所消耗的能量最小？本 实验仅讨论血管在分支点的几何形状问题， 即血管在分支点处粗细血管半径的比 例和分岔角度取何值时使消耗的能量最小。【实验方

32、案】首先作如下几个假设：1. 在血液循环过程中能量的消耗主要是用于克服血液在血管中流动时所受到的 阻力和为血管壁提供营养。2. 几何假设 设血管在分支点只分成两条较细的血管，联接分支点的三条血 管在同一平面内且有一条对称轴。 假设不然， 会增加血管的总长度， 使总能量消耗 增加。3. 力学假设 设血管为刚性体 实际上血管有弹性，这种近似对结果影响不 大，即血液的流动视为粘性流体在刚性血管内流动。4. 生理假设 设血管壁所需的营养随管壁内外表积和管壁的厚度增加而增加，管 壁的厚度与管壁半径成正比。图5-1 血管分支示意图如图5-1所示，设血管从粗血管中的A点经过一次分支分别向两条较细血管中的B和

33、B点供血，C是血管的分岔点，B和B是关于对称轴AC的对称点，H为A、rB两点间的垂直距离，L为A、B两点的水平距离，r为分岔前的血管半径，-为2分岔后的血管半径，q为分岔前单位时间血流量，q为分岔后单位时间血流量，2l为A、C两点间的距离，li为B、C两点间的距离。由假设3及流体力学定律可知，粘性物质在刚性管道内流动所受到的阻力与流速的平方成正比，与管道半径的四次方成反比。于是血液在粗细血管内所受到的阻kq2kq2、力分别为7和 丁 ，这里，k为比例常数。由假设4,在单位长度的血管内，血液为管壁提供营养所消耗的能量 bra，其中b 是比例常数，1乞a空2。故血液从A点流到B和B点，用于克服阻力

34、及为管壁 提供营养所消耗总能量为C 二丨餐 bra 2h字 bria 1设分岔的角度为，那么1二L -議1二皐2将2式代入1式，得Er,ri,r二 L - ta 齐br* 2是 器br；3现求当+和二分别为何值时，所消耗的总能量Cr,r1,J最小。令耳brar2如 abraOr54kfr15=0br： cos - 0(4)(5)(6)(7)(8)由4式和5式，得由6式和7式，得a _4cost =2厂4因仁a乞2，故1.26斗_ 1.32,37 _二_ 49 .上述结果与生物学所得的结果根本吻合。【实验过程】M源程序：clear allclcsyms k q r b a L H t r1;E=

35、(L-H./ta n( t)*(k*qA2/rA4+b*rAa)+(2*H/si n( t)*(k*qA2/(4*r1A4)+b*r1Aa);Er=diff(E,r);Er1=diff(E,r1);Et=diff(E,t);x=0:0.1:2m=(x_4)./(x+4)theta=acos(2.Am)plot(x,theta,r-.)r_rr1=4.A(1./(x+4);hold onplot(x,r_rr1,b:o)title(theta(a),rate of r and r1(r_rr1)xlabel(a);lege nd(theta,r_rr1,1)运行结果：一CheCaCaJ.rifj

36、 of rI)0807 -丄丄a,j,002040608图5-2 寻，二与a的关系图通信卫星在地面上的覆盖面积【实验目的】1. 加深对曲面积分概念的理解2. 会用积分理论解决实际问题3. 会用Matlab命令求曲面积分，用数值解法求二重积分【实验要求】1. 掌握曲面积分的应用2. 了解二重积分的数值解法【实验内容】将一颗通信卫星送入太空，使该卫星轨道位于地球赤道平面内，卫星运行的角速 率与地球自传的角速率(w二2一(24 3600)相同时成为同步卫星。设卫星距地 面的最低高度为h= 3580km，试计算卫星所覆盖的地球面积 S.图6-12通讯卫星覆盖地面剖面图【实验方案】 将地球视为球体(地球

37、半径为 R = 6378km)，以球心为原点建立 如图6-12所示的坐标系。因上半球面方程为故被卫星覆盖的地外表积为S = .ds,其中，a为上半球面x2 y2 z2二R2(R 0)上被半顶角为:的圆锥所截的曲面局部所以卫星的覆盖面积为其中 D: x2y2 _ R2 cos2 ：.注意到 sin ：=聶，于是 D: x y2 _ R2(1 一 (-RRh)2).利用极坐标变换，求得Sr 2 二.R 1RRh)2dr = 2兀R2 需.R2 -r2当 h = 3580 ,R = 6378 时，S =2.1694e+008.【实验过程】M源程序：clear all clcFrt=i nlin e(

38、6378*r./sqrt(6378A2-(r.*cos(t).A2-(r.*si n(t).A2);R=6378;h=35800;r1=R*sqrt(1-(R/(R+h)A2);s=dblquad(Frt,0,r1,0,2*pi) %对二重积分作数值计算运行结果：S =2.1694e+008雨中行走问题【实验目的】 会用曲面积分求解实际问题【实验要求】掌握曲面积分在实际问题中的应用【实验内容】人在雨中沿直线从一处向另一处行走， 当雨的速度式，问人行走的速度多大 时才能使淋雨量最小？【实验方案】人身体的外表非常复杂，为了使问题简化，现作如下假设：将人体视为长方体， 其前、侧、顶的面积之比为1：b

39、:c,选择适当的直角坐标系，使人行走速度为 (u,0,0),设雨的速度为Vx,Vy,Vz ,人行走的距离为I，那么行走的时间为u.根据通量的定义，显然单位时间内的淋雨量正比于(u - Vx, 0 - Vy , 0 - Vz) (1,b,c)=u -Vx +bVy +cVz.从而总淋雨量正比于f(u) =丄(u Vx| +k)(1)u其中，k=bVy +cVz .于是，原问题转化为如下数学问题:在l,Vx,k的条件下，求R(u)的最小值。分以下情况讨论:当Vx 0时,-l,U ： Vxl(Vx +k) f(g忑u于是，假设Vx k，那么当u =Vx时，f (u)取最小值Vk ；假设Vx : k，

40、那么f (u)随u的增大而减小，且f (u)无限接近l .e.l (Vx| + k)当 Vx 0if vxkvx;fmin=l*k./vx; text(0,fmi n,5.5); text(vx,0,2); plot(vx,fmi n,ro)hold on x=0:0.1:vx; y=fmi n; plot(x,y,r-) hold on y=0:0.1:fm in; x=vx; plot(x,y,r-) elsefmi n=i nf;endend 运行结果：图 6-13 给定 b = 0.5,c = 0.2,(vx,vy, vz) = (2,1,3),l = 10 的模拟结果序列的周期性和共

41、轭对称性研究【实验目的】1 加深对级数根本概念的理解2讨论了微分学中的实际应用问题3 .掌握Matlab软件中有关级数求和图形等命令【实验要求】掌握级数理论知识，Matlab软件【实验内容】序列x(n )= (-0.45几-5乞n冬5,研究其周期性和共轭对称性。【实验方案】显然该序列的离散时间傅里叶变换以 2二为周期的，因此为显示其周期性和共轭 对称性，对其离散时间傅里叶变换在-2二,2二之间选取401个瓶点进行计算并绘【实验过程】输入：%输入序列%在横坐标轴上分点*k);%进行DTETn=_5:5;x=(-0.45).a n; k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp

42、(-j*pi/100).人(门magX=abs(X);a ngX=a ngle(X); subplot(211) plot(w/pi,magX);axis(-2 2 30 100);grid;ylabel( |x| );title(幅度局部； subplot(212) plot(w/pi,a ngX/pi);axis(-2 2 -1 1);grid;ylabel(弧度/pi );title(相位局部；运行结果：幅度局部相位局部图7-1傅里叶变换从上图可以看出，序列的离散时间傅里叶变换是以2二为周期的，且当序列为实序列时，其离散傅里叶变换具有共轭对称性。基金存入数的计算【实验目的】1 加深对级数

43、根本概念的理解2讨论了微积分学中的实际应用问题【实验条件】掌握级数理论知识，Matlab软件【实验内容】某人为支持教育事业，一次性存入一笔助学基金，用于资助某校贫困生。假设该 校每年末支取10，000元，银行年利率为5%，如果该基金供学校支取的期 限为20年，问：此人应存入多少资金？如果该基金无期限地用于支持教育事业， 此人又应该存入多少资金？【实验方案】设年利率为i，年末支取额为p，支取期限为n，期初存入资金为f(n)，那么第1年末支取额为p时，期初应存入的金额为p丄；第2年末支取额为p时，期初 1+i应存入的金额为pJ ；依次类推，第20年末支取额为p时，期初应存入的(1+i)2金额为1p

44、 20 (1 i)故支取期限为20年时，应存入金额f (20) = p占p金卩用 故支取期限无限时，应存入金额f(n) = p止卩乙卩池山同理，第n年支取额为p时，期初应存入金额为PR【实验过程】syms n; p=10000,i=0.05;fn=p/(1+y n;symsum (fn,n ,1,20)运行结果：ans = 1.2462e+005syms n;p=10000,i=0.05;fn=p/(1+i)A n;symsum (fn,n ,1,i nf) 运行结果：200000数学摆的位置【实验目的】1 加深对常微分根本概念的理解2讨论了微分学中的实际应用问题3 .掌握Matlab软件中有

45、关解常微分方程符号解和数值解等命令【实验要求】掌握常微分理论知识，Matlab软件 【实验内容】单摆在平衡位置附近作微小振动，不计阻力，求摆锤在任何时刻的位置3图8-2 摆锤位置图【实验方案】摆锤位置由图所示的角度完全确定。设t时刻对应于角度，并约定在铅垂 线的右边为正，左边为负。我们来分析摆锤在任何位置的受力情况， 再列出运动 微分方程。由于不计阻力，所以摆锤在振动过程，只受到重力mg的作用。把mg分解为劲向别离Q与切向分力P，只有切向别离P =mgsin使摆锤移动。由牛顿第二定律，得到沿切线运动的微分方程为:d 2s dt2-mg sin ：为了消去弧长s，用公式s = l代入，得到:d2

46、 .：G gsin 0这是非线性的微分方程，但是因假定振动是微小的，那么可以认为sin，因此可以得到：d2【实验过程】dsolve(D2y*k+g*y,x)运行结果：ans =C1*si n(1/kA(1/2)*gA(1/2)*x)+C2*cos(1/kA(1/2)*gA(1/2)*x)即:导弹追踪问题【实验目的】1 加深对常微分根本概念的理解2讨论了微积分学中的实际应用问题3 掌握Matlab软件中有关解常微分方程数值解和绘图等命令【实验条件】掌握常微积分理论知识，Matlab软件【实验内容】设位于坐标原点的甲舰向位于 x轴上的A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹此终对准 乙舰。如果乙舰以最大

47、的速度vo沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是 5vo， 求导弹运行的曲线。当乙舰行驶多远时，导弹将它击中。【实验方案】设任意时刻t，乙舰的坐标为(X(t),Y(t)，导弹的坐标为(x(t),y(t)。导弹速度恒 为v,从原点射出，且速度是横向和纵向距离的一阶导数的矢量和，那么有：主2史=(1)dt dt()由于导弹头始终对准乙舰，导弹头的速度向量平行于乙舰与导弹头位置的差向 量，即：(X - x) 0dtdydt仝;.(Y -y)故有(1) (2)式可得(X -x)2 (Y-y)2 二 v2解3得到(X x)2 (Yy)2由题目知乙舰以最大速度V。沿直线x =1运动，为便于分析,我们可暂且令

48、V。= 1，那么导弹速度v =5v0 =5，乙舰的坐标可重新表示为:Xt =1Yt = vt =tt =0时，甲舰位于原点，那么导弹坐标的初始值可确定x0 =0y0 =0由2 3 56可知导弹运动轨迹的参数方程(5)(6)dx5dt7(1-X)2 +(t y)2dy5dt丄1 -x)厂(t -y)2(1-x)(t - y)【实验过程】建立M文件function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)A2+(t-y(2)A2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)A2+(t-y(2)A2);在matlab命令框种输入命令：t0=0;tf=2 t,y=ode45( eq2 ,t0,tf,0,0);plot(y(:,1),y(:,2)- )x=0:0.01:1.5;y=0.2:0.2;hold onplot(x,y,- )运行结果：I 81.6 1 -D.8Q