附录矢量与张量运算

1、附录矢量与张量运算1标量、矢量与张量1.1大体概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。咱们超级熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就能够够表示其状态。例如质量、压强、 密度、温度等都是标量。矢量那么是在空间有必然取向的物理量，它既有大小、又有方向。在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。考虑直角坐标右手系，三个坐标轴别离以1、2和3表示，ei、e 2和e 3别离表示1、2和3方向的单位矢量。若是矢量 a的三个分量别离为 a1、比、a3，那么a能够表示为a2e2a3e3也能够用以下符号表示a=(a1, a2, a3)矢量a的大小以a表示a=( aj+a22+a32

2、)1/2咱们还会碰到张量的概念，可将标量看做零阶张量，矢量看做一阶张量，在此将要紧讨论二阶张量的 概念。二阶张量w有9个分量，用 w表示。张量w可用矩阵的形式来表示：w11w12W13w21w22W23wW31W32W33其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。假设Wij=wji，那么称为对称张量。若是将行和列互彼此换就组成张量w的转置张量，记作 wT,则W11W21W31w12w22W32TW13W23W33显然，假设 w是对称张量，那么有 w=wT。另外，若是 WT=_w, w被称为反对称张量，同时有Wij=-Wji。任何一个二阶张量都能够写成两部份之和，一部份为对称

3、张量，另一部份为反对称张量。1 1w= 2 (w+wT)+ 2 (w-wT)单位张量$是对角分量皆为1，非对角分量皆为 0的张量1 0 0是最简单的对称张量。张量对角分量之和称为张量的迹wiitrw= i张量的迹是标量，若是张量的迹为零，称此张量为无迹张量。1.2大体运算1.2.1矢量加法与乘法运算-1所示，减法为加法的逆运算。在几何上，矢量的加法知足平行四边形法那么和三角形法那么。如图附图附-1 矢量加减法在解析上,矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。ei Aiei Biei（AiBi）A+B= iii矢量的加法知足以下运算规律：（ 1 ）（ 1 ）互换律 A+B=B+A（ 2 ）（ 2

4、）结合律 （A+B） +C=A+（B+C）（ 3 ）（ 3 ）零矢量的特点 A+0=0+A=A（ 4 ）（ 4 ）-A 的特点 A+（ -A） =（ -A） +A一标量与一矢量的乘积仍为一矢量，其方向不变，只是大小作相应改变。ei Aiei （cAi）A B = AB coscA=c I i 两个矢量点乘，结果为一标量，称为标量积，概念如下：用下式表示其中 为矢量 A、B 的夹角。单位矢量之间的标量积有专门重要的意义，%ijeiej1, ij0, ij%称为克罗内克（kroneker）符号。因此，两矢量点乘运算如下：A B （ eiAi） （ ejBj）（ei ej）AiBj%ij AiBji

5、ji ji jAiBii 即两矢量点乘的结果为两矢量对应分量（值）乘积之和。显然，点乘有互换律：AB B A两个矢量叉乘，结果为一矢量，称为矢量积，概念如下：C=A B指向由右手矢量C的大小为C=ABsin ，其中 为矢量A、B的夹角，C的方向垂直于 A、B两矢量所决定的平面, 定那么确信，如图附 -2 所示。因此，矢量叉乘不知足互换律，A B=-（B A）图附-2 矢量叉乘单位矢量e j、e k的矢量积e j ek在e i方向上得分量为：ijk123,231或312时即 ijk321,213 或 132 时可表示为1,当i, j,k不等且按顺序排列，即 ei ej ek 1,当i, j,k不

6、等但不按顺序排列， 0,当i, j和k任两个相同时由此引入交织单位张量（altermat ingun it ten s or） & jk1,当 ijk123,231 或 3121,当 ijk 321,213 或 1320,当i、j、k中任两个相同& ij k=因此,叉乘运算A B(iNA)eiBj)ji(ei e j )Ai Bjjijkek ABjijk e i Aj Bki jkij keie2e3AiA2ABiB2B3利用上述结果,标量三重积A ( BC)的运算如下：ABCAi B C iiijk Ai B jCij kA,A2A3BiB2B3CiC2C3介绍两个十分有效

7、的关系式ijkhjk2 ihjkkijkmnkim jnin jm利用上面的运算方式及关系式，能够证明以下几个经常使用的矢量恒等式：A (B C) = B (C A)A (B C) B(A C) C(A B)(A B) (C D) (A C)( B D) (A D)( B C)(A B) (C D) (A B D)C (A B C)D1.2.2矢量的微分运算矢量的微分运算符在直角坐标系中概念为eie 2e3eiX!X2X3iXi称为哈密顿算符或那勃拉算符。应该强调指出，那个算符是一个混合物，它必需遵守处置矢量的规那么和偏微分规那么这二者。而且它只作为一个 算符，不能单独利用，必需作用于一个标量

8、或矢量来运算。哈密顿算符能够直接参加运算，要遵守如下规那么：ei(i)(i)用“ Xi ”代替“(2)(2)进行通常的微分运算；(3)(3)进行向量运算；ei(4)(4)整理成iXi的形式；(5)(5)用“”代替。例：试证明(a b) b(a)a (b)证明(a b)ieieiiXiXiieia(Xi(eieib)a-)Xia)Xia) a咱们还会碰到一种特殊微分eia(b( a)Xi(eieiib)2a，b(_)Xib)Xi称为2_为拉普拉斯算符:eii(Xi2ej)Xj2eiejXi XjijXiXj2Xii算符2作用于矢量A(差)ei A)eiei2Aie22A2e3A2a=即对各分量求

9、导，并作矢量加和。1.2.3三阶张量的加法与乘法第一，引入并矢的概念。由两个矢量A和B组成的并矢量是一个二阶张量，其分量是两矢量的分量之积A1B1AB A2B1A3 B1A1B2A2 B2A3 B2A1 B3A2 B3A3 B3、es,由两个组成的并矢量 那么有9个，别离是100 01 0000e1e1000e1e200 0e3e3000000 00 0001乙写成如下形式:那么，关于单位矢量 ei、e2利用单位并矢量，咱们能够将张量e i e j ij1.2.3.1张量的减法两个张量相加(减)，前提必需是阶数相同的张量，其和。(差)仍为一张量，该张量的分量为两张量对应分量之和Teiej ij

10、eiej ijeiej( ij ij )i ji ji j上述概念能够推行到多个张量相加减，由概念可知，张量的加法服从互换律和结合律。1.2.3.2标量与张量相乘一标量与一张量相乘等于用该标量去乘张量的每一个分量，其结果仍为一张量。(eiej 0)eiej(i jij)i(ei e jek)Ai jki j k1.2.3.2 矢量和张量点乘一矢量对一张量的点积为一矢量A T ( eiAi) (ejekjk)ij kij ek Aijkijkek Aiikijek(Ai ik)kiAi ik 也确实是说矢量 A T的第k个分量为iT Aek (ki Ai )用一样的运算能够取得张量对矢量的点积，

11、k i若二为对称张量，那么有 A T T A，不然A T T A。由上述概念可知，矢量和张量的点乘服从分派律A a T A c A TT (a + B)=t a+t B 1.2.3.4 张量与张量点乘两张量的点乘分为单乘和双点乘两种。 两张量单点乘的结果为一张量。c T(eiej ij ) (ekel kl )i jk l(ei ej e kel ) ij kli j k lkleielleiel(jkeielijklijjlijjl)由此可见，张量的单点乘服从分派律，两张量双点乘的结果的一标量c: T (i不服从互换律eiejjij):(ekelkl )(eie j :e kel ) ij

12、klljkjklilijklijji两个并矢或并矢和矢量的单点积是指把它们相邻的两个矢量进行缩并，如A (BC) (A B)C(AB) C (B C)A(AB) (CD) ( B C)AD(C D) (AB) (D A)CD显然，并矢单点积的顺序是不可互换的，不然进行缩并的两个相邻矢量就改变了。两个并矢的双点积是指把它们最 临近的四个矢量两两缩并。AB:CD (B C)(A D)由 此 ， 对 单 位 并 矢 量 和 单 位 矢 量 有 如 下 结ei e jekijekeiejek eijkeiejjkeieleiej:ekeijk il1.2.4几个积分定理在后面场论的计算中，咱们会碰到关

13、于矢量与张量的积分运算。有 请参阅有关专绘11.241奥高散度定理 该定理给出了一个计算体积分与面积分彼此转换的有效方式，设 成的一个封锁空间区域，那么有3个十分重要的定理。在此只作内容的表述，证明著。w是持续可微的矢性点函数。V是由滑腻表面 S所围wdVndSS其中n为S的外法向单位向量，在直角坐标系中,w x,y,z P x,y,z n i cos j cos那么定理可表示为Q x,y,z j k cosRx,y,z k,(Pcos QcosS即为奥一高公式 关于标量和张量，相应有Rcos )dSR) dxdydz zdV 二 ndSSt dVndSVS1.2.4.2斯托克斯旋度定理设S为

14、一封锁的有向曲线I (不交叉的)w为持续可微的矢函数。那么(w) ndSw dlSl其中n为S面上任一点的外法向单位向量。在直角坐标系中w x,y,z P x,y,zcos j所围成的一双侧空间曲面,的正向与曲面S的外法线正向符合右螺旋定那么,那么上式可表示为cosQ x,y,z j k cosRx,y,z k,Q)cosz(zR)cosxQ P)cos ds yPdx QdyIRdz即为斯托克斯公式。1.243三维莱布尼兹公式V是由曲面S所围的封锁的运动空间,plPdVdt v2场论2.1场的概念若是对空间区域vs为任一面元的速度，那么有dV '-P(v sV tSn)dSD的每一个

15、点，都对应某个物理量的一个确信的值，那么称在D上确信了该物理量的一个场。假设那量是标量，那么称所讨论的场为标量场，如温度场、密度场、浓度场等。如是矢量，那么称为矢量场，如速度场、力 场等。假设是张量，那么称为张量场。持续介质的应力场确实是一个张量场。前面提到过，标量是零阶张量，矢量是一阶张量。因此认真地讲，标量场和矢量场也属于张量场。只是，咱们那个地 址的张量场专指二阶张量场。若是场中的物理量在各点处的值不随时刻转变，即所述物理量只依托于点的位置（或坐标），那么称所给的场为稳固场。不然，所述物理量不仅是位置的函数，而且随时刻转变，那么称之为不稳固场。若是同一时刻场内各点所述物理量的值都相等，那

16、么称此场为均匀场。反之，称此场为不均匀场。2.2场的大体运算为简便起见，那个地址只讨论稳固场。2.2.1标量场的梯度2.2.1.1方向梯度为了说明梯度的概念，先介绍标量场的方向导数。概念标量场（x，y，z） C所有点组成的曲面，为等值面或等位面。在不均匀的标量场中，物理量沿各个方向的转变律是不相同的，方向导数确实是描述场中该标量函数沿某个方向转变速度大小的。图附-3方向导数。M 为I上临近M的一如图附-3所示，设M为场内一点，自M动身引任一射线I, l的方向余璇为C0S、C°S、C°S 1为M与M 的距离，标量场 在点M沿I方向的导数概念为（假定以下极限存在）在直角坐标系中

17、，（M ）其中 在I°时为零，将上列表示代入I Iirn(M )1g(M)i(M)(x, y,z)(x x,yy,zz)(x,y,z)xy -xyzl hm(x - xy yz) zcoscoscosIxyzx其中cos 、cos 、cos为单位矢量|°的方向余弦，也等于1°的分量。2.2.1.2 梯度在标量场中，由点M能够引无数条射线I,因此有无穷多个方向导数。显然，只有沿等位面的法线方向有最大的转xx变律。于是咱们概念标量场在某点的梯度为矢量方向为该点等位面的法线方向n,大小为 n方向导数。记为grad n°n那个地址n°为法线方向的单位矢

18、量。梯度可描述物理量在空间散布上不均匀性的程度。在直角坐标系中n° ' C0S j C0S kc0S，°S、C0S、C0S为n°的方向余弦。故gradij-kxyzgradIo方向导数和梯度的关系：Ix以上只是针对空间某一点来讲的，关于被研究区域里的各点来讲，标量场的最大转变率的大小和对应的方向可能各不 相同，这就说明本身又是一个矢量场。梯度的大体运算公式有：设 u=u(x,y,z),v=v(x,y,z) c=0 ( c为常数) (cu)= c u ( u v)= u v ( uv)= u v+v uu 2 ( v )=( 7= u- u v)/ v F(

19、u)=Fz(u) uFFuv F( u, v)= uv2.2.2矢量场和散度2.2.2.1 通量在流场中任取一滑腻曲面，那么就有流体流过曲面，见图附4。在上任取一点 M图附-4矢量穿过曲面及包括M点的一曲面元素d , n为曲面上过 M点的单位法向量。概念矢量 w通过d 的通量：dQ=wd式中w,为w在n方向上的分量。于是，沿着积分，就取得 w通过曲面 的通量：Qwnd速度通量的物理含义为单位时刻内流出曲面的流体体积，即流出曲面的体积流量：wcos d w nd w dQ=2222 散度点无穷缩小记为 div w,去 为包围M点的一个微小闭曲面，所包围空间为，该微分体积为。咱们把闭合区面向 M时

20、，矢量场w在那个闭合曲面上的通量与该曲面所包括空间的体积之比的极限概念为矢量场w在该点的散度。:'w d alim div w=M速度散度代表单位体积流体流出表面积的体积流量，因此散度表示物理量是不是有源和源的强度。 在直角坐标系中，由奥一高公式：依照中值定理,中至少有一点 P,使得:limM场wywywxlimP M x在巴）dzwzPwyz占八、div wWxWywzx y z由此可见矢量场的散度是一个标量场。散度的大体运算公式有：设a、b为矢量函数,u为标量函数，c为常矢量，d为常数。c 0(a b) a b(da) d a(ua) u a a u2.2.3矢量场的旋度223.1

21、环量为了描述旋度的概念，第一引入环量的概念。°w dl在矢量场w w(x,y,z)内取任意一条有向闭合曲线|，把w沿I的线积分1 称为矢量场2.2.3.2 旋度w沿曲线I的环量。设M是矢量场w内任意一点，1为包围M点的无穷小的有向闭曲线。向符合右手螺旋定那么，如图附 -5所示。c为丨所包围的有向曲面。n与l正方图附-5旋度方向当那个曲面维持在 M以n为法向矢量而向 M无穷缩小时，矢量场 w沿其边界限的环量与它的面积之比的极限，称为矢量场w在M对方向n的环量强度。记为rotnww dlrotnw lim m依照斯托克斯公式xxdl(匕y巴)cosz(且fsz x(匕上)cosx y由中

22、值定理，在曲面P,使得dlwz w dl甘中 cos , cos , coslimMlim (旦P M yw)coszw)coszWxwx (xw£)cosx坐)cosxWy(且w)cosy Pwx)cosy Pwzrot nw ( y为n的单位矢量w)coszn0的分量。wx些)cosx(且x竖)cosywxH)i(zzxrot nwR n0从M点动身有无穷多个方向，矢量场 w在M点对各个方向的环量强度也可能不同，但关于给定点M , R是一个确信的矢量。而且对应于那个矢量方向，rotnw有最大值。由此，咱们概念矢量场 w的旋度为一矢量，它的方向在 w具有最大环量强度的方向，大小确实

23、是那个环量强度，用rotnw表示，在直角坐标系中(wzJrot wyzi jk(wx巴)jwyxwxywyzwz一样讲，矢量场的旋度为一矢量场。流体速度的旋度常称为涡量。因此，旋度可代表物理量的有旋、无旋和旋转强 度的性质。旋度的大体运算公式有：设a、b为矢量函数，u为标量函数，c为常矢量。2.2.4矢量场的梯度和张量场的散度前面咱们概念了标量场的梯度类似地，矢量场的梯度可用下式表示也可表示为由此可见，矢量场的梯度是一个张量，即由矢量场的梯度概念可知咱们也曾概念矢量场的散度，即类似概念c0(ab)abcaua (u) aijkxyzw.w.w_wijkxyzwwjweieiejii jXiw1

24、w2W3X1X1X1ww1w2W3X2X2X2w1w2W3X3X3X3ababwwxwywzxyz张量场的由此可见，张量场的散度是一个矢量，即J11i12Xi13T,212223X1X2X3313233112131122232e1e2X1X2X3X1X2X3ejij225拉普拉斯运算225.1标量场的拉普拉斯运算前面咱们提到过拉普拉斯运算符e133X12333X2X322。作用于标量，即对矢量场再求散度。222 2 222 2 2iXixyz在直角坐标系中i可见，其结果为标量。225.2矢量场的拉普拉斯运算矢量场w的梯度的散度W称为w的拉普拉斯运算。在直角坐标系中可见，其结果为矢量。能够证明,

25、w2w2 eiwi ei2wiii2 2 2iwxJ wy kwzw2.2.6随体导数用欧拉方式来描述流体运动时，对时刻的微分关系有以下算符公式该式反映了对t的全导数和偏导数之间的关系，式中dvdt t随体本地迁移导数导数导数v为流体速度（或多元系中的质量平均速度）随体导数算符作用于标量上时，取得ddt当其作用于矢量时，即将算符作用于每一个分量上，然后作矢量加和。dwwdt t能够证明，在正交曲线坐标系中，有下述一样式成立：eiwitViXivwii2.2.7梯度、散度、旋度及拉普拉斯运算在柱坐标系和球坐标系中的表达式227.1柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系的三条坐标线不满是直线，但它们

26、是相互正交的，属于正交曲线坐标系。直角坐标x, y, z与柱坐标r,z之间有如下关系xr cosyr sinz z2yarctg直角坐标X，y, z与球坐标r,之间有如下关系r . x2y2z2xr sin cosyrsin sinz r cosarctg同时，柱坐标系三个单位矢量 式所示e e ez与直角坐标系三个单位矢量e e eq1相差微量dq1，那么这两点间的距离X y z之间的关系可用矩阵的方式表示出来，如下ds.dx 2 dy 2 dz 2 x 22yq12dq1 q1hl令qi2yq1q1 ，那么ercossin0exesincos0eyez001ezexcossin0ereysincos0e或6001ez对球坐标系类似有ersincossin sincosexecoscoscos sinsineyesincos0ezexsincoscos cossinereysinsincos sincose或6cossin0eq2,q3，而另一个坐标以q1,q2,q3表示正交曲线坐