3.2.1　几类不同增长的函数模型

1、.3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型【选题明细表】知识点、方法题号指数函数、对数函数、幂函数模型的比较1,2,5图象信息迁移问题3,8应用函数模型解决问题4,6,71.当x越来越大时,以下函数中,增长速度最快的应该是DAy=100xBy=log100xCy=x100 Dy=100x解析:几种函数模型中,指数函数增长速度最快,应选D.2.在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表.x0.500.992.013.98y-1.010.010.982.00那么x,y最适宜的函数是DAy=2x By=x2-1Cy=2x-2Dy=log2x解析:根据x=0.50,y=-1.0

2、1,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y =0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.应选D.3.某工厂6年来消费某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变,那么可以用来描绘该厂前t年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的是解析:注意以下几种情形:图表示不再增长,图表示增速恒定不变,图表示增长速度越来越快,图表示增长速度逐渐变慢.应选A.4.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,那么AAa>bBa<bCa=bD无法判断解析:因为b=a1+10%1-10%=

3、a1-1100.所以b=a×99100,所以a>b.【老师备用】 在固定电压差电压为常数的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比,假设电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,那么电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为DA60安 B240安 C75安 D135安解析:由,设比例常数为k,那么I=k·r3.由题意,当r=4时,I=320,故有320=k×43,解得k=32064=5,所以I=5r3.故当r=3时,I=5×33=135安,应选D.【老师备用】 在某种金属材料的耐高温实验中,温度y随着时间tmi

4、n变化的情况由计算机记录后显示的图象如下图:现给出以下说法:前5 min温度增加越来越快;前5 min温度增加越来越慢;5 min后温度保持匀速增加;5 min后温度保持不变.其中说法正确的选项是CABCD解析:前5 min温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故正确.应选C.5.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:x12345678y1248163264128256y21491625364964y3011.58522.3222.5852.8073其中,关于x呈指数函数变化的函数是 . 解析:从表格可以看出

5、三个变量y1,y2,y3都随x的增大而变大,但增长速度不同,其中y1的增长速度最快,画出它的散点图图略知变量y1关于x呈指数函数变化.答案:y1【老师备用】 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲,乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:1骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;2骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;3骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;4骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是 . 解析:看时间轴易知1正确;骑摩托车者行驶

6、的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此2正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故3正确,4错误.答案:123【老师备用】 画出函数fx=x与函数gx=14x2-2的图象,并比较两者在0,+上的大小关系.解:函数fx与gx的图象如下.根据图象易得:当0x<4时,fx>gx;当x=4时,fx=gx;当x>4时,fx<gx.6.某工厂消费A,B两种本钱不同的产品,由于市场发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售.假设此时厂家同时出售A,B产品各一件,那么

7、相对于没有调价时的盈亏情况是DA不亏不赚 B赚5.92元C赚28.96元 D亏5.92元解析:设A,B两产品的原价分别为a元,b元,那么a=23.04(1+20%)2=16,b=23.04(1-20%)2= 36,16+36-23.04×2=5.92,所以比原价亏5.92元,应选D.【老师备用】 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,那么函数y=fx的图象大致是D解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a1+0.104y,故y=log1.104xx1.函数为对数函数,所以函数y=fx的图象大致为D中图象.应选D.【老师备用】 某

8、地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进展了监测,记录的部分数据如下表:强度J1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级里氏5.05.25.35.4注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b其中a,b为常数.利用散点图可知a的值等于 . 取lg 2=0.3进展计算解析:由模拟函数及散点图得alg1.6+b=5,alg3.2+b=5.2,两式相减得alg 3.2-lg 1.6=0.2,alg 2=0.2,a=23.答案:237.某汽车制造商在2019年初公告:公司方案2

9、019年消费目的定为43万辆.该公司近三年的汽车消费量如表所示:年份201920192019产量8万18万30万假如我们分别将2019,2019,2019,2019定义为第一、二、三、四年.如今你有两个函数模型:二次函数模型fx=ax2+bx+ca0,指数函数模型gx=a·bx+ca0,b>0,b1,哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?解:建立年产量y与年份x的函数,可知函数图象必过点1,8,2,18,3,30.构造二次函数模型fx=ax2+bx+ca0,将点坐标代入,可得a+b+c=8,4a+2b+c=18,9a+3b+c=30,解得a=1,b=7,c=0,那么

10、fx=x2+7x,故f4=44,与方案误差为1.构造指数函数模型gx=a·bx+ca0,b>0,b1,将点坐标代入,可得ab+c=8,ab2+c=18,ab3+c=30,解得a=1253,b=65,c=-42,那么gx=1253·65x-42,故g4=1253·654-42=44.4,与方案误差为1.4.由可得,二次函数模型fx=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.8.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向挪动,其挪动速度vkm/h与时间th的函数图象如下图,过线段OC上一点Tt,0作横轴的垂线l交梯形OABC于另一点D,梯形

11、OABC在直线l左侧部分的面积即为th内沙尘暴所经过的路程skm.1当t=4时,求s的值;2将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;3假设N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,假如会,在沙尘爆发生后多长时间它将侵袭到N城?假如不会,请说明理由.解:1由图象知,点A的坐标为10,30,故直线OA的解析式为v=3t,当t=4时,D点坐标为4,12,所以OT=4,TD=12,所以s=12×4×12=24km.2当0t10时,此时OT=t,TD=3t,所以s=12t×3t=32t2,当10<t20时,此时OT=t,AD=t-1

12、0,TD=30,所以s=12×10×30+30t-10=30t-150;当20<t35时,因为B,C的坐标分别为20,30,35,0,所以直线BC的解析式为v=-2t+70,此时D点坐标为t,-2t+70,所以TC=35-t,TD=-2t+70,所以s=1210+35×30-1235-t-2t+70=-35-t2+675,所以s=32t2,0t10,30t-150,10<t20,-(35-t)2+675,20<t35.3法一由2知,当10<t20时,30t-15030×20-150=450.当20<t35时,令-35-t2+675=650得t=40舍去或t=3