4.4.3　第2课时　圆、椭圆的参数方程的应用

1、.第2课时圆、椭圆的参数方程的应用1能用曲线的参数方程去研究曲线的性质2会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题根底初探1圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为为参数其中，参数的几何意义是以圆心Aa，b为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角2椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为为参数考虑探究1椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联络？【提示】椭圆1ab0和圆x2y2r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同2椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么？【提示】从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆1可以变成圆x2y

2、21.利用圆x2y21的参数方程是参数可以得到椭圆1的参数方程是参数因此，参数的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA或OB的旋转角称为离心角，而不是OM的旋转角，如图质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_圆的参数方程的应用在圆x22xy20上求一点，使它到直线2x3y50的间隔 最大【自主解答】圆的方程x22xy20可化为x12y21，所以设圆的参数方程为设P1cos ，sin ，那么点P到直线2x3y50的间隔 为d其中sin ，cos 当sin1，即时，d取到最大值，此时x1cos

3、1，ysin ，即点P1，即为所求再练一题1点Px，y在圆x2y21上，求x22xy3y2的最大值和最小值【解】圆x2y21的参数方程为为参数x22xy3y2cos22cos sin 3sin2sin 232sin 2cos 22sin2那么当kkZ时，x22xy3y2取最大值为2，当kkZ时，x22xy3y2取最小值为2.椭圆参数方程的应用实数x，y满足3x22y26x，求：1xy的最大值；2x2y2的取值范围【导学号：98990035】【思路探究】此题外表上看是代数题，但由于方程3x22y26x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解【自主解答】方程3x22y26x，即x121.设1x

4、y1cos sin 1 sin其中tan ，0,2所以xy的最大值为1.2x2y21cos 2sin 212cos cos2sin2cos22cos cos 22，因为cos 1,1，所以0x2y24.利用椭圆的参数方程是参数，将问题转化为三角函数问题处理再练一题2在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，ab0在极坐标系与直角坐标系xOy取一样的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sinmm为非零常数与b.假设直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，那么椭圆C的离心率为_【解析】由可得椭圆标准方程为1ab0由sinm可得sin cos m，即直

5、线的普通方程为xym.又圆的普通方程为x2y2b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点c,0，那么得cm.又因为直线l与圆O相切，所以b，因此cb，即c22a2c2整理，得，故椭圆C的离心率为e.【答案】真题链接赏析教材第47页例1如图445，M是椭圆1ab0上在第一象限的点，Aa,0和B0，b是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值图445在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t为参数，椭圆C的参数方程为为参数设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长【命题意图】知识：考察直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等才能：通过参数方程与普

6、通方程的互化及求线段AB长的过程，考察了运算求解才能【解】椭圆C的普通方程为x21.将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2.所以AB|t1t2|.1圆的方程为x2y24x，那么它的参数方程是_【解析】x2y24x可化为x22y24，圆心为2,0，半径r2.参数方程为为参数，02【答案】为参数，022椭圆为参数的焦距是_【解析】根据参数方程，可知a3，b2.c，焦距为2c2.【答案】23椭圆y21上的点到直线xy60的间隔 的最小值为_【导学号：98990036】【解析】设Pcos ，sin 是椭圆上的点，那么点P到直线xy60的间隔 d，当cos1时，d取到最小值，最小值为2.【答案】24点Px，y在圆x12y121上运动，那么3x4y的最大值为_，的最小值为_【解析】设x1cos ，y1sin ，所以3x4y73cos 4sin 75sin其中sin ，cos ，所以当sin1时，3x4