指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

1、指数函数、对数函数、哥函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的概念付方表力、备注如果xna,那么x叫做a的n次方根一n1且nN当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数痴a0)负数没有偶次方根n为奇数n为偶数(2) .两个重要公式an；ana(a0)lai,小a(a0)(Va)na(注意a必须使n''a有意义)。2.有理数指数哥(1)哥的有关概念m正数的正分数指数哥:anVam(a0,m、nN,且n1)；m111正数的负分数指数帚：an-=(a0,mKnN,且n1)

2、mnmanaa0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数哥没有意义.注：分数指数哥与根式可以互化，通常利用分数指数哥进行根式的运算。(2)有理数指数哥的性质aras=ar+s(a>0,r、sCQ);(ar)s=ars(a>0,r、sCQ);(ab)r=arbs(a>0,b>0,rCQ);.3.指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1图象同v-i4ZU”11定义域R值域(0,+)性质(1)过定点(0,1)(2)当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2)当x>0时，0<y<1;x<0时，y>1

3、(3)在(-,+)上是增函数(3)在(-,+)上是减函数注：如图所示，是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系提示：在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,.c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。(二)对数与对数函数1、对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0且a1),那么数x叫做以a为底，N的对数，记作xlogaN,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。(2)几种常见对数对数形式

4、特点记法一般对数底数为aa0,且a1lOgaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2、对数的性质与运算法则NN(1)对数的性质(a0,且a1)：loga10,logaa1,agaN,logaaN。(2)对数的重要公式:换底公式：10gbN10ga10gab(a,b均为大于零且不等于1,N0)； 10gab1logba(3)对数的运算法则:如果 a 0,且a 1, M 0,N0那么10ga(MN)10gaM10gaN;和0ga110gaM10gaN；logaMnn10gaM(nR)；10gambnnI一10gab。m0<c<d<1<a<b.3、对数函数的图

5、象与性质图象a10a1aJK=厂1口备1Gl二(L0)内w川r¥Ihii性质(1)定义域：(0,+)(2)值域：R(3)当x=1时，y=0即过定点(1,0)(4)当0x1时，y(,0)；当x1时，y(0,)(4)当x1时，当0x1时，yy(,0)；(0,)(5)在(0,+)上为增函数(5)在(0,+)上为减函数注：确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系提示：作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。4、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。(三)哥函数1、哥函数的定义形如y=x"(aCR)

6、的函数称为哥函数，其中x是自变量，a为常数注：哥函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，哥函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、哥函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3, y=x2,当xo>i时，按交点的高低，从高到低依次为当0<xo<1时，按交点的高低，从高到低依次为1y=x, y x , y=x-1 方法：可画出 x=xo；iy=x3, y=x2,y=x, y x2 ,y=x-1;1y=x-1, y x2 , y=x, y=x2, y=x3。3、哥函数的性质致y=x2y=x3y=x1yx2-1y=x定义域RRR0,)x|xRHx0值域R0

7、,)R0,)y|yRLy0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0,)时，增；xC(,0时，减增增xC(0,+)时，减；xC(-,0)时，减定点(1,1)三：例题诠释，举一反三知识点1:指数哥的化简与求值例1.(2007育才A)2211(33)3(54)0.5(0.008)3(0.02)2(0.32)20.0625025(1)计算：893. 2.a a5n 3/a41a38a3b22化简：4b32Vaba3变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）211131223(ab)ab(1)C 11 a3 b2 ( 3a，b1)21(4a" b3)，.1.5 3 ( 7)0 80.

8、25 4 2 (3 2/3)6 6知识点2:指数函数的图象及应用例2.（2009广附A）已知实数a、1a1bb满足等式（；）（） , 23卜列五个关系式:0V b< a;av b< 0; 0v av b;bv av 0; a=b.其中不可能成立的关系式有变式:（2010华附A）若直线y2a与函数y | ax1|(a0且a 1）的图象有两个公共点，则知识点a的取值范围是3:指数函数的性质例3.（2010省实B）已知定义域为R的函数f（x）2x2* 1b一是奇函数。2(I)求b的值;(n)判断函数f的单调性;（出）若对任意的R,不等式f(t2一一 一 22t)f (2t2 k)0恒成立

9、，求k的取值范围.变式:(2010东莞B)设 a> 0,f(x)=一aa是R上的偶函数 xe（1）求a的值；（2）求证：f（x）在（0, +8）上是增函数.知识点4:对数式的化简与求值例 4. (2010 云浮 A)计算：(1) log2 (2 J3)(2) 2(lg <2 )2+|g 石 |g5+ V(lg 2)2 lg2 1 ;(3)变式:(1)(2)(3)11g 3!-4lg,8+lg 245.249 3(2010惠州A)化简求值.log2 j +log212-/log242-1;(lg2)2+lg2 - lg50+lg25;(log32+log92) (log43+log8

10、3).知识点5:对数函数的性质例5. (2011深圳A)对于01、 loga(1 a) log a (a -) a1 ,给出下列四个不等式：_1 loga(1 a) loga(1 一)； a变式:aa1 a;与(B)与(C)1a -a a a;与(D)与其中成立的是(2011 韶关 A)已知 0v av 1,b> 1,ab> 1,.1 .则 loga- ,log b，1 ， 一b,logb1的大小关系是 b1 .1一 logab logb 一 bb1C logablogb - logb例6. (2010广州B)B.logablOga lOgb- b b1D logb loga lo

11、gabb b已知函数f(x)=logax(a>0,aw1),如果对于任意xC 3, +8)都有 |f(x)|>1成立，试求a的取值范围.1- V3 上是单调递减函,在哥函数g(x)的图象变式：(2010广雅B)已知函数f(x)=log2(x2-ax-a而区间(。数.求实数a的取值范围.知识点6:募函数的图象及应用例7.(2009佛山B)已知点(握2)在哥函数f(x)的图象上，点24上.问当x为何值时有：(1)f(x)g(x);(2)f(x)g(x);(3)f(x)g(x).2b-r的奇偶性.xf (x变式：(2009揭阳B)已知哥函数f(x)=xm2m3(mCZ)为偶函数，且在区间

12、(0,+8)上是单调减函数.(1)求函数f(x);(2)讨论F(x)=ajf(x)四：方向预测、胜利在望1 x1. (A)函数f(x)lg的定义域为()x4A.(1,4)B.1,4)C.(8,1)U(4,+8)D,(oo,1U(4,i)2. (A)以下四个数中的最大者是()(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln2(D)ln2一一，一、，1，、3(B)设a>1,函数f(x)=logax在区间a,2a上的取大值与取小值之差为一，则a=()2(A)J2(B)2(C)272(D)44.(A)已知f(x)是周期为2的奇函数，当0X1时，f(x)lgx.设635af(5)，b”2)&quo

13、t;fq则()(A) a b c(B) b aX 12e ,x 2,5. ( B)设 f(x)=2log3(x1),x 2,c (C) c b a则不等式f(x)>2的解集为(D) c)(A) (1, 2)(3, +8)(C) (1 , 2)( V10 , +8)(B) ( V10 , +8)(D) (1, 2)6. (A)设 P log23, Q log3 2 , R log2(log3 2),则()A. R Q PB. P R QC. Q R P D. R P Q7.8.(A)已知 log 1b log1 a log1 c,贝心222b a ca bA. 222B. 22(B)下列函

14、数中既是奇函数，又是区间2c1.1C. 2c 2b上单调递减的是2aD.)2c2a2b(A) f(x)(C) f(x)9. (A)函数y A 1,10. (A)已知函数1A. 一 411. (B)若函数 有()A. 0 ac. 0 a12. (B)若函数 (),2A. 一4sin x1 x x、2(aa ).log2(3x 2) B ( 3,y log1 x与 y41B4f (x)ax b1且 b0B.1且 b 0D.f (x) log a x(0.2B. 一2(8, 0)上单调递减(0 , + 8 )上单调递减x)-)-的定义域是(B)f(x)|x12x(D)f(x)ln-一2x的定义域是：

15、()Cf,1D(-2,1kx的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则k()C.1D,1221(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定a1且b0aMb0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a=C.1D.14213. (A)已知0vxvyvav1,则有()(A)loga(xy)0(B)0loga(xy)1(C)1loga(xy)2(D)loga(xy)214. (A)已知f(x6)log2x,那么f(8)等于()(A)4(B)8(C)18(D)13215. (B)函数y=lg|x|()A.是偶函数，在区间(一8,0)上单调递增B.是偶函数，在区间C.是奇函数，在区间(0,+8)

16、上单调递增D,是奇函数，在区间一，lg(416. (A)函数yx317. (B)函数ya1x(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线,11,一一，mxny10(mn0)上，则一一的取小值为-mn_xe,x0.118. (A)设g(x)则g(g(T)lnx,x0.219. (B)若函数f(x)=J2,2axa1的定义域为R,则a的取值范围为20. (B)若函数f(x)loga(xvx22a2)是奇函数，则a=.11x21. (B)已知函数f(x)-log2L，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性x1x参考答案：三：例题诠释，举一反三22例1.解：(1),(2)a291136b3

17、(a3b2)5；/515庙4褴(141,abTab7.(3)110例2.解：B、11、变式：解：(0,一)；2例3.解：(I)b1(n)减函数。(出)k变式：解：(1)a=1.(2)略例4.解：(1)-1.(2)1.(3)1.27 124842 2log2变式:1魁:22(1)-.(2)2.(3)52224例5.解：选D。变式：解：C例6.解：(1,3U1,1)3变式：解：a|2-273wav2例7.解：(1)当x1或x1时，f(x)g(x);(2)当x1时，f(x)g(x);(3)当1x1且x0时，f(x)g(x).变式：解：(1)f(x)=x-4.(2)F(x)=-a2-bx3,F(-x)=-a2-+bx3.xx2当aw。，且bw0时，F(x)为非奇非偶函数;当a=0,bw0时，F(x)为奇函数；当aw0,b=0时，F(x)为偶函数；当a=0,b=0时，F(x)既是奇函数，又是偶函数四：方向预测、胜利在望15ADDDC610AADDA;1115CADDB.16.(-,3)(3,4)17.418.-19.-1,020.-222x0d1x21.解x须满足1X，由0马1x1,01x1x所以函数f(x)的定义域为(一1,0)U(0,1).因为函数f(x)