提高初中的生数学解题能力

1、Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse数学教学的一个重要任务是提高学生的解题能力。实际上，老师们在教解题上花费了大量的时间，但是效果总是不那么如意。因此，怎样培养学生的解题能力是一个不可忽视的话题。老师们都知道要培养学生的解题能力，然而许多教师老是在激发学生的解题兴趣上做文章，这无可厚非。不过，不论有无兴趣，作为学生，总归要养成一定的解题能力。因此，笔者认为，以下三点，应该才是培养学生解题能力的重要手段。Animportanttaskofmathematicsteachingistoimprovethestudents&

2、#39;abilityofproblemsolving.Infact,teachersspendalotoftimeonteachingproblemsolving,buttheeffectisalwaysnotsosatisfied.Therefore,howtodevelopthestudents'abilityofproblemsolvingisatopicthatcannotbeignored.Teachersknowthattodevelopthestudents'abilityofproblemsolving,however,manyteachersalwaysin

3、arousingstudents'interestintheproblemsolving,thisunderstandable.However,ifanyinterest,asastudent,itwillformacertainabilitytosolveproblems.Therefore,theauthorthinksthat,thefollowingthreepoints,shouldistheimportantmeansoftrainingstudents'problemsolvingability.一、展示教师自身的解题过程A,showtheteacher'

4、sownproblemsolvingprocess学生形成解题能力是从模仿解题开始的。模仿到一定程度后，方有自己的解题感觉。因此，教师的示范作用就显得非常重要。然而，在学生眼里，教师解题总是有如神来之笔，一下笔，题目的方法就出来了。学生对此除了羡慕外，剩下的感觉就是突兀。Studentsformbeginswithimitateproblemsolvingproblemsolvingability.Imitatetoacertainextent,feeltheirproblemsolving.Therefore,theteacherexemplaryroleisveryimportant.Ho

5、wever,intheeyesofstudents,teachers'problemsolvingalwayslikeapen,apen,topicmethodscameout.Studentsareinadditiontoenvy,therestofthefeelingisabrupt.正如波利亚所说的，教师要告诉学生“是怎样想到这个解法的？”“是什么促使你这样想、这样做的？”也就是说，教师要向学生展示自己的解题过程，这样学生才有模仿的可能。AsBoLiYaputsit,theteacherwantstotellstudents"ishowtothinkofthesolut

6、ion?""Whatmadeyouthinklikethis,dothat?"Thatistosay,teachersshouldshowstudentsowntheproblemsolvingprocess,sothatstudentsthereisapossibilityofimitation.19世纪末，德国有位天才的数学家叫闵可夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师。一天，闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他一张纸条，上面写着：“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？”Theendofthe19thcentur

7、y,Germanyageniusmathematiciancalledminkowski,hewasEinstein'steacher.Oneday,minkowskihadjustwalkedintotheclassroom,astudentjusthandedhimapieceofpaper,itread:"ifthereisacommonboundaryofthecountryonthemappainteddifferentcolors,soonlyneed4kindsofcolorisenough,canyouexplainthetruth?"闵可夫斯基微微

8、一笑，对学生们说：“这个问题叫四色问题，是一个著名的数学难题。其实，它之所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。”Minkowskismiledandsaidtothestudents:"theproblemiscalledfourcolorproblem,isafamousmathematicalproblems.Actually,thereasonithasnotbeensolve,simplybecausethereisnofirst-classmathematicianstosolveit."为证明纸条上写的不是一道大餐，而是小菜一碟，闵可夫斯基

9、决定“当堂掌勺”，问题就会变成定理Toprovenotetopwriteofisnotabigmeal,butapieceofcake,minkowskidecided'"classroomcooking",theproblemwillbecomeatheorem.下课铃响了，可“菜”还是生的。一连好几天，他都挂了黑板。后来有一天，闵可夫斯基走进教室时，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。”Whenthebellrang,"dishes"orraw.Hehunguptheblackboardforseve

10、raldays.Andthenoneday,whentheminkowskicameintotheclassroom,suddenlywriteyou,headds:"ah,godhubrisintheblameme,Iwon'tsolvetheproblem."尽管闵可夫斯基没有解答出问题，然而，他的解题方式和思维，在学生头脑中留存了一工干JOAlthoughminkowskididn'tsolvetheproblem,however,hiswayofproblemsolvingandthinking,inthestudentmindretainedall

11、hislife.对于现今的教师来说，尽管无法做到闵可夫斯基那样，但我们可以通过一连串的问句进行质疑启发，向学生展示解题的思维活动过程。例1若函数y=f(x)(xCR)的图像关于直线x=a与x=b(awb)都对称，求证：y=f(x)是周期函数且2(b-a)是它的一个周期。教师可设置一组问句启发引导：本题的条件是什么？条件中的关键词语是什么？本题的结论是什么？问题解决的落脚点在哪里？落脚点有何表达形式？条件可进行怎样的转化？转化后的条件与结论有怎样的距离？缩短距离的方法是什么？(探索解题思路)至此，本题的解题思路基本畅通，但思维活动没有结束，否则，真可谓“进宝山而空返”了。待学生整理完解题过程后，

12、教师可继续设问：本题使用了哪些知识点及思想方法？由本题可产生哪些猜想？怎样证明猜想?同学们兴趣盎然，积极讨论，最后师生共同归纳出相并列的两命题：(1)函数y=f(x)(xCR)的图像关于点(a,c)和(b,c)(bwa)成中心对称，则y=f(x)为周期函数，且2(b-a)是它的一个周期；(2)若函数y=f(x)(xCR)的图像关于直线x=b对称及关于点(a,c)(bwa)成中心对称，则f(x)是周期函数且4(a-b)是它的一个周期。通过对本题的探索研究，学生不但对函数的对称性、周期性有了深刻的理解，而且通过解决问题的思维过程的展示，有效地训练了思维能力，提高了学生发现问题、分析问题并解决问题的

13、能力。二、帮助学生反思解题的结论一类数学问题，其解法往往是有规律可循的。要想减轻学生负担，让学生从题海中解脱出来，必须教会学生从解题中及时归纳总结基本的解题规律，以达到举一反三、触类旁通的目的。教学中，教师应经常启发、引导学生在解题后反思这类数学问题的基本解题规律，对方法进行归类。这对提高解题能力尤其重要。Amathematicalproblem,itssolutionisoftenhaverulestofollow.Toeasetheburdenonstudents,letstudentstoescapefromthecrowd,mustteachstudentstimelysumupthe

14、basiclawofproblemsolvingfromtheproblemsolving,toachievethepurposeofthelines,oneinstance.Teaching,theteachershouldofteninspire,guidethestudenttoreflectionafterproblemsolvingthiskindoflawofbasicproblemsolvingmathematicalproblems,themethodofclassification.Thisisespeciallyimportantforimproveproblemsolvi

15、ngability.例2已知f(x)=kx3-x2+Hkx-16在R上单调递增，则k的取值范围是()。Case2knownf(x)=kx3-x2+skx-16monotoneincreasingonR,kvaluerangeis().A. k>1B.k>1C.|k|>1D.|k|>1B. a.k>1kor1C.|k>1D.|k1orhigher错解：f'(x)=3kx2-2x+-k,依题意，对一切xWrongsolutions:'f(x)=3kx2-2x+sk,accordingtothequestion,forallxR,f'(x)

16、>0,选A。'R,f(x)>0,chooseA.正解：依题意，对一切xCR,f'(x)>0,应选Bo我们知道，对一切xCR,f'(x)>0是f(x)在R上单调递增的充分不必要条件。该题中，f(x)在R上单调递增的充要条件是：对一切xCR,f'(x)>0o值得提醒的是，并不是对一切函数f(x),f(x)在R上单调递增的充要条件都是：对一切xCR,f'(x)A0。f'(x)=0所对应的情形应特别加以考虑。这些解题的小规律，通过解题后的反思，学生可以透过问题表层，充分挖掘其内在因素，掌握问题元素间的深层关系，优化自身知识结

17、构。三、帮助学生积累解题技巧学生的解题能力自然包含会解难题的能力。一些难度中上的题目，一般需要一些处理过程才可应用书本的有关知识解决。也就是说，一些问题有其特殊的解题技巧，学生若不理解并熟记一些解题技巧，即使概念定理、公式学得再熟，也难以用得上。这些技巧需要教师帮助学生归纳提炼。Theproblemsolvingabilityofstudentswillnaturallycontainsabilityofsolvingproblems.Somedifficultyofsubject,generallyneedsomeprocesscanonlybeusedbooksrelatedknowled

18、getosolve.Thatistosay,someproblemshavetheirspecialproblem-solvingskills,ifstudentsdon'tunderstandandmemorizesomeproblemsolvingskills,eveniftheconceptlearnedtheorem,formulaandcooked,canalsobedifficulttouse.Requiresteacherstohelpstudentsinductiverefiningtheseskills.例3数列an满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)a

19、nExample3sequenceansatisfiesa1=1,a2=2,theana+2=1+cos2(s)ofthean+sin2，n=1,2,3,。Sin2+s,n=1,2,3,.(1)求a3,a4,并求数列an的通项公式。fora3,a4,andthesequenceangeneraltermformula.(2)设bn=,Sn=b1+b2+bn,证明：当nR6时，Sn-2<。(2)establishbn=s,Sn=b1+b2+.+bn,provethatwhenn6orhigher,Sn-2<s.解：因为a1=1,a2=2,所以a3=(1+cos2-)a1+sin2So

20、lution:becausea1=1,a2=2,sothea3=(1+cos2s)a1+sin2s=a1+1=2,a4=(1+cos2?仔)a2+sin2?仔=2a2=4。=al+1=2,a4=(1+cos2?Wang)a2+sin2?Wang=2a2=4.一般地，当n=2k-1(kCN*)时，a2k+1=1+cos2-a2k-1+$访2？仔=22k-1+1,即a2k+1-Generally,whenn=2(kCn*)k-1,a2k+1=1+cos2sa2+sin2k-1s?Wang=a2+1k-1, namely,a2-k+1a2k-1=1。A2k-1=1.所以数列a2k-1是首项为1,公差

21、为1的等差数列，于是有a2k-1=k。Sothesequencea2k-1isthefirstitemis1,thetoleranceis1ofthearithmeticprogression,sohavethea2k-1=k.当n=2k(kCN*)时，a2k+2=(1+cos2-)a2k+Whenn=2kCn(k*),a2k+2=(1+cos2s)a2k+sin2=2a2k。Sin2a2ks=2.所以数列a2k是首项为2,公比为2的等比数列，于是有a2k=2k。Sothesequencea2kisthefirstof2,geometricsequence,withacommonratio2a

22、ndtherea2k=2k.故数列an的通项公式为Sothesequenceanforgeneraltermformulaan=，n=2k-1,(kCN*),n=2k。(kCN*)An=s,n=k-1,2(k£n*)s,n=2k.(k£N*)对于这道题，由解题过程可知，如果不知道n=2kForthisproblem,bytheproblemsolvingprocess,ifyoudon'tknown=2k-1(kCN*)时，a2k+1=1+cos2-a2k-1+sin2？仔=a2k-1+1,即a2k+1-a2k-1=1这个处理技巧，那么将难以-1(k£N*),a2k+1=1+cos2s+sin2a2k-1s?Wang=a2k-1+1,namelythea2k+1-a2k-1=1thisprocessingtechnique,thenwillbehardto解答。Answerit.实际上，许多数学难题都是由于有好的技巧才能顺利解决。比如，当年欧几里