2019届河北省中考系统复习：第18讲相似三角形(8年真题训练)

1、第18讲相似三角形钿北8正直题训练1：命题点 相似三角形的性质与判定1. （2017 河北T7 - 3分）若 ABC的每条边长增加各自的10%# A' B' C',则/ B'的度数与其对应角/ B的度数相比（D）A.增加了 10%C 增加了 (1 +10%)B.减少了 10%D.没有改变2. （2011 河北 T9 3 分）如图，在 ABC 中，/ C= 90° , BC= 6, D, E 分别在 AB, AC上，将 ABC沿 DE折叠, 使点A落在点A处.若A'为CE的中点，则折痕 DE的长为（B）iA. 一 2B. 2C. 3D. 43.

2、（2014 河北T13 - 3分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3, 4, 5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 与原三角形相似.乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.1,则新三角形对于两人的观点, A.两人都对 B C.甲对，乙不对.两人都不对D .甲不对，乙对4. （2016 河北 T15-2分）如图，在 ABC中, 阴影三角形与原三角形不相似的是（C）/ A= 78° , AB= 4,AC= 6.将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的B耄IB点选用重难点相似三角

3、形的性质与判定在4ABC中，AB= AC, D为BC的中点，以 D为顶点作/ MDNk / B.图1备用图(1)如图1,当射线DN经过点A时，Dg边AC于点E,不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形；(2)如图2,将/ MDNgg点D沿逆时针方向旋转， DM DN分别交线段AC, AB于点E, F(点E与点A不重合)，不 添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；1(3)在图2中，若 AB= AC= 10, BC= 12,当 季de= 4s3bc时，求线段 EF的长.(2)依据三角形内角【思路点拨】(1)由题意得AD± BD, D已AC,可考虑从两角对应相等的两个

4、三角形相似来探究;和定理及平角定义，结合等式的性质，得/BFD= /CDE又由/ B=Z C,可彳BDD CED由相似三角形的性质,BD DF CD DF1 一一一 ，得二己-进而有宏=去，从而 CED DEF (3)首先利用 DEF的面积等于 ABC的面积的力求出点D至U AB的CE ED CE ED4距离，进而利用 Sa def的值求出EF即可.【自主解答】解：(1)图1中与 ADE相似的有 ABD ACED DCE.(2) BDS CE8 DEF.证明：. / B+/BD斗 Z BFD= 180° , / ED斗 / BD斗 Z CDE= 180° ,又. / EDF

5、= / B,/ BFD= / CDE.BD DF由 AB= AC,得/ B=Z C, BDM CED,.CE EDCD DF- BD= CD - Ce= EDy.'Z c= / EDF BDFACE DEF.(3)连接AD,过点D作DGL EF, DHL BF,垂足分别为 G, H. _ _ _ 1一 AB= AC, D是 BC的中点，AD± BC, BD= BC= 6.在 RtMBD中,A6=AR BD2, . AD= 8.一 11一 一 . Saabc= ?BC. AD= 48.S adei= 4sabc= 12.又AD- BD= 1AB DHDH= 4.8.22. BD

6、% DEF 1 / DFB= / EFD. DGL EF, DH± BF, . . DH= DG= 4.8.C 1_. Sadef= 2*1，DG= 12, . EF= 5.【变式训练1】(2018 杭州)如图，在 ABC中，AB= AC, AD为BC边上的中线，DE! AB于点E.(1)求证： BDa CAD(2)若AB= 13, BC= 10,求线段 DE的长.解：(1)证明：. AB= AC BD= CDAD± BC, / B= / C. DU AB,/ DEB= / ADC. BD CAD.(2) -. AB= AC, BD= CD, . . AD, BC.60在

7、RtADB中，AD= 7届BD =12,AD。BD= 2AB DE, . DE=.方法指导基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：/ BAD= / C, / B= / DAC AD/ CDM CAB.(2) 一线三等角有以下基本结论：/ B= / C, / BDE= / DFCBD CFD.特殊地：若点 D为BC中点，则有 BDCF3ADFE.模型拓展“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景:图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助.【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD43,AB= 4,点巳Q分别在直线CB与射线D

8、C上(点P不与点C,点B重合)，且保持/ APQ= 90° , CQ= 1,求线段BP的长.解：分三种情况：设 BP= x.0图I图2图3当P在线段BC上时，如图1,二四边形 ABC比正方形,.Z B= Z C= 90° . BA巴 / APB= 90. /APQ= 90° , .AP拼 / CPQ= 90° .BA% / CPQ . ABW PCQ.AB PC 4 4 xBP= CQ -X= 1，Xi = X2 = 2.BP 2;当P在CB的延长线上时，如图 2,同理，得BP2p 2;当P在BC的延长线上时，如图 3,同理，得BP2+2.综上所述：线段

9、 BP的长为2或2y2 2或2+2山.y课后JEW a：-1基础雄 I1. （2018 白银）已知|=b（a w0, bw0）,下列变形错误的是（B） 2 3A. -= B. 2a= 3bC.= D. 3a= 2bb 3a 22. （2018 重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm, 6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为 2.5 cm ,则它的最长边为（C）A. 3 cmB.4 cmC.4.5 cmD.5 cm3. （2018 河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，与/ABB位似图形的是（C）A.B.C.D.4. （2018 哈尔滨）如图，在 ABC中

10、，点D在BC边上，连接 / AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是 （D）AD,点G在线段AD上，GE/ BD,且交AB于点E, GFAB AGA.AE= AdDF DGB.cf= AdFG EGC.ACT BDAE CFD.B DF5.（2018 邯郸一模）如图，在 ABC中,(B)A. 1B. 2C. 3BCBCD- /A, DE/ BC与 ABC相似的三角形（ ABC自身除外）的个数是D. 46.（2018 石家庄裕华区模拟）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（B）RFC已知：如图，在 ABC中，点D, E, F分

11、别在边 AB, AC, BC上，且DE/ BC, DF/ AC.求证： AD DBF.证明：又 DF/ AC, DE/ BC,/ A= / BDF.ADE= / B. AD DBF.A. B .C. D .BD7. （2018 随州）如图，平行于BC的直线DE把 ABC分成面积相等的两部分，则 疝的值为（C）A. 1B乎C./2- 1D./2+18. （2018 岳阳）九章算术是我国古代数学名著,书中有下列问题：“今有勾五步,股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形 边长最大是多少步？ ”该问题的答案

12、是17步.9. （2018 抚顺）如图， AOB三个顶点的坐标分别为 A（8, 0）, 0（0, 0）, B（8 , 6）,点M为OB的中点.以点 O 15 15为位似中心，把 A0B1小为原来的2,得到 A O' B',点M'为。B'的中点，则 MM的长为/=.R10. （2018江西）如图，在 ABC中，AB= 8,BC= 4,CA= 6,CD/ AB,BD是/ ABC的平分线，BD交 AC于点E,求AE的长.解：BD为/ABC的平分线，ABD= / CBD.1. AB/ CD .1- / D= / ABD. D= / CBD.，BC= CD. BC= 4,

13、CD= 4. AB/ CD AB匕 CDE.AB_AE'cdT ceAECEAE= 2CE. AC= AE+ CE= 6,AE= 4.能力提升11. （2018 包头）如图，在四边形点 F.若 BC= 4, / CBD= 30° ,则ABC邛,BD平分/ ABC /BAD= / BDC= 90° , E为BC的中点，AE与BD相交于DF的长为(D)B.提示：连接 DE可证 DEM BAF.D.fE12. （2018 达州）如图,E, F是？ABCD寸角线，1A"两点，AE= CF= 4AC.连接DE D9延长，分别交AB, BC于点GH,连接GHSaadg

14、则的值为(C)Sabgh1A.22B.3D. 1提示：可证AG： AB= CH： BC= 1 : 3.13. .【分类讨论思想】（2018 常州）如图，在4 剪下一个与 ABC相似的小三角形纸板，如果有ABC氏板中，AC= 4, BC= 2, AB= 5, P是AC上一点，过点 P沿直线 4种不同的剪法，那么 AP长的取值范围是 3W APv 4.14. （2018 福建）如图，在 RtABC中，/ C= 90° , AB= 10, AC= 8.线段AD由线段 AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到， EFG由4ABC沿CB方向平移得到，且直线 EF过点D.（1）求/ BDF

15、的大小；（2）求CG的长.解：(1)二.线段AD是由线段 ./ DAB= 90° , AD= AB= 10.，/ABD= 45° . EFG ABCgCB方向平移得到， .AB/ EF. ./ BDF= / ABD= 45° .(2)由平移的性质，得 AE/ CG AB/ EF, /DEAf / DFC= /ABC / AD曰 Z DAB= 180° . . / DAB= 90° , ./ ADE= 90° . . / ACB= 90° , ./ ADE= / ACB. .AD ACB.AD ae T= AC AB AC=

16、8, AB= AD= 10, AE= 12.5,由平移的性质，得 CG= AE= 12.5.15. (2017 河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E, D两点开挖一个涵洞.工程师从地面选取三个点A,B, C,且A,B,D三点在一条直线上，A,C,E也在同一条直线上，若已知AB= 27米，AD= 500米,AC= 15 米，AE= 900 米，且测得 BC= 22.5 米.(1)求DE的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况， 获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙

17、工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费 4 000元.若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算.解：（1）连接de. AB= 27 米，AD= 500 米,AC= 15 米，AE= 900 米，AB AC 3 一= 一= 一.AE AD 100又: / A= /A, . ABS AED.BJ22.5de= de三100'即 DE= 750 米.(2)设甲工程队每天开挖涵洞 x米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x米，依据题意，得750750市=25,解得x=10.经检验，x= 10是原方程的解.则 1.5x = 15.750甲工程队打通这个涵洞的时间为彳0=75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为75X 3 500 =262 500(元)；乙工程队打通这个涵洞的时间为750750 丁= A r- 50 50（天），1.5x15乙工程队打通这个涵洞所需的费用为50X4 000 =