2019年全国卷Ⅰ理数高考试题(含答案)

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 M =x -4 <x m2, N =x x2 x6 <0上则 MflN 二A . x -4 <x &l

2、t;3B. x-4<x<-2 C. x -2<x <2D. x 2< x <312 .设复数z满足z-i =1, z在复平面内对应的点为(x, y),则22222 , j22 ,、2 ,A. (x+1) +y =1 B. (x1) +y =1 C. x +(y1) =1 D. x +(y+1) =10 20 33 .已知 a =log20.2, b =2 . , c =0.2 . ,则.5-1 , 5-1 八(2618,22A. a<b<cb, a<c<bc, c<a<bd, b<c<a4 .古希腊时期，人们认

3、为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 45二！.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长2度为26 cm,则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC.185 cmD. 190 cmsinx - x5,函数f(x)=2在-n, n的图像大致为cosx xC.A.6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的阳爻”的概率是和阴爻“一 一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,6个爻组成, 则该重卦恰有

4、爻分为3个阳爻A. &1611B.32C.32D.11167.已知非零向量a,b满足| a |= 2 | b | ,且(a -b)_1_ b,则a与b的夹角为花B.一3C.D.8.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入1A. A=2 AB. A=2 + A1C. A=1 2A,1 D. A=1+ 2A9 .记a为等差数列an的前n项和.已知S4 =0, a5 =5 ,则A. an =2n 5B. an=3n102.C. Sn = 2n 8nD.Snn2 一 2n210.已知椭圆C的焦点为Fi(1,0), F2(1,0),过F2的直线与C交于A, B两点.若 | AF2 |=2| F2B

5、|,| AB R BF1 |,则C的方程为22xy/B. 十匚=13 222xy/C.+工=14 3D.22x y /一 = 15411.关于函数f (x) =sin | x |+|sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间(-2ji)单调递增f(x)在K,匈有4个零点f(x)的最大值为其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.12.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，/ CEF=90,则球O的体积为B. 476nC. 276n二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .曲

6、线y =3(x2 +x)ex在点(0,0)处的切线方程为1214 .记Sn为等比数列an的刖n项和.右a1 =一，a4 =a6，则S5= 3.根据前15 .甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4： 1获胜的概率是2216 .已知双曲线C: 224=1(a：0,bA0)的左、右焦点分别为F1, F2,过F1的直线与C的两条渐近线a b分别交于A, B两点.若F1A =AB, F1B F2B=0,则C的离心率为1721

7、题为必考题，每个试题考生三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17 . (12 分)2. 2ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,设(sinB -sinC) =sin A-sinBsinC.(1)求 A;(2)若应a+b=2c,求 sinC.18 . (12 分)如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA=4, AB=2, Z BAD =60° , E, M, N分别是BC,BB1, aiD的中点.(1)证明：MN /平面 CDE；(2

8、)求二面角A- MA1- N的正弦值.19 . (12 分)已知抛物线C: y2=3x的焦点为F,斜率为9的直线l与C的交点为A, B,与x轴的交点为P.2(1)若 |AF|+|BF|=4,求 l 的方程；T T若 AP =3PB,求 |AB|.20 . (12 分)已知函数f (x) =sin xln(1+x), f'(x)为f (x)的导数.证明：冗(1) f (x)在区间(一1,一)存在唯一极大值点；(2) f(x)有且仅有2个零点.21 . ( 12 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行

9、对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为 a和3, 一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p"i =0,1,|,8)表示 用药的累计得分为

10、i时，最终认为甲药比乙药更有效 ”的概率，则 Po =0 , P8=1, Pi =aPi+ bPi+cPi书(i =1，2,|,7),其中 a = P(X=)，b = P(X=0), c = P(X =1) .假设 a =0.5, P=0.8.(i)证明：Pt Pi (i =0,1,2,川,7)为等比数列；(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)1-t2x =2x轴的在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11+t(t为参数).以坐标原点

11、。为极点,4t厂门正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 Pcos日+ J3Psin日+11 = 0 .(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1 .证明：,、111222(1)Wa2+b2 +c2；a b c (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 224 .2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学？参考答案、选择题1. C 2.C 3.B 4. B 5. D6. A 7. B 8. A9. A 10. B 11.C 12. D二、填空题13, y=3x14.12115.

12、 0.1816. 23三、解答题.一 22八 222217.解：（1）由已知得sin B+sin C sin A=sinBsinC,故由正弦定理得 b +c -a222由余弦定理得 b c -acos A =2bc因为 0n<A<180:所以 A = 60;（2）由（1）知 B=120 0C ,由题设及正弦定理得 J2sin A + sin（120：C ）=2sin C即返 + cosC +1sin C =2sin C ,可得 cos（C +60=）=- 22222由于 0 <C <120 ,所以 sin C +60 =，故 2sinC =sin C 60 -60= s

13、in C 60 cos60 -cos C 60 sin 6062 . 418.解：（1）连结 BiC, ME.因为M, E分别为BBi, BC的中点，所以 ME/BiC,且 ME = 1B1C.21又因为N为AiD的中点，所以ND=-AiD.2.55由题设知 AiBi"'DC,可得 BiCAiD,故 ME £ ND,因此四边形MNDE为平行四边形， MN/ ED.又MN0平面EDCi,所以MN /平面CiDE.(2)由已知可得DEXDA.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0) , Ai(2, 0, 4),

14、M (1,73, 2) , N(1,0,2) , AA = (0,0,4), A1M = ( 1,73,2),AN =(-1,0, -2) , MN =(0, -73,0).-1/、m A1M =0设m =(x,y,z)为平面Ama的法向量，则«m A1A =01 x，. 3y 2z =0,所以 « y可取 m =(>/3,1,0).Yz = 0.f -n MN =0, 设n =(p, q,r)为平面A1MN的法向量，则 « n AN =0.3q 0所以3q 0 可取 n = (2,0, -1).-p -2r =0.于是 cos m, n =m n| ml

15、I n |2 315=:z所以二面角A - MAi - N的正弦值为 屈.5319.解：设直线 l : y =2x+t, A(x1，y1 1B(x2,y2).(1)由题设得F,3,0 l',4,3 口53y 二一 x t2，可得9x22+12(t -1)x+4t =0 ,则 Xi +x2 =12(t -1)故| AF | + | BF |= x1 + x2 +万,由题设可得x1 + x2 =万y2 = 3x从而12(t-1) 5所以l的方程为y =AP=3pB可得 y1=3y2.3,y = 一 x t _/n 2 _ 一由42,可得 y2 -2y +2t =0 .y2 =3x所以 yI

16、 + y2 = 2 .从而 一3 y2 + y2 = 2 ,故 y2 = 1, y1 二 3 .，、 ，一1代入C的方程得x1 =3,x2 =-.3故 | AB| =4 .1320.解：(1)设 g(x)f' (x),贝U g(x) =cosx-,g'(x);-sin x(1 x)2 ,JI则当 x W(1Q)时，g'(x) A0；当 xWlot,一 I时,2g'(x):二 0.,g'(x)单调递减，而g'(0) >0, g'(-) <0 ,可得g'(x)在1 -1,- I有唯一零点 22设为：.所以g(x)在(1,a

17、)单调递增，在 L,-'i单调递减，故g(x)在匚1】存在唯一极大值点，22即f'(x)在匚1胃|存在唯一极大值点.(2) f(x)的定义域为(1,心).当XE(10时，由(1)知，f'(x)在(1,0)单调递增,而f'(0)=0,所以当xw(1,0) 时，f'(x)<0,故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0 ,从而x = 0是f(x)在(1,0的唯一 零点.(ii)当xwb，l时，由(1)知，f'(x)在(0,s)单调递增，在单调递减，而f'(0)=0 12I 2J，f'Y<0,所以存在PwR使得1日)=0

18、,且当*三(0,日)时，尸30；当*三仅，I2. 2.2时，f(x) <0.故f(x)在(0邛)单调递增，在fp,- j单调递减.2又 f(0)=0, f in= 1ln，1+2必0,所以当 xW：0,l 时，f(x)A0 .从而，f(x)在，0,12222没有零点.(iii)当x"三/时，f'(x) <0,所以 设)在勺，冗单调递减.而f 1-1>0, f(ir)<0,222所以f(x)在巳，J有唯一零点.2(iv)当xw (g+°o)时，ln(x+1)>1 ,所以f (x) <0,从而f (x)在(国+)没有零点.综上，f(x

19、)有且仅有2个零点.21.解：X的所有可能取值为 T,0,1 .P(X =-1) = (1-£)P,P(X =0)+(1-二)(1-)P(X =1)=:(1-)所以X的分布列为（1 _ a 邓叩 * 0 _ /（ _ &U - 尸）（2）由（1）得 a =0.4, b=0.5, c=0.1.因此 pi =0.4r+0.5 pi+0.1 pi 书，故 0.1（ pi平 一 pi ）= 0.4（ pi - pi），即Pi 1 - Pi = 4 Pi - Pi j .又因为R P0 =P1 #0,所以pi4 pj(i =0,12,|儿7)为公比为4,首项为p1的等比数歹U.(ii)由(i)可得L1J4 -1P8= P8 -P7，P7-P6IMP1- P0P0F：p8-P7j-（ P7 - P6 WP1-P0= P1.3,3由于P8=1 ,故Pi =-8，所以48 -1257在甲药治愈率为0.5,乙药治P4 =P4-P3P3-P2P2-P1P