二次不等式二次函数最值

1、学习必备欢迎下载二次不等式、最值【知识概要】1 .二次函数解析式二次函数的解析式有三种常见形式：(1) 一般式:(a,b,c是常数,(2)顶点式:(a,m,k是常数,),其中为顶点坐标;(3)交点式:是常数,),其中为抛物线与x轴的两个交点的横坐标.2 .二次函数与一元二次方程的关系抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.时，抛物线与x轴没有交点，此时方程无实数根;时，抛物线与x轴只有一个交点,此时方程有两个相等的实数根;(3)当时，抛物线与x轴有两个交点,此时方程有两个不相等的实数根，其解析式可写成交点式的形式:3 .抛物线与x轴两个交点间的距离4 .二次函数、二次方程与二次不等式的关系

2、二次函数的图像的根无实数根的解集()无解无解的解集或(一切实数)【说明】（1）对于二次不等式，当二次项系数时，要先将不等式二次项系数化为正，然后用上述方法求不等式的解集的一（2）对于二次项系数大于零且元二次不等式，求解规律是：大于取（两根的）两边；小于取（两根的）中间.【课堂练习】1.已知函数时，图象是一条直线；当时，图象是抛物线；当 m.时，抛物线过坐标原点.2.在同一直角坐标系中）的图像的大致位置是（答案：D.3 .已知二次函数(1)证明：这个函数的图像与 x轴必有两个不同的交点；(2)当a为何值时，函数图像与x轴两个交点之间的距离最小？最小距离是多少?学习必备欢迎下载(1)证明：令学习必

3、备欢迎下载.无论a为何实数,，抛物线与x轴必有两个不同的交点.学习必备欢迎下载(2)解:时，A B两点间的距离最小，最小距离4 .解关于x的不等式:解：原不等式可化为，即学习必备欢迎下载5.如果的解集为,那么对于函数之间的大小关系.学习必备欢迎下载解：图像法.由不等式解集知是方程的两根，且图像开口向下.作出函数的大致图像，可知6.设a为参数，解关于 x的一元二次不等式解：（1）当时，原不等式化为学习必备欢迎下载时，原不等式可化为学习必备欢迎下载时，即时，即学习必备欢迎下载时，即时，不等式无解.(ii)若学习必备欢迎下载所以,时，不等式解为学习必备欢迎下载时，不等式解为时，不等式解为学习必备欢迎

4、下载时，不等式解为7.若函数的取值范围.的定义域为全体实数，求实数 k学习必备欢迎下载解:恒成立，学习必备欢迎下载8.已知的最大值和最小值.解：由于是，记学习必备欢迎下载时,所以当时,学习必备欢迎下载9.设的最值.学习必备欢迎下载解：如图，先作抛物线,然后将x轴下方的图像翻转上来，即得的图像，对称轴是直线的两根是由此可知，0与3位于图像与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为,而最小值为学习必备欢迎下载中较小者,，最小值1.10.已知二次函数时有最大值5,二次函数的最小值为学习必备欢迎下载解：由条件可设学习必备欢迎下载由于的最小值为的图象经过点(3, 2)11.已知函数(1)求这个函数的

5、解析式;时，求使y >2的x的取值范围的图象经过点（3, 2）,:函数解析式为根据图象知当x>3时，y> 2.时，使y>2的x的取值范围是x>3.经过点12.如右图，抛物线,与y轴交于点B.(1)求抛物线的解析式；(2) P是y轴正半轴上一点，且 PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点 P的坐标.解： （1 ） 由题意得抛物线的解析式为2 2) ;点A的坐标为(1,0),点B的坐标为OA=1, OB=4.上.在 RtOABK，且点P在y轴正半轴当 PB=PA 时此时点P的坐标为当P点AB时，OP=OB=4此时点P的坐标为（0, 4）13.如图，有一座抛物线形拱桥，

6、在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶 1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m的速度持续上涨（货车接到通知 时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点 O时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原 来速度行驶，能否安全通过此桥？若能， 请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥， 速度应超过每小时多少千米？解：（1）设抛物线的解析式为,桥拱最高点到水面CD的距离为

7、h 米，则:抛物线的解析式为水位由CD处涨至U点O的时间为1 + 0.25=4 （小时），货车按原来速度行驶的路程为40 X 1+40 X 4=200<280 ,货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到x千米/时，:要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.14.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为 X （元），租赁公司出租该型号设备的月收

8、益（收益=租金收入支出费用）为y （元）（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y与x之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为 4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出 多少套机械设备？请你简要说明理由；(4)请把(2)中所求的二次函数配方成的形式，并据此说明：当X为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收 益是多少？解：（1）未出租的设备为套，所有未出租设备的支出为元.(2).(说明：此处不要写出 x的取值范(3)当月租金为300元时，租赁公司的月收益为 11040元，此时出租的设备为 37套；当月租金为

9、350 元时，租赁公司的月收益为 11040元，此时出租的设备为 32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.(4);当时，y有最大值11102.5.但是，当月租金为325元时，租出设备套数为 34.5,而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最 大月收益均为11100元.2A、B,其顶15. （2001上海）如图，已知抛物线 y 2x 4x m与x轴交于不同的两点点是C,点D是抛物线的对称轴与 x轴的交点

10、.（1）求实数m的取值范围；（2）求顶点C的坐标和线段 AB的长度（用含有 m的式子表示）；（3）若直线y <2x 1分别交x轴、y轴于点E、F,问 BDC与 EOF是否有可能全等,如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由.解：（1） 抛物线y = 2x24x+m与x轴交于不同的两个点,2x24x + m= 0 有两个不相等的实数根.：= (4) 2 4 - 2m>0, ： m<2.(2)由 y=2x24x+m= 2 (x 1) 2+ m-2,得顶点 C的坐标是(1, m-2).由 2x24x+m= 0,解得，1 1xi = 1 + _q4 2m 或 x?=1 4 2m2 2

11、'一 .1 1 AB = (1十4A 2m ) 1 1 44 2m ) = ,4 2m .222(3)可能.证明：由y= %，,2 x+1分别交x轴、y轴于点E、F,彳| E (, 0), F (0, 1). ： OE2 _ . 1 、2 1 =，OF= 1 而 bd= 4 2m , DC= 2 m.当 OE= BR 得<4 2m ,解得 m= 1.此时2222OF= OC= 1 .又丁 /EOF= / CDB= 90° ,BD® EOF : BDCfEOFf可能全等.【课后作业】选择题:1.抛物线的对称轴是（A.直线B.C.D.直线2.二次函数的图象如右图，

12、则点A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限3.已知二次函数，且A.B.C.D.<04.把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式B.A.D.C.学习必备欢迎下载5.已知反比例函数的图象如上图所示，则二次函数的图象大致为（6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（7.抛物线的对称轴是直线（A.B.C.D.8.二次函数的最小值是（A.B. 2C.D.9. 二次函数的图象如图所示，若学习必备欢迎下载A.B.C.D.学习必备欢迎下载、填空题:配方成10.将二次函数的 形 式， 则 y11.已知抛物线与x轴有两

13、个交点，那么一元二次方程根的情况是12.已知抛物线与x轴交点的横坐标为13.请具有的个共同性质：14 .有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点:甲：对称轴是直线；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15 .已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次 函数的解析式：.16.如图，抛物线的对称轴是A B两点，若B点坐标是标是.、解答题:17.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 S （万元）与销售时间t （月）之间的函数关系 式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所