信号与系统教案,第四章连续时间傅里叶变换.

1、东北电力大学教案封皮开课单 位课程名称授课教 师授课对象选用教信号与系统材西安交通大学出版社总学时 724.0引言课次 18第4章连续 时间傅里叶 变换4.1非周期信号的 表示：连续时间傅 里叶变换4.2周期信号的傅 里叶变换爵子目掌握连续时间非周期信号的傅里叶变换 的表示方法及推导过程，掌握连续时间周及要求期信号的傅里叶变换表示。教学重重点：非周期信号的傅里叶变换表示。5 7 ?难点：如何由连续时间周期信号的傅里 点巴各叶级数过渡到连续时间非周期信号的傅 理安排里叶变换。教学方式、讲授法方法教学内容 4.0引言5min%口注 4.1非周期信号的表示：连续时间傅里叶及寸 变换70min间分4.

2、2周期信号的傅里叶变换15min配例题 '详见下文练习题评儿作业、思考题教案内容备注4.0引言在这一章以及下一章将把这些概念推广应用到非周期信号中去。将会看到，相当广泛的一类信号,其中包括全部有限能量的信号,也能够经由复指数信号的线性组合来表示。对周期信号而言，这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的:而对非周期信号，它们则是 在频率上无限小地靠近的。因此，作为线性组合表示所取的 形式是一个积分，而不是求和。对连续时间非周期信号建立这种表示是傅里叶的最重要的贡 献之一，现在我们来讨论傅里叶变换也是紧随着他最初研究 所采用的途径进行的；特别是傅里叶所曾认为的，一个非周 期信号能够看成是

3、周期无限长的周期信号这一点。更加.确切 些就是，在一个周期信号的傅里叶级数表示中，当周期增加 时，基波频率就减小，成谐波关系的各分量在频率上愈趋靠 近。当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成了一个连续 域，从而傅里叶级数的求和也就变成了一个积分。4.1 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换4.1.1 非周期信号傅里叶变换表示的导出为了对傅里叶变换表示的实质求得更深入地了解，我们还是 先由在例3.5中所研究过的连续时间周期方波的傅里叶级数表 示人手。即，在一个周期内该方波信号的傅里叶级数系数是_ 2网（1叫丁）& 二痴 口口 1 口口-7T-r .1 -r. f. 1 I«&#

4、171;92K4 I叁"册鼻倩9理解（4.1式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即2sinwT 1Jat =g 3二啊BH.2同明万旗的例宣寸Q数戢口及其也络，定2GO r-4Tli (MT-4TU (c)T-16Tj从该图可以看到，随着T增加，该包络就被以愈来愈密集的 间隔采样。随着T变得任意大，原来的周期方波就趋近于一 个矩形脉冲(也就是说，在时域所保留下的是一个非周期信 号，它对应于原方波的一个周期,与此同时，傅里叶级数系 数(乘以T后作为包络上的样本也变得愈来愈密集.这样从某 种意义上说(稍后将说明，随着，傅里叶级数系数就趋近于这个 包络函数。这个例子说明了对非周期信

5、号建立傅里叶表示的基本思想。 这就是在建立非周期信号的傅里叶变换时，可以把非周期信 号当作一个周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研 究这个周期信号傅里叶级数表示式的极限特性。现在，我们来考虑一个信号，它具有有限持续期，即对某个 当时，,如图4.3(a所示。f Tit(a)从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号，使就是的 一个周期，如图4.3(b示。2， -T -* o r, t2T r«现在来考察一下在这种情况下的傅里叶级数表示式的变化上MR1.丁二亍 五(力bI J-T/2由于在内，而在其余地方，所以(4.4式可以重新写成因此，定义的包络为49x(jo»)=%

6、0)e 皿山J -w外=yX(jaiQ)1(f)不 £ X(jA3Q)d%'r- -00 上龙(z) = 5-2x(j 岫 o)*&。 工冗If = -oo1讨8 金（£）= 丁(4.8(4.9NITJ 一8-= #Q)e 讪山 co（4.8式和（4.9式称为傅里叶变换对。函数称为的傅里叶变换 或傅里叶积分，而（4.8式称为傅里叶反变换式。对周期信号来 说，表示成成谐波关系的复指数信号的线性组合，频率为, 而对于非周期信号而言，这些复指数信号出现在连续频率 上。一个非周期信号的变换通常称为的频谱，基于以上讨论，或者等效地基于（4.9式和（3.39式的比较，也

7、 可以注意到，一个周期信号的傅里叶系数能够利用的一个周 期内的信号的傅里叶变换的等间隔样本来表示。这就是，设 是一个周期为T的周期信号，其傅里叶系数为;令是一个有限 持续期信号，它等于在一个周期内的.譬如说是在这样一个周 期内，而在该周期外全为零。那么，因为（3.39式求的傅里叶 系数时可以在任何周期内做积分，因此a* -L&/ J4 =暴(2)4.L2傅里叶变换的收敛虽然在导出（4.8式和（4.9式的傅里叶变换对时，假设是任意 的,但具有有限持续期。事实上这一对变换关系对于相当广 泛的一类无限持续期的信号仍然成立。我们对傅里叶变换所 采用的推导过程.本身似乎就暗示了的傅里叶变换是否存

8、在 的条件应该和傅里叶级数收敛所要求的那一组条件一样。事 实证明确实如此。* G） =）和ds要想知道的是，什么时候才是原来信号的真正表示？若能量有限，也即X。平方可积，因而I I京I知 0°J a DO那么就可以保证是有限的。因此，和周期信号相类似，如 果，能量有限.那么虽然和它的傅里叶表示在个别点上或许 有明显的不同，但是在能量上没有任何差别。也和周期信号一样，有另一组条件，这组条件充分保证了除 了那些不连续点外，在任何其它的上都等于，而在不连续点 处等于在不连续点两边值的平均值。这组条件也称为狄里赫 利条件，它们是：1 .绝对可积，即I无（力|小 8J 82 .在任何有限区间内

9、，只有有限个最大值和最小值。3 .在任何有限区间内，有有限个不连续点，并且在每个不连 续点都必须是有限值。41.3连续时间傅里叶变换举例详见教材，例4.1-例4.54.2 周期信号的傅里叶变换在上一节介绍了傅里叶变换表示，并给出了几个例子。虽然 在那一节的注意力主要是集中在非周期信号上，其实对于周 期信号也能够建立傅里叶变换表示。这样一来就可以在统一 框架内考虑周期和非周期信号。事实上将会看到，可以直接 由周期信号的傅里叶级数表示构造出一个周期信号的傅里叶变换;所得到的变换在频域是由一串冲激所组成，各冲激的面 积正比于傅里叶级数系数。这是一个非常有用的表示。为了得到一般性的结果.考虑一个信号,

10、其傅里叶变换是一 个面积为，出现在处的单独的一个冲激，即X(jai) = 27Td (小C%)rff ) = *1 2x5(- 30)*dg = 4将上面结果再加以推广，如果是在频率上等间隔的一组冲激 函数的线性组合，即X(j<4J)= S- %0)上一 一8工=帆，为二一B例题，详见教材例464.8。东北电力大学开课单 位授课教 师教案封皮课程名称授课对象选用教信号与系统材西安交通大学出版社课次19总学时 72第4章连续 时间傅里叶 变换4.3连续时间傅里 叶变换性质教学目的掌握连续时间信号傅里叶变换的常用性质内容及推导过程；掌握卷积性质。及要求 教学重重点：连续时间信号傅里叶变换的常

11、用 点、难性质内容；卷积性质。点及处理安排 难点：对偶性质以及卷积性质的应用。教学方式、讲授法方法 教学内容4.3 连续时间傅里叶变换性质60min 及时4.4 卷积性质30min间分配 鲁蠢详见下文作业、习题412 思考题习题4.25内容教案备注4.3连续时间傅里叶变换性质这一节以及后面两节将讨论傅里叶变换的几个重要性质。与 周期信号的傅里叶级数表示的情况相同，这些性质对变换本 身以及对一个信号的时域描述和频域描述之间的关系都将给 出透彻的认识。另外，很多性质对简化傅里叶变换或反变换 的求取也往往是很有用的。(4.84-0X(joi) =*(j)e 法山(4.9. -co将x（j.）用用工I

12、, 了用小/X0”）便表示f431线性OX（E）卜 8了（£）"&X（js） + &Y（jto） 432时移性质工& _ x卢eXX(j3)wftm4u 24»xxCr> - ±J1x(jaLd”任“大中tu u«n e.可网文-sL iL.XgLF% - U：(mx(M)*L这就是的"(-“)的磔合会走.%(r-Q| - e u.X(j->例4.9详见教材215页4.3.3共聊及共辗对称性XFjw) = ：n(力 eWd，=(力产 drX*(- jo) = I (r )e-dxJ =8共辗性质就能

13、证明，若为实函数，那么就具有共扼对称性， 即X(-J(U)= X"(jw)工为实件为a.30)式的一个恬臬，普将用宜的生惇表示为XG”)I j.fcilx(j(y)|那么昔，(£)为买XU. 质AfX(j) - AfXC J)|和JfaiiX(jai)|js)|这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是 频率的奇函数。类似地，若将用极坐标表示为X。®） = I X（jcu） F，立x（M）¥(讪|是颊*8的偶出效.修蝌餐喙长、作为(4.30式进一步的结果，若为实且为偶函数.那么也一定 为实、偶函数。为此，可以写出黄3- js)= 力产由 J 0

14、0K4用V,»»,回得XC-j«) = | .( r)«<f r3r(-r)-r(r),所以打X( * jw) = J r( rje'dr - X(j«)同样可以证明，若是时间的实值奇函数，那么就是纯虚且为 奇函数。 Q 卢 X(jw>展 1 N ( 2 ) 乙窕i X<jcd)|刎彳©j痴1x(.”例4.10详见教材P217页434微分与积分=8二j困讪)4d"J 6 比(r)dr3) + jtX(0M(3)例4.11、4.12详见教材P2184.3.5 时间与频率的尺度变换_ lai网 a(a&

15、#163;) = I (由)e城 d2口、（小小北 3 >oI Ci J «up男式"）1 = 1 （T）c"?*/w,drt a < 0（-jw）介绍时域与频域的相反性，详见教材。4.3.6 对偶性比较一下正变换和反变换的关系式，可以看到这两个式子在 形式上是相似的，这一对称性就导致了傅里叶变换的一个性 质称之为对偶性。以例4.13为例说明对偶性的含义，详见教材220页。9I，1J 9局KU噱象的凭*，必U力arr <w-ww ，）.必toil：度 2. &?«!*<»） - i/jTO） 】wru"

16、上zvvrn 中，xa-i i». 1匚（出直电 ,近r. i匚岛（*38）长。右口“，2/（”/）的“*叶蜜|1分析合大.BX*fl«nHrM-e-j垃（£*呼竺）<13caUx（j（3 - %）+工（7）d? IJ ，64.3.7帕斯瓦尔定理iXf） lAl .：*（，）/（，）捻二工（力，打二JTGaHkd；也 ：I（力Vdr - 1J二XF汕）匚工叱山及 例4.14见教材东北电力大学教案封皮开课单位授课教师选用教信号与系统材西安交通大学出版社课程名称授课对象总学时 72课次 204.4 卷积性质4.5 相乘性质第4章连续时间傅里叶46傅里叶变换性变换

17、质和基本傅里叶变换对列表4.7 由线性常系数 微分方程表征的系的4曰掌握连续时间傅里叶变换的两个重要性 誓子目质，卷积性质及相乘性质，熟悉傅里叶 的 变换的常用性质，并掌握常用的基本傅及要求里叶变换对，掌握线性常系数微分方程 的基本求解方法。教学重重点：卷积性质及相乘性质的公式；傅 占 难里叶变换的基本性质及常用变换对；线 段及处性常系数微分方程的基本解法。理安排难点：线性常系数微分方程的求解。教学方式、讲授法方法教学 4.4卷积性质25min内容 4.5相乘性质20min及时4.6傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表20min间分4.7由线性常系数微分方程表征的系统配 25min作业、 思考

18、题内容教案备注4 .4卷积性质在第3章已经知道，如果一个周期信号用一个傅里叶级数来 表示，也就是按338式作为成谐波关系的复指数信号的线性 组合来表示，那么，一个LTI系统对这个输入的响应也能够 用一个傅里叶级数来表示。因为复指数信号是LTI系统的特 征函数，所以输出的傅里叶级数系数是输人的那些系数乘以 对应谐波频率上的系统频率响应的值。x(t) = XGoJLds = lim S x(j&f+w= I h(iJ 8J=WK 力士 YG«r) = H(j<u)X(j»»作为比幔止鳗的疗导,可学如下套根断分;y=J .*(m - *)&+昊求的

19、YGQJK=,，«)!=/J 了“)*(.-r)<fr j2搂网分次序.!?£««与无犬.R有YG»)J Cr)J - r-1ddr上式方站与内就是IFRj.).整力代：人(配夕：武历V(A)-=w-kf UMr = <a>J1dr上忒总我的积分部分就鼻所以yg-“)*(4.5 相乘性质卷积性质说的是时域内的卷积对应于频域内的相乘口由于时 域和频域之间的对偶性。可以期望对此也一定有一个相应的 对偶性质存在一工-白sew * p（jw）.一个信号被另一个信号去乘，可以理解为用一个信号去调制 另一个信号的振幅，因此两个信号相乘往往

20、也称之为幅度调 制。为此，4.7式有时也称为调制性质。将会在第7章和第 8章看到，这个性质有几个很重要的应用。为了说明（4.70式 以及今后将要讨论到的若干应用，先来举几个例子。例 4.21-4.234.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表皿惟用»V>I ««Hf)X(jw)yg4.1.1A>(r)!(!-1) -«X(w)4.3.6WK*o<.一“>4.3.1X'(»433可网区不*Lr)m»)43.5NUM* X届鸳眄4.4«(4)>>(«)WiUY&)4

21、d,乂 r)4.3.4时少金W（m>43.4H夕用八 u(oja<.)1 右3力心gKg-X，-修）夫（S9才笊篇0，限1艮4.3.3,（,）为实信写.4nlX( <»|0M（A，“HX-）43 J工*俏Q曲或，力大,裳号4.5 J4 J §.rfajkti >cix<w)i4.3.7J：_ > *<，) ' a圾2小«4.31曾） W V用北-7rNT%)e «e-Q X< ACOMB：“:)，)十手:机一.b- "".)再 yOi X*A2t»)U* Il ，明 ，

22、9(«>»!1 T>0 ft*>1第/时Q也不 »J1.UKT, 4<，, 1ft. ThJCiM«" t>" (r)nt* i哼伫力）冯11 gEdCf-«n 学浏-竽）川金U JI. UKTi ""|0. l.>T2， ,0/卜，w®上L"aI3士M）«<-1) F一c ，> %!<：>«_JU小， AS.H.ixL.14.7 由线性常系数微分方程表征的系统小，, 丫（讪）Ms）= X< 讪） H

23、GQ分辨尾号人工（力,输盟”力和系统取位 72）式两边取簿里”变换,得脸I 牛施,上式变为以3挈卜0词号灯 .©1 ut I J.。nr !）式,可得LuJjwVy（>）= 1>/向）文（讪） - 0« - 1工。H（）w）-wrV.、£（J3 尸XlhiU -一 _ xg .例4.24425,详见教材236页。东北电力大学教案封皮开课单 位授课教 师课程名称授课对象总学时 72第4章连续时间傅里叶实验课 变换法 授讲重难处F 方 学、及安 学、法 学容时分 教点点理 教式方 教内及间配文 下 见 详 S题 题习 例练选用教信号与系统材西安交通大学出版

24、社课次21教学目的及要求作业、思考题内容教案备注实验四连续时间傅里叶分析一、实险目的1 .掌握连续时间傅里叶变换的基本理论；2 .熟悉MATLAB软件的使用；3 .掌握对连续时间信号进行傅里叶分析的方法。二、实险过程为了更好地体会MATLAB的数值计算功能，特别是强大的矩 阵运算能力，这里给出连续信号傅立叶变换的数值计算方 法。这一法的理论依据为：- J /(/* limrw/)=对于一大类信号当足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。1.绘制信号的时域与频域图。R=0.02; %取样间隔 t=0.02t=-2:R:2;%t为从-2到2,间隔为Q02的行向量 ft=exp(-2*t.*(t>=0;Wl=10*pi; %取要计算的频率范围M