数学文化与数学史答案

1、数学文化与数学史复习Lecture 0 为什么要开设数学史1 .介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达 芬奇(L. Da Vinci, 14521519)和19世纪 英国业 余数学家伯里加尔(H. Perigal, 18011898)证明勾股定理的方法。2 .谈谈你对数学史教育价值的认识。一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高，它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的 理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考，促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好

2、的学习态度，有利于辩证唯物主义世界观的形成，有利于学生 了解数学的应用价值和文化价值。对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学 教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启 发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极 其重要的意义。Lecture 2 古代数学(I)埃及3 . Rhind纸草书问题79是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。12801房屋725602猫49411204老鼠34319607麦穗2401容积16807总数19607& 7 49

3、 343 2301 168077 1 7 49 343 23017 2801196072n 1Sn a aq aq L aq 2n 2a q a aq aq L aqa qSn iSn 1n aqnc a aq /Snq 11 q4. “埃及几何学中的珍宝”是什么V =+ 口匕 +匕工）正四棱台体积公式：才Lecture 3古代数学（II）美索不达米亚3.研究古巴比伦日期的泥版BM 15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题求.a :求2 :设第一个近似值为1,设第一个近似值为a1,则第二个近似值为a2 1 a1 a ;2a1第三个近似值为a3 2a22 2a2则第二个近似值为1 1

4、-30；21第三个近似值为1 1;30 1;25；21;30第四个近似值为1 1;25 1;24,51,1。21;25化为十进制为：2 1 24 工或1.414215560 60607.美国哥伦比亚大学收藏的Plimpton 322号巴比伦泥版的内容是什么泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 18991990）经过研究惊奇地发现： 第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）：2(2 ,2 >P +守222门=p -q2 ,2序号1

5、 -P9 Jc = p + q1. 59, 0,15L 5*58. 14. 50.L 55,工 4L 15, 33, 45L 53, 10, 29、32, 52, 16L4S、54401.47, 6.4L4011, 56、28. 26. 40L41. 33, 59. 3,45L3$ 33. 36、36L 35, 10. 2, 28, 27, 24, 26, 40L 33.451, 29, 21, 54、2, 151. 27. d 3,45L 25, 48, 51. 35, 6. 40L 23, 13,46. 40L 5956、71. 16.413. 31,491. 55.1938. 1113,

6、 199.1 8.11. 22.4145. 0591工 1 2,4129. 31562,493424 1, 20, 25L 50, 495, 9, 11. 37& 159,1见4912、492, 16, 1L 15. 048.494r 4953,4953 E461234 s689101112131415_ 2_ 22_2_ 2_24222 一 ，2,491,591691191201,20,2556, 7482533673456等等这就表明，它是一张勾股数表。英国著名数学家齐曼（C. Zeeman, 1925）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般公式2222a P q,b2pq,cp qb

7、2那么，满足q 60 , 30 A 45且cot2 A by （A是勾a所对的角）为有限小数的勾股 a数只有16组。而Plimpton 322号泥版给出了其中的15组！其水平之高，令人惊叹不已。6古巴比伦时期的泥版上记载了如下问题：“十兄弟分银123迈纳，每个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，已知老八分得6斤（1迈纳=60斤）。问：各兄弟比相邻的弟弟多得几何”泥版上给出的解法是：“取十兄弟所得平均数10斤，倍之，得 20斤；减去老八所得的两倍即12斤，得8斤。于是，公差为8/5斤。”用我们今天的代数符号来表达这一解法，并写出 一般公式。Lecture 4古代数学（III）中国14用出入相补原理证明勾

8、股定理。16日高公式:根据上面的原理我们可得：（其中d为两个杆子的距离）(II -s ) = ad H = a +-G 一 $119试述刘徽和祖咂的球体积工作。 93 为了证明公式丫球=一 D3不正确，刘徽在立方体内作两个相互垂直的内切16圆柱，并把公共部分立体称作“ 牟合方盖”。如下图两个圆柱面的公共部分（ 牟合方盖）/好把半径为飞 的球体包含在内。刘徽想若用一个与底面平行的平面去截它汩，那么球的截面肯定是圆，而牟合方盖的截面刚好是 正方正方形与其4：圆的面积之比都是:由“截面原理”可得:丫球=一 V牟合方盖4于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体积。刘徽：提出从立方体割出 牟合方盖

9、之后所余的“外棋”着手。但是外棋的复杂难倒了刘徽。考察如祖的I:对边长为D的正方体及其内 牟合方盖 的八分之一进行这两个立体的体积就相等。13V外棋=V阳马=-R 313.V内棋=2 R3 V人生=8V内根=2 D3 v内棋 3 r v合盖 ov内棋 3 lj在直角三角形中，勾、股、弦分别为a、试用中国古代的方法来证明下面一组公式：b、c,已知勾弦差（c-a）和股弦差（c-b）a v 2 c a c b c b ,b 2 c a c b c a ,c 2c a c b c a cc-bb则有:2I II III a b c 2 c a c babc ,2cacbb)(c b)(c3cmam%K

10、(c aS = lim S2n - ini trctnR = CRi内接正多边形边长递推公式:徽、二二：嘿（平方寸）157=JT 十50平方寸）$ 二 $以$因-$）+（ 了湖-8|弘）+ （舟蚪-邑就什 二% 一（一-% 1 + （5阅一，姐）+不（即3 一,% ） 一392 1250= 3.1416Lecture 5古希腊数学5世纪）的割圆曲线，并用利用它来三等分角。21 描述希皮亚斯（Hippias,公元前AHM GD17.用欧几里得的方法证明勾股定理。ABF ADC正方形CF 2 ABF矩形AL 2 ADC正方形CF 矩形AL正方形CK 矩形BL正方形CF 正方形CK 正方形AE得证3

11、答：假设素数个数有限，则必有一个最大的设最大的素数是P令n=2*3*5*7*P+1,即把所有的素数相乘并加上1,显然n>P若因为P是最大素数，所以 n是合数，则n能被2, 3, ；P中至少一个素数整除，但用这些数去除n,都有余数1,即都不能整除战有两种可能欧（1）n是素数 （2）n是合数，但他只能被大于P的素数整除A种情况都和 P是最大素数矛盾。所以假设错误，所以素数是无限里得的方法证2尹如图所示，ADBC是球O被纸面所截得的大圆，AB和CD是其相互垂直的两条直径。” XVWY是球O的外切圆柱（以AB为轴）的相应截面。阿基米德通过力学万法发现：球。的体科等于直径为 CD且垂直于纸面的大圆

12、为底、以 B为顶点的圆锥 BCD的体积的4倍。试介 微基米德的方法。证明：如图，作辅助线，其中T为AC上任意一点用一个过T平行于圆柱底面的截面去截图形则有：MN PQ RS分别是圆柱 EG,球O和圆锥AEF的圆截面直径再延长CA至1J H s.t AH=AC ,则我们有：一一 2_ 2_2_2AH _ AC _ AC AC MT _ MTAT - AT - AC AT AP 2 AT 2+PT 2 - RT 2+PT 2_ MT 2圆柱EG的截面 （RT2+PT2） 圆锥AEF截面+球。截面AH （圆锥 AEF截面+球。截面）=AT圆柱EG的截面将CH看成以A为支点的杠杆，则由杠杆定律可得：重

13、心放在H处的（圆锥AEF截面+球O截面）关于支点 A与重心放在T处的圆柱EG截面相平衡 再由T的任意性可得，所有这样的截面都有此结果，因此将所有的力矩相加 彳导：重心放在H处的（圆锥 AEF+球O）关于支点A与放在原处不动的圆柱相平衡 又因为圆柱的重心在球心O,所以有下面的结果：AH （圆锥AEF+球O） =AO圆柱EG即：世-=圆柱EG，又AH 2AO,而圆柱EG 3圆锥AEFAO 圆锥AEF+球O.1 一球O 一圆铤AEF ,又圆铤AEF 8圆铤ABD2球 0=4 圆锥 ABD=4 1 R3= 4 R3,证毕33B8_cos/?20.利用托勒密定理推导和角正弦公式。ACBD = ADBC+

14、ABCD=> sin (cr + ) = sin tf cos /? + coscr sin /?22.证明海伦三角形面积公式。sCH2 :CHDC.CD DK= BDDC：OD'CH2 OD2 = CH HB BD DC=（月8cly = $（5,_.）（$, _匕）（3-）Lecture 6 中世纪数学23.叙述中国剩余定理。设仙.啊）二1（ I f < JY打）, W二帆叫心，则同余组x =号（mod叫）（f = L 2再）的解为盯 Kfx = V k.7J （mod 期）靠犯儿中ki满足总丝三1（mod叫）（I=L 2,，）.37 阿拉伯数学家阿尔卡克希（Al-Karkhi, 953-1029 ）是如何推导自然数三次哥和公式的如下图所示:7ff-1并213 23 33 L n3- n n 12®n 2(a1 a2 .am)2San)2sn2 as n3an 2sn悲 3S Sm)2sn波sn3sn1纳sns1 3n 13n 1ansnsn3n 1&n 2sn«3n每点n的一般41.在约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为 n ,并且从1号开始按顺时针方向点数, 为1 2,第2号被扔进大海。记最后剩下的一个人位于第 J(