调和级数发散性地多种证明

1、实用标准文档调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘 要：本文给出了调和级数发散性的 18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者 进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后 5种是笔者用有关定理 或方法导出的。关键词：调和级数发散性部分和收敛Proofs of the divergency of harmonic seriesName: Fan LuchanDirector: Wang YingqianAbstract : Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in

2、 this paper.Some are known and some are new.Key words:harmonic series; divergency; partial sum; convergency引言、，-1，一、一，一一，调和级数一的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆(1323 1382 )n 1 n在极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单：1 1111111L2 3 4567811111111()()L2 24 48 8 8 8注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面级数的括号中的数值和都为1 ,这样的1有无穷多个，所以后一个级

3、数是趋向无22穷大的，进而调和级数也是发散的。后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。 他的证明是以莱布尼茨的收.1111敛级数1 1 L -1 L 1为基础的。以下是他的证明。2 6 12 n(n 1)文案大全n(n 1) n n1111111L26231234所以11111, Sn 1L2 2 3 3 4s lim sn lim(1 1n n 1 n 1接着设a1234,ALn(n 1)261220n(n 1)1111, C L2 6 12 20D 1 L6 12 201 * 1 1 LEL12 20 30111F - L20 30 42111 IGL30 42 56n(n 1)n(n

4、 1)n(n 1)n(n 1)2 6 12 20 30A A 1.1120 5 ；没有一个有限数会大于等于自己，即 A是无穷大，所以调和级数发散.由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。他用简明的 A A 1来证明级数的无穷性，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级 数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列 敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数

5、敛散性 的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和 研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料， 笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔 者用有关定理或方法导出的。1证法一：利用反证法.假设调和级数 1收敛，记其和为S,即S= -, n 1 nn 1 n由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知:S= =1 +n 1 n，-1 L2n 1 2n=(1+ 2)(1+-2)1212(11 1(1 1)L3 41 1(； 4)l1 L 12 n1

6、1,()L2n 1 2n11()L2n 2nL)1 一一 一一 从而 01矛盾，所以调和级数必发散.22证法二:1证明调和级数 1的部分和可任意大.n 1 n，二 1，十一依次将 -九项，九十项，九百项,n 1 nL括在一起得(129）1 12 (1101L31111 L nL )99（高999) LL )11Q 4402 4 4 4011004 402 4 4 400(11004 41400 4 4 41400910910990100910900W00 旦L 1090900从上式中可以看出1一的和可任意大，故级数n 1 n1 一发散. n 1 n3证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列 s.

7、发散. 1 1.1事实上，存在0 ”任息自然数3l I总能找到两个自然数m0，n02m0 ，当然也有2m。，使得1| S2mo Sm0 |mb1m0L , 2m0据柯西收敛准则的否定叙述,12mO12m02m04证法四：证明部分和数列S2m111111-()(-23456Sn发散,从而1一发散.n 1 nSn的子列S2m发散.L2m1 1 2m 1 2九）于是故数列Sn5证法五:12 (2 m 万2 142m发散,limmsomlim(12 mlimms2从而调和级数利用欧拉常数证明2)14一发目攵.n 1 n证明数列an存在极限C （欧拉常数）an-inn n3L因为所以从而有ln n =C

8、+n,其中n1 ln(1 -)n时）ln(n 1) In nln2 ln1ln3ln2- 2ln(n1)In n上述n个不等式两边相加得ln(n 1)于是an 11即an有下界.其次应用不等式ln(1ln(n1) n1)anan 11肃 in(n 1)In n1 ln(1 -) n故an有是一个单调下降的数列，因此liman存在，用C表示，即 n111八lim(1L ln n) C.n 2 3 n111-也就是1 2 3 L n 1 C n m n 。).显然lim sn 1im(1n n C n).nn-1“故调和级数-发散.n 1 n6证法六：应用级数an （其中a1a2 Ln 1anL

9、0)与级数2na2nn 1有相同的收敛性.111an n(n 1,2,L)51 2 3 L0.而级数 2na2n 2ng1T 1 发散. n 1n 12 n 1 1故调和级数一发散. n 1 n7证法七：利用广义积分法.对于部分和数列Sn :Snn 1 1dx1 x因此n 1 1dx1 x1n(n 1),lim1n( n 1)lim Sn n 1故调和级数一发散.n 1 n8证法八：证明由调和级数中分母末位含有 0的项组成的子级数发散.调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数是1 un n 1101 L 20匚L10000 10010100 110L 1000001000 1010在此级数中，

10、分母从10到100的项共有10项，其和大于10;100 10分母从110到1000的项共有90项，其和大于-90- 上；1000 100分母从1010到10000的项共有900项，具和大于-900- -;10000 100分母从10n 10到10n1的项共有9 10n1项，具和大于9 10n 110n 19 一； 100从而1 un n 11091002L 1009100显然 Un发散，于是调和级数 n 11“一发目攵.n且an 1an，niman 0,|an 1 an 2La2n 1a2n I an 1 an 2由已知an 1 an(n 1,2,3,L9证法九：利用命题”设正项级数 an收敛

11、, n 1则有 lim nan 0” n以下是这个命题的证明:因正项级数 an收敛，则对于任意给定的0,总存在自然数an 1an 2 La2n 1a2n (n1,2,3,L ),n 1得na2 n2 , 2na2n,故有lim2 na2n 0. n又a2ni 1a2n ,故有(2n 1)a2n 1(2n2n 11)a2n 2ng甲2n2n得0 lim(2 n 1)a2n n2n 11 lim 2ngga2n n2n故有lim(2 n惆10.0.n所以无论n为奇数或偶数时，下式成立lim nan n0.即通项下降趋于零的正项级数收敛的一个必要条件证毕。运用该定理可得lim nan n1 ngn故

12、调和级数n1一发散.1 n10证法十:利用不等式ln(1x).Sn13lln(1 1) ln(13 1n2 1n- L23 4 ,1n(2用/ln nn n1 ln(1 -) n1ln(1 n)(n ),故调和级数发散.11证法十一：利用平均值不等式.1a1 a2 L an (a1ga2ga3L an)n.n1启21;13 n1 2,a3L 1 n3,L an1 1(1g2即nn/n,1当n ,左边为 一,n 1 n右边为limnVn一 1 .故-发放.n 1 n12证法十二：利用不等式133，、一 一-(n 2,n)来证明.n首先证明上述不等式成立因为所以所以(7n1) n1n 1(1 n(

13、n 1)n1(n 1)n(n2n1)n(n1)3(n n1 32,n2 3 4 311131；619L4110 L12，13；3 4 5 6 7111112 3 4 5 6e 3 4）屋;）L是无穷数.、，一 1，W所以调和级数-发散.n 1 n13证法十三：任意名&定M 0,总可以找到一有理数 p M ,而任何正有 q理数可写成互异的形如 的数有限和（见文献9）,其中m为自然数，上为互异 mq的形如工的数有限和，假定最大的分母为 N ,则有Sn p M,当n N时，具 mq-1“有Sn M ,也就是lim Sn,所以调和级数一发目攵.nn 1 n以下是由作者用有关定理或方法独立导出的证法14

14、证法十四：利用拉阿伯判别法：若 Un是正项级数， n 1n N,有味1) r 1( n(-un- 1)U n 11）,则级数 Un收敛（发n 1散）1在调和级数-中，n ，均有 n 1 n1(n-un- 1) n(+ 1) n(心 1) 1 ,Un 1nn 1、，一 1 ，w 所以调和级数一发散.n 1 n15证法十五：应用厄耳王可夫判别法：若f（x）为单调减少的正值函数，且xif1时,级数 f(n)收敛；当 1时, n 1级数 f(n)发散.令 f(x)工，则 xlimxexf(ex)f(x)limT故级数n 1f (n)发散.证法十六:应用高斯判别法:在级数an 中，若 an0(n 1,2

15、,3,L )及n 1anan 1(| n| C, 0),则(1)当1时，级数收敛；1时级数发散;当1时，若 1则级数收敛，若1则级数发散.在调和级数1一中, n 1 nanan 11n n 11 nn 1据高斯判别法知，调和级数1一发散.1 n17证法十七：设an 0,Sna1a2 Lan,级数an，则曳发散.n 1n 1 Sn以下是这个命题的证明:因为 an0,Sn单调增加，所以因为sn从而所以n pn pakak k n 1k n 1 sksn psn psnsi psnsn pn p akk n 1 sk充分大时,包发散.snsn snan1,n 1,2,L ,sn所以an =1 sn1

16、,-发散.1 n18证法十八:1尸n的发散性.记 an 3-, n为研究级数 an的敛散性,n 1我们引进集合A n | ln n kk (1,2,L).那么集合入内的元素n具有性质ln n k 1kk或写成e n ege其个数Pk (e 1)ek ,将Ak内的元素从小到大排列，可记为njk 1,L,nk pk 1现考虑UknanAk(1严n A n1)kn1 k一(1) vk , Akn其中1 vkn a- nPk 11nk vPk 1kv 0 egePk1k-kk (e 1)eege ege11 k e 1-kg：(e 1)ge ege 22e卜面证明级数an是发散的，采用反证法，假设an

17、收敛，则由柯西收敛准n 1则，对于任给的0,存在N。，使得当n No时，对于一切自然数P,均有| an an 1 Lan p |e 1今取 0 ,对于有此 所找到的No ,在n No中选一个数nk,此处k4e是适当大的一个自然数，有nk Ak ,即kkenk ege .又取自然数p Pk 1 ,则此时应有| aa ank 1 L ank Pk 1 |( 1 )但另一方面却有e 1I ank ank 1 L ank Pk 1 | | uk | vk2(2)2e(1)式与(2)式矛盾，因而级数an发散.n 1利用这个结论我们可以证明调和级数发散。In n由于(一 的部分和大于-的部分和, nn(1

18、)lnn 414所以由(1发散知 1发散.n 1 nn 1 n结束语 的发散性证明精彩纷呈。本文在综合已有证明方法的同时，再给出了笔者自己用 有关定理或方法导出的另外几种证明，具有一定的创新意义。调和级数作为去判别另外一个级数的发散的一把“尺子”起到了重要作用，它参考文献1朱永生，龚晓.欧拉常数的性质及在解题中的应用J.高师理科学刊，2005 ( 08):15-173.2王连昌，王锐.P级数敛散性的一个新证法J.第四军医大学学报，2005 (12):86-86.3夏晓峰.调和级数发散性的几种证明J.本溪冶金高等专科学校院报，2000 ( 12):44-45.4韩宗霖.不完整调和级数的敛散性J.唐山师范学院院报，2005 (9):24-25.5杨翰深，夏代月.调和级数和P级数敛散性的一次简单证法J.数学的实践与认识，2000 (7): 342-344.6王连昌，王锐.P级数敛散性的一个新证法J.第四军医大学学报，2005 (12):86-86.7于文凯.调和级数1发散性证明及讨论J.天津轻工业学院院报，1996 (1 ):91-92.n 1 n8张永利.对调和级数性态的研究J.高等数学研究，2005 (8): 16-17.9姜洪文对于调和级数1的分析J.沈阳师范学院院报，2002 (7): 170-172.n 1 n10张军学