概率与数理统计第7章参数估计习题及答案

1、、填空题1、设总体X服从二项分布计量?2、总体X B(1,p)本,3、第7章参数估计B(N,p)p的矩估计为_nXi1点估计,0 P 1, X，X2 Xn是其一个样本,未知参数 0 p 1 , X1,X2L ,Xnn似然函数为_ pXi(1i 1那么矩估是X的样1 Xip) iXi,X2,L ,Xn 是来自总体X N(2)的样本，则有关于的似然函数L(Xi, X2L,Xn；,n2) _121 彳%)e、计算题1、设总体X具有分布密度f(x;(1)X ,0 X 1,其中1是未知参数,X1, X2,Xn为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计1解：因 E(X)oX(a 1)XadXa 1 a 1

2、 a(a 1)X dx Xa 22|0A- O 1令 E(X) X? 22X 1二为的矩估计1 X因似然函数L(x1,x2,LXn；1)n (X1X2L Xn)In L n ln(5 1)ln Xi ,由ln Lln Xi0得,的极大似量估计量为(1n-7)lnXii 12、设总体X服从指数分布f (X)0,x 0甘心，X1,X2, 其他Xn是来自X的样本，(1)求未知参数 的矩估计；(2)求的极大似然估计、一 _1解：（1）由于E（X）=,故的矩估计为X(2)似然函数 L(x1,x2,L ,xn)nxi i 1ln L nlnd ln Ldxi 0nnxi 1故的极大似然估计仍为3、设总体X

3、 N 0,Xi,X2,L,Xn为取自2X的一组简单随机样本，求的极大似然估计;解(1)似然函数,2x2Len x2n r 2T22 e i12于是ln Ln-ln22nIn 2d ln Ld 2人 d ln LV d 20,得2的极大似然估计:Xi2.4、设总体X服从泊松分布P(未知参数的矩估计；（2）解：（1）令 E（X）（2）似然函数L(X1,X2,L），X1,X2,L ,Xn为取自X的一组简单随机样本，（1）求的极大似然估计.的矩估计。,Xn)nxi 1nen为！i 1ln Ld ln Lxi ln1nxi 1故的极大似然估计仍为 X。、填空题设Xi,X2,X3是取自总体X的个样本，则下

4、面.1 一一 3 一一 1_1 _1 X1 X2 X3，u?2X151023“需.13X3、.11 X 2 X 3都是总体412均值的无偏估计,2 最有效.2、设 Xi,X2,Xn是取自总体N (0,2)的样本，则可以作为2的无偏估计量是(A ).X2X：i 1、计算题1、设 Xi,X2,X n为从一总体中抽出的一组样本,总体均值-1 1已知，用n 1去估计总体方差2,它是否是 2的无偏估计，应如何修改,才能成为无偏估计Xin 2(Xi)i 1解：因E1 n01(Xi但1n in(Xi12、设 Xi,X2,偏估计, 解：nEC求常数1(Xi 11、选择题2(Xi )2不是)22的无偏估计)2是

5、2的无偏估计Xn是来自总体N(,2)的一个样本，若使12 .2 (Xi 1 Xi)为 的无1C的值。n2_Xi) CnCnC1E(Xi 1 1 _ 2EXi 111212(n 1)C 22Xi)EXi22EXi iEXi2 2 2第七章参数估计区间估计(2)2未知，则的置信区间为1、设总体X N( , 2), 2未知，设总体均值的置信度1的置信区间长度l ,那么l与a的关系为(A ).A a增大，l减小B、a增大，l增大C a增大，l不变dk a与l关系不确定2、设总体XN( , 2),且 2已知，现在以置信度1 估计总体均值，下列做法中一定能使估计更精确的是(C ).A、提高置信度1,增加样

6、本容量日提高置信度1,减少样本容量C降低置信度1,增加样本容量D降低置信度1,减少样本容量二、计算题1、设总体X N( ,0.92),当样本容量n 9时，测得X 5,求未知参数的置信度为的置信区间.解:的置信区间为(X Z =,X Z r)2. n2、n0.05 n 90.9 X 5Z吧 1.96-2-的置信区间为(4.412,5.588)。22、设总体XN(,，已知o,要使总体均值的置信水平为1不大于L ,问需要抽取多大容量的样本。的置信区间的长度解： 的置信区间为(X Z_220 ,X Z_ 0 )nn 2 ，n4Z22Z2、X N(,)，现2L23、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生

7、产实践中得知钢球直径从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm的： 置信度10.95(即0.05)(1)若2 0.06,求的置信区间若2未知，求 的置信区间(3)求方差 2 ,均方差的置信区间.解：(1)2已知，则 的置信区间为(X Z -X,x Z /)，2 n2 . nn 5,0.05, Z_ 1.962查表得t0.05-22.5706,代入得_22(n 1)22的置信区间(4一)一2(n 1)2(n0.05, n 5 代入得S 77 (X t -= , X2 . n的置信区间为1)S212 (n 1)2t2，n 5,0.05(14.71,15.19)2 .的置信区间为：(0.0

8、199,0.3069)。均方差的置信区间为(J0.0199, J0.3069) (0.1411,0.2627)4、设从正态总体 X中采用了 n = 31个相互独立的观察值，算得样本均值X 58.61 及样本方差22S(5.8),求总体X的均值和方差的90%勺置信区间解:0.9- 0.05,1 220.95,n31,s 5.8,b巧已。)1.69735、的90%勺置信区间为：(Xt (n 12(56.84, 60.38)20.05(30)43.772.95 (30)18.4922的(1-a) %勺置信区间为：(n 1)s2 (n 1) s2 2,22(n 1)1(n 1)30 33.64即 43

9、.77230 33.818.4923.154.62的90%的置信区间为：，寿命X服从正态分N(2),2未知，现5个灯进行寿命测试(单1000小时),得：的90%勺置信区间.解:一 Xi 5 i 121 5 211.6,S2 (Xix)2 0.9954 i 110.9 - 0.05,1 0.95,n 1 422x2.05(4) 9.488, x295(4)0.7114 0.9954 0.9959.4880.711 0.419, 5.5982及 的90%的置信区间为，及(0.419, 5.598) (0.647,2.366)6、正态总体N(12) , N(22)的参数均未知，依次取容量为n 1=10 , n2=11独立样本，测得样本均值分别为Xi1.2, X22.8 ,样本方差分别为S20.34,S； 0.29,求二总体均值差12的90%勺置信区间。(2)求二总体方差比 90%勺置信区间。解：10.9, 20.05,n1 1 9,n2 1 100.290.3137, t0.05(19) 1.729,3.0212的90%勺置信区间为(1.2 2.8 1.729 0.3137110111,1.22.8 1.729