浅谈数学怪物——分形

1、浅谈数学怪物分形1 分形理论的产生分形( Fractal )理论是当今世界的新理论、新学科，其概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的 . 大自然中物体和现象的几何形状普遍具有复杂的不规则性, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力 , 分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何无法描述的几何现象和物体的 , 它的产生使自然景物的描绘成为可能, 这也是分形几何得到高度重视的原因之一. 在分形理论真正发展起来的这十几年来, 其研究倍受重视, 分形的理论意义及实用价值深深吸引着人们寻求新规律、新特征存在的可能性 .2 分形理论的发展分形理论的发展可以分为三个阶段1(P114-115)

2、：第一个阶段是从1827 年到 1925 年 , 在此期间 , 数学家们构造并且研究了很多奇遇或病态的集合及其图象 , 还试图对这类集合与经典集合的差别进行了详细分析.1827 年, 维尔斯特拉斯证明的一种在任意一点都不具有有限或无限的导数的连续函数曾引起了极大的震动 , 虽然人们认为此函数是极为“病态” 的， 但人们还是从不同方面推广了它 , 并且还对这类函数的奇异性质作了深入的研究.1904年， 瑞典的数学家科赫通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处处不可微的连续曲线 , 并且还对该曲线的性质加于研究, 该曲线改变了连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法, 这是第一个认为构造的具有局部

3、与整体相似结构的曲线 .1883 年, 德国数学家康托尔构造了一类不连通的紧集s , s 被称为康托尔三分集. 在当时 , 它被认为在传统的研究中是可以忽略的 , 但现在它在非线性研究中却占有重要的意义.1890 年, 意大利数学家皮亚诺构造了能够通过某个正方形内所有点的曲线 , 这种奇怪的曲线曾使人们对以往的长度与面积等概念重新进行认识 , 并使数学界大吃一惊. 在此基础上， 1901 年, 闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919 年, 豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数 . 总之 , 在此阶段 , 人们已经提出了典型的“分形”对象和相关问题 , 并为研究此类问题提供了最基本的数学工

4、具 .第二阶段大致是从1926 年到 1975 年 , 在此阶段 , 人们对分形的性质作了深入研究, 特别是对维数理论的研究已获得了丰富的成果. 这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究, 不仅逐渐使其形成了理论 , 而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中 . 庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数 , 分形集的局部性质, 分形集的结构以及其在数论、 调和分析、 几何测度论中的应用 , 这些都极大地丰富了分形几何理论 . 列维在这一阶段的工作极为重要, 首先 , 他第一个系统地研究了自相似集，现在研究的许多自相似性都可以追溯到他的工作中；其次，他建立了分数布朗运动的理论，成为随机分形

5、理论系统研究的重要先驱者之一.在这一阶段，绝大部分从事这一领域工作的人还局限于纯的数学理论的研究，而未与其他学科发生联系.在物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与 分形有关的问题的形势下，这就迫切需要新的思想与有力的工具来处理.曼德布罗特以才eM寺的思想，研究了海岸线的结构、具有强噪音干扰的电子通讯、月球的表面、地貌几何性质等典型的自然界的 分形现象，并取得了一系列令人瞩目的结果.第三阶段是从1976年至今，这是使分形在各个领域的应用取得全面发展，并使之形成独立学科的阶段.3分形的特征及有关概念3.1 分形的特征通常人们认为分形具有以下几个特征1（P116）:具有精细的结构，也就是说在

6、任意小的尺度下 ，它总是有复杂的结构；具有不规则性，它的整体与局部不能用传统的几何语言来描述；具有自相似形式，这种自相似可以是近似的或统计意义的；一般地，分形图形在某种意义下的维数大于它的拓扑维数；在大多数情况下，分形图形可以用非常简单的方法产生 .3.2 有关概念概念一分形曼德勃罗最先提出的分形2 （Fractal ）具有不规则、支离破碎等意义.他曾经为分形下过两个定义1（P116） ： （1）满足下式条件Dim A dim A的集合A,称为分形集.其中，Dim A为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim A为其拓扑维数.一般说来，Dim A不是整数，而是分数.（2）部 分与整体以

7、某种形式相似的形，称为分形.然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容.实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义.但是自然界中有很多分形的例子，例如：羊齿植物、菜花以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体 非常相似.大自然中的山、树、云、海岸线也都可以看成是分形.下面给出大家两个分形图形：左图是一棵厥类植物，仔细观察，我们就会发现是在尺寸上小了一些，而枝杈的枝杈也和整体相同C-VX-J，它的每一个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅,只是变得更加小了一些.右图是数学家们构造的Kohn （克赫）曲线概念二维数?这是由于它的维数不是人们通常用的整数

8、而是分数.长期以来为什么说分形是数学中的怪物呢在欧氏空间中，人们习惯于将点定义为零维，直线定义为一维，平面定义为二维，空间定义为三维，爱因斯坦在相对论中引入时间维，就形成四维时空.但通常人们习惯于整数的维数.分形理论把维数视为分数为了定量地描述客观事物的“非规则”程度 1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限.分形维数，作为分形的定量表征和基本参数，是描述分形的重要参数，能够反映分形的基本特征，但由于侧重面不同，有多种定义和计算方法.常见的有以下几种3(P44-46):相似维数Ds我们画一个边长都是1的线段、正方形和立方体.将它

9、们的边长二等分，此时，原图1的线段长均缩小为原来的,，而将原图等分为若干个相似的图形.其线段、正方形、立方体分别被等2分为21、22和23个相似的子图形,其中的指数1、2、3 ,正好等于与图形相应的经验维数.一般说来,如果某图形是由把原图缩小为2的相似的b个图形所组成，有：aDs b, Ds 贴 的关系成立，则指aln a数Ds称为相似性维数，Ds可以是整数，也可以是分数.容量维数Dc容量维数是利用相同大小形状的小球或立方体包覆几何对象而定义的维数，由著名苏联数学家科尔莫哥诺夫提出的 .设一几何对象s,若用直径为 的小球为标准去覆盖 s,所需的 小球的最小数量为 N ，则s的容量维数为：Dcl

10、im0ln N()ln(1)9豪斯道夫(Hausdorff) 维数DH 设一个整体s划分为N个大小和形态完全相同的小图形，每一个小图形的线度是原图形的r倍,则豪斯道夫维数为：Dhln N rln、一，1计盒维数Db 将用边长为一的封闭正万盒子覆盖 s ,若s中包含的小万盒数量 M n ,则计 2盒维数为：limnln M nn ln 2除上述定义的几种分形维数外 ，还有信息维数、谱维数、模糊维数、拓扑维数、广义维数、微分维数、分配维数、质量维数、填充维数等4分形理论的应用分形的应用很广，在各个方面都有其应用，如在数学、物理学、化学、生物科学、地质科学等各 个领域都已得到了极为广泛的应用.4.1

11、 在数学中的应用例14(P9)计算Koch曲线的相似维数：,in 4则分别有：1 Dsln42in 3in 8in 233Ds2-in 4in 22Dsin18in 6Dsin 7in 4例2计算Koch曲线的容量维数:根据Koch曲线的构造过程，如右图：第一次线段长度11,只要四段即可覆盖住点集，所以31N 14,第二次线段长度2，用十六段才91n可覆盖住点集，第n次，n N n 4n，因 n n , n, 113此Dc ciimnin 4nin 3nn in 4in 4iim nn in 3in 3睛抬8 第出 第然S 一一一第 1 段 - 一- ,-一第;州 一 12 1在剩下的四段 0

12、,1 , 2,199 3例3 Cantor集4(P2),如右图:取单位长线段0,1，三等分然后舍弃中间一段1 2121,2，再将剩下两段0,1,-,1分别3 333三等分并舍弃中间的l,2和7,-两段,9 99 9-,7 , 8,1中用同样的办法，每一段都三等分去掉中间一段 ，如此3 99继续下去直到无穷，最后所得到的点集就称为Cantor三分集，或简称Cantor集ln 2在实变函数中介绍它的Hausdorff维数是DH.现在我们来计算一下它的容量维数 ：根据ln 31 构造过程，第一次线段长度1,只要两段即可覆盖住点集，所以N 12 ,第二次线长度3n 2n，因此1 e，、,2 二，用四段

13、可覆盖住点集，第n次,32De limcnnln 2. _ nln 3limnnln 2 ln 2nln 3 ln 3由它的构造过程我们还可以把它每一步的相似维数求出来，第一步是把原图缩小为 1的相似的2个3图形，所以Ds加工，第n步是把原图缩小为ln 31 ,丁的相似的2n个图形，所以3nnln 2Ds ln 3nnln 2In 2nln 3ln 3经计算每步的相似维数得出它们都相等并且都是ln 2ln3猜想：相似维数用于按一定规律进行有限次的改变而形成的分形中,而容量维数则是用于按一定规律进行无限可列次的改变而形成的分形中，它通常以极限的形式出现.如对同一个图按同一个规律改变，那么每次改变

14、后所得到的分形图形的相似维数与无限可列次的改变后所得到的分形图形的容量维数是相等的.分形将作为一门课程进入高中.其实不知不觉分形几何已进入了我们的考试中例45(P44)在2002年全国 高中数学联 赛试题 中就 有这样一道 题：如下图：有一列曲线Po,Pi,P2,，已知Po所围成的图形是面积为1的等边三角形,P(k1)是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉k 1,2,3,.记Sn为曲线Pn所围成图形的面积.(1)求数列Sn的通项公式；(2)求lim Sn .n这是一道以分形几何为背景的试题，主要考查的是与数列相关的基础

15、知识，同时考查阅读理解能.随着考试改革的深化，在试题力，立意新，落点实，体现了研究性学习的深入和数形结合思想的应用 设计上，更加注重能力立意，强调对学生思维品质、 创新能力和学习潜能的考查.而以分形几何为背景 的试题，新颖鲜活而有创意，富有时代气息，恰好体现了这方面的要求，因此备受青睐，使“怪物”焕发出亮丽的风采. 同时 , 也让学生感受到分形几何无穷的美学魅力 , 激发学生对这门新兴学科的学习兴 趣.4.2 在物理学中的应用分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力 , 因而分形在物理学中得到了广泛的应用 , 其中比较成功的应用包括以下方面. 在分形凝聚6(P81-82) 方面 , 人们提出的

16、具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA)模型和动力学集团凝聚(KCA)模型；在固体物理方面，用于准晶态的扩散，薄膜的研究，如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样; 分形理论已用于纳米半导体薄膜、 超导薄膜、 各种薄膜生长和超薄金属膜生长的研究之中 . 用于湍流的研究, 分子光谱 ( 分子线谱和分子能量状态具有分形结构), 电磁散射 ( 由于粗糙分形表面引起的 ), 材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律 , 材料力学行为和材料弹塑性断裂研究; 在粒子物理中的应用 , 高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形

17、结构分形理论用于解释碰撞的机制 , 为粒子物理打开一个新的领域; 在流体粘性指进现象中的应用 , 粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时, 在其界面形成的具有分形结构的奇特形状, 该形状与受限扩散凝聚 (DLA) 模型相似 ; 在放电式样研究中的应用、相变分析 . 超微粒及其聚集体, 及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征. 有人对超导现象研究后发现, 材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关. 分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域 .4.3 在化学中的应用 7(P207)分形理论在化学中也有

18、很广泛的应用 , 如 : 在多相催化体系中的应用 , 催化剂颗粒是一个分形体 ,不仅疏松的衬底和分布在其上作为催化物质的颗粒表面可以用分维表征, 而且起主要催化作用的颗粒的亚微观结构也具有分形特征. 研究表明 , 在分形介质中进行分散和反应都与表面分维数有关. 此外 , 分形理论还在生物催化方面有应用 . 在宏观化学动力学方面, 远离平衡态的化学过程往往产生具有分数维的表面结构. 在颜料表面改性方面的应用 , 颜料粒子的表面形貌是一个影响颜料性能的很重要的因素 , 研究结果表明 , 表面分形维数、粒子表面形貌与颜料某些性能之间确实存在很好的对应关系. 目前 , 分数维方法在化学中各个领域的应用也正在开展之中 .例如 : 沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面. 此外 , 薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚