函数的可导性与连续性的关系教案汇总

1、函数的可导性与连续性的关系教案教学目的1 .使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件.2 .使学生了解左导数和右导数的概念.教学重点和难点掌握函数的可导性与连续性的关系.教学过程一、复习提问1 .导数的定义是什么？当xf。时，了三有极限，我们说函数y = f（对在点犯处可导，这一极限值就 叫做艇）在洵处的导数,记作强调y=f（x）在点曲处可导包含以下三个要点.（1）y=F在点句处及其附近有意义:左极限lim -及右极限lim 都存在；（31 lim = lim ,即左右极 amt（T AxWtO* Aviit+Q- Ak ahtQ+ Ak限相等.这三个条件中瞅一条件，函数在该点就

2、不可导.2 .函数在点xo处连续的定义是什么?如果函数年量）在点町的某一领域内有定义，而且lim f（x）=电J就说函数3）在 点而处连续.在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f（x）在点x=xo处连续必须具备以F三个条件:(1)函数f(x)在点而的某一领域内有定义;hm f(x)存在；3 3) lim f(x) = f(E .3.设町是函数y =附定义域内的一点，则函数尸取)在点父。处连续的充要条 件是 lim 0.Axt(J证明 充分性土即由己知lim ? = ()推证lim f(x) =f(x0) iKT。XTMqIkn f(x) = limAy + f(xc)= lim Ay +

3、f(x ) =f(x0)tKTK0i0X-*OiiXT。 f(x)在点X0处连续.必要性：即己知hm F(x) = F(丽)推证lim 尸0. X-HCq心it。lim Ay= limf(x)-f(x0) =lim f(x0) = f(x0)= 0酰T。X-*X(JXICq综合(1)(2)原命题得证.在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题.先由学生回答函数的可导性与连续性的关系.二、新课1.如果函数f(x)在点X0处可导，那么f(x)在点X0处连续.分析：即由己知y|=lim竺=hm 阵土学二 二(右)是一个常数，要证-双 iXT。lim f(x)=f(x0).A嚣0证明f(x0 +ix)

4、-f(x0)出a亚二 FR。)A limf(x0 +Ax)-f(x0)班tOhni臣QMf炽口 +词一寅曲) limiCKT。Axlim Ax = f f(s0) * 0 = 0AXT D由复习提问(3)可知limf(x0+Ax) = f(x0),既吃=的),：f(x)在点Xo处连续.提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点X0处一定可导吗？为什么？若 不可导，举例说明.如果函数f(x)在点X0处连续，那么f(x)在该点不一定可导.例如：函数y=|x|在点x=0处连续，但在点x=0处不可导.从图2 3看出，曲线y = f(x)在点0(0, 0)处没有切线.证明：(1) ; Ay=

5、f(0 + Ax)-f(0)=|0+ Ax|-|0|=|Ax|,lim Ay = litn|Ax|= 0.:函数y=|x|在点x0处是连续的.当()时 yx1笈1笈Ay=1* 即 11 m -=1;当x0- mAk/ 号叫做F(x)在点町处的右导数.(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限 存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明).(3)函数在一个闭区间上可导的定义.如果函数y=f(x)在开区间(a, b)内可导，在左端点x=a处存在右导数，在右端点x=b处存在左导数，我们就说函数 f(x)在闭区间a, b上可导.三、小结1 .函数f(x)在xo处有定义是

6、f(x)在xo处连续的必要而不充分条件.2 .函数f(x)在xo处连续是f(x)在xo处有极限的充分而不必要条件.3 .函数f(x)在xo处连续是f(x)在xo处可导的必要而不充分的条件.四、布置作业L先从函数的图象观察，然后根据定义判断函数y = 4好在点k=O处是否连续， 在点笈二0处是否可导.2x (1)2.函数产烟二二 在X = 1处是否连续，是否可导.3 -X(K 1)作业解答的提示:1.显然y = VF在0处连续，但在x=0处lim 不存在,V（Ak）3，y=牙或在点工=0处不可导从图2 - 4可以看出，曲线y = 3反在-=0处有切线，但切线是蚌乱斜率不存在.图2-4图2-5二f. f(x)在点x= 1处连续.Ay 2(1 +Ax) - 2但 li