人教数学有关问题研讨

1、人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学五、六年级教材分析及疑难问题研讨芜湖市弋江北路小学 杨俊岭师大附小 严慧张李小学 张晓超整理2011年9月22日上午，由芜湖市教科所主办的“芜湖市小学数学学科五、六年级教材分析及疑难问题研讨会”在芜湖市镜湖小学召开。芜湖市弋江北路小学杨俊岭老师、师大附小严慧老师分别就人教版义务教育课程标准实验教科书六、五年级数学教材进行分析与疑难问题研讨。全市二百多名小学数学教师参会。研讨内容如下：一、六年级上册疑难解答1、“位置”单元的教学应注意什么问题？本套实验教材关于“位置与方向”的编排共有4次：一年级下册是认识上下、前后、左右，会在具体情境中按行、列确定物体的位

2、置；三年级下册是认识东、南、西、北、东南、东北、西南、西北8个方向，会看简单的路线图；四年级下册是根据方向和距离两个条件确定物体的位置，根据方向和距离描述简单的路线。本册教材则主要教学用数对表示具体情境中物体的位置，并能在方格纸上用数对确定点的位置。考虑到本册是小学阶段最后一次编排“位置与方向”内容，教学时应注意知识的综合整理，让学生对该内容形成较为完整和系统的认识。纵向来看，用数对确定物体的位置是一年级下册按行、列确定位置的一个深化，把第几行第几列的具体描述抽象成数对的形式，更为简洁明了；横向来看，则与四年级下册用方向和距离两个要素来确定位置是互为补充的两种方法，分别从不同角度出发来刻画物体

3、的位置关系。教学时可引导学生在综合、比照的基础上进行学习，从而全面掌握确定物体位置的方法。如练习一的第6题和第7题，就综合了以前学过的平移、方位、路线图等知识，可使学生在练习过程中加强对前后知识内在联系的认识和把握，同时进一步稳固了用数对确定位置的方法。2、分数乘法意义的有关问题。1分数乘法的意义要加强。掌握好分数乘法的意义，可为理解分数乘法的算理以及解决求一个数的几分之几的问题做好铺垫，故应加强对分数乘法意义的教学。教科书是把分数乘法的意义与算理结合在一起编排的，主要表达在例1和例3里。因为分数乘法的意义很重要，所以实际教学时可把意义和算理分开来讲，先把意义讲清楚，再结合意义来理解分数乘法的

4、算理，就显得很自然，学生理解和掌握算理也更容易可参见九义教材的做法。2根据算式说意义与根据意义列算式的问题。这是现在讨论得比较多的一个问题。因为不再区分因数的位置，所以根据算式说意义就应分情况讨论。对分数与整数相乘来说，如5，就有两层含义： (1)5个相加；(2)5的。对两个分数相乘来说，则是表示求一个数的几分之几，如 ，既可表示的，也可表示的。另一方面，根据意义列算式时，则可列出两个算式，但它们表示的意义都是特定的、唯一的。如根据5个相加列出乘法算式既可以是5，也可以是5，这两个算式在此处的意义是完全相同的，都表示5个相加，不能说是5的。3、教材为什么简化了分数乘法的说理及思考过程的表达,不

5、出结论性内容?主要是为了突出学生的自主探索与合作学习。4、分数除法那些部分内容作了适当精简或加强处理？精简部分：分数除法的计算不包括带分数，但注意在练习中适当穿插一些假分数；加强部分：专门设置了一道例题，以实际问题为载体，引出分数混合运算，增强学生的数学应用意识。5、计算分数和小数的四则混合运算时有哪些不同的优化处理策略？不同的题型，不同的数据，有着不同的处理策略。比方：只有乘除法时，小数可化为分数约分；分数多，通常把小数化为分数；小数多，通常把分数化为小数；在进行加减法计算的时候，一般把分数化为小数来进行计算(假设分数不能化为有限小数时，则小数化为分数来计算)。6、圆的教学应注意哪些问题？1

6、注意强调转化的方法。圆是一种曲线图形，与以前学过的直线图形有较大的不同，故学生在认识和研究圆的特征的过程中有一定的难度。教学时应注意引导学生合理运用转化的方法，如在探究怎样测量圆的周长时，即可采用滚一滚、绕一绕等方式，引导学生将曲线的长度转化为直线的长度来测量，从而表达“化曲为直”的方法；教学圆的面积时，则可引导学生回忆以前探究图形面积时常用的方法，从而通过分割、拼组的方法将圆的面积转化为学过的直线图形的面积，表达“化圆为方”的方法。2适当表达极限的思想。圆的面积计算方法的探究中，蕴涵了数学中的极限和逼近思想。教学时应注意引导学生认识到圆的面积与无穷正多边形面积的关系：随着圆的细分程度的加大，

7、可让学生发现把圆分割得愈小，其构成的长方形的长就愈趋近于圆周长的一半(r)，当无限分割下去时，其极限值就等于r了。 3渗透数学文化和爱国主义教育。教科书采用“你知道吗”这一专栏介绍了圆周率的史料，说明了我国古代人民在科学探索方面的杰出智慧。教学时可以此为契机，展开介绍有关圆的数学文化，如祖率、刘徽的“割圆术”、圆周率精度的历史演变等等，同时还可对学生进行爱国主义教育。7、如何处理利率的时间性问题？百分数在日常生活中有广泛的应用，为了表达这一点，教科书在百分数单元中安排了“利率”的内容，并选取了2004年10月中国人民银行公布的存款利率值作为计算利率的依据。由于利率是调节经济运行的重要杠杆之一，

8、国家会随时根据社会经济发展的状况而调整，有时一年中就会调整几次，比方最近的一次调整是在2007年3月18日。而教科书受客观条件的限制，不可能随时随国家利率的调整而修订。这样，就会出现教科书中的利率与现实生活中的利率不相符的情况。对于这个问题，我们是这样认为的：这部分内容的主要目的是让学生体会百分数在日常生活中有广泛的应用，只要学生能够理解利率的相关概念，并学会计算与利率有关的简单问题就可以了。至于利率的选取，老师既可用书上的，也可选用中国人民银行最新公布的。8、“扇形统计图”的编排方式和教学要求有何变化？1注重表达扇形统计图的特点。在小学阶段，学生先后学习了象形统计图、条形统计图、折线统计图和

9、扇形统计图，这4种统计图都可用来呈现相应的统计数据，具有直观、形象的特点，便于人们进行统计判断和决策。教学时应注意引导学生联系以前学过的3种统计图，在比照中突出扇形统计图的特点，即能够很好地反映部分与整体的关系。把握好这一点后，教师可安排一些综合性的统计活动，让学生体会不同类型统计图的特点和作用，学会根据给定的数据合理选择统计图。比方，以同学的身高为例，不同年级同学的平均身高宜选用条形统计图，同一个学生在不同年级时的身高宜选用折线统计图，同一年级的同学不同身高所占的比例则宜选用扇形统计图。2不要拔高要求。九义教材是把扇形统计图作为选学内容编排的，课标教材则是作为必学内容编排的，即该内容是要求学

10、生掌握的。但在教学过程中应注意不要拔高要求。课程标准对该内容的要求是：通过实例，认识扇形统计图。故教学时仅要求学生能认识扇形统计图的特征，能从给出的扇形统计图中提取相应的统计信息，作出简单的统计分析和判断即可，不要求学生绘制扇形统计图。二、六年级下册疑难解答1. 为什么将“负数”编排在六年级下册？“负数”以往均安排在中学进行教学。现在考虑到负数在生活中具有广泛的应用，学生在日常生活中已经接触到一些负数，例如，收入与支出、气温的零上和零下、海平面以上与海平面以下、相反方向的距离等，具备了初步认识负数的基础。因此，标准将其提前到第二学段开始教学。人教版小学数学课程标准实验教材将负数的认识编排在六年

11、级下册，主要基于以下两点考虑：第一，标准对第二学段负数的要求是“学生能够在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题”，不要求负数参与运算。将该内容编排在六年级下册，防止了引入负数后，在学习运算过程中可能会产生负数的情况。第二，有利于中小学数学的衔接，为学生进入初中后即将要学习的有理数的意义和运算奠定一定的基础，加强中小学数学教学内容的联系。2. 认识负数的教学中应注意的问题。(1)结合具体生活情境，加深对正负数的认识。“负数”概念对小学生来讲比较抽象，为了让学生能够更好地认识负数的意义。教学时，可以先结合具体生活情境，让学生充分体会到：负数的出现，是生活中表示两种相反

12、意义的量的需要。然后，运用大量实例，例如存入与支出、高于海平面与低于海平面等让学生直观形象地理解“正负数是表示相反意义的量”，加深学生对正负数的认识。(2)注意正确地理解正号和负号的含义。数学符号是一种高度抽象化、概括化和形式化的数学语言，而小学生由于仍处于具体形象的思维水平，在首次接触新的数学符号时往往不能很好地理解其实质，从而产生一些不正确的认识。例如，“正数前面的正号”“负数前面的负号”等不科学的表述。这就要求在本单元的教学中，老师应重视引导学生对“”、“”的分析，帮助学生透过形式，切实理解正号、负号的本质意义。3. 数的大小比较中，是否需要紧密联系具体情境进行比较？教学数的大小比较时，

13、教材安排了两道例题。这两道例题均创设了一定的情境：例3是学生向相反方向运动的情境，例4是在数轴上表示出未来一周每天的最低气温的情境。那么，进行数的大小比较时是否仍然需要联系具体情境呢？以例4为例，如果将温度的“高”“低”直接对应于数的“大”“小”看似颇为牵强，也缺乏推论的依据。其次，即使学生借助温度从低到高的排列顺序能够进行数的大小比较了，可是如果情境变换为“盈亏”或“上车与下车人数”的问题，学生可能很难将已有的经验和结论直接迁移过来进行数的大小比较。可见，借助情境不利于学生从更为一般化的方法和角度比较数的大小。因此，教材中情境设置的主要目的是为了引出数轴以及在数轴上表示出各个数。进行数的大小

14、比较时，则应该脱离具体的情境，把数轴上的点和抽象的正负数对应起来，通过观察数轴上正负数的排列顺序，总结数的大小比较规律。4、“正比例和反比例的意义”在教学中应注意的问题1注意在“比例的意义”的教学中渗透情感、态度、价值观的培养。情感、态度、价值观的培养是本次课程改革中极力提倡的教学目标之一。但是，在数学教学中如何渗透情感、态度、价值观的培养一直是老师们很关注的问题。我们认为，在数学教学中培养学生的情感、态度、价值观不仅仅要从宏观的角度培养学生学习数学的兴趣和信心，更应当结合所学的具体数学知识进行。在比例的意义教学中，教材选择从国旗长与宽的比值引出所学知识的同时，也提供了培养学生情感、态度、价值

15、观的教育契机。教师在教学中可通过学生算出各面国旗长、宽之比均为3：2，借机向学生说明：为维护国旗的尊严，我国制定了国旗法，其中规定“国旗长、宽之比为3：2”，所以尽管在不同的场合根据需要国旗的大小可能不同，但是它们的形状是一样的。让学生认识到国旗的庄严与神圣，从而对学生进行热爱国旗的教育。同时，也使得情感、态度、价值观的培养表达出数学学科的特色，内涵更为丰富、充实。2正比例教学中相关的数据是否需要在课堂上通过实验得出。教学正比例的意义时，教材呈现了用相同的圆柱形杯子装水的实验，通过研究水的体积与高度的关系教学正比例的意义。鉴于课堂教学具有时效性的特点，我们认为，水的体积和高度变化的相应数据，不

16、必通过实验得出。但如果能用多媒体或其他形式呈现数据的获取过程，让学生直观地观察到水的体积和高度是两个相关联的量以及二者之间的变化规律，对于学生理解正比例关系也是很有帮助的。5、“抽屉原理”教学中应注意的问题1.例1教学中适当渗透“平均分”的思想。例1介绍了一类较简单的抽屉原理。教材编排了两种解释方法，即枚举法和假设法。在引导学生理解假设法时，教师应帮助学生明确“将4枝铅笔放在3个文具盒中，为什么可以先考虑每个文具盒放1枝铅笔的情况？”弄清楚该问题，也就帮助学生体会到假设法的基本思想尽可能地平均分。这样，不仅可以帮助学生体会两种方法中假设法是更为一般、更为快捷的方法，而且也为学生运用假设法“证明

17、”更复杂的抽屉问题奠定了基础。2例2教学中要让学生正确理解“余数”的问题。教材在例2的编排中是运用有余数除法的形式表达出假设法的核心思路，即52=21。学生借助算式能够很快理解该“证明”过程：5本书放进2个抽屉，每个抽屉放进2本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。但由于该除法算式的余数正好是1，很容易让学生将“某个抽屉至少有书的本数”是商加1错误地等同于商加余数。教学中，教师可结合余数不是1的情况，如例2后面的“做一做”，在比照、辨析中帮助学生更好地理解“抽屉原理”的实质。3例3教学中引导学生尽可能地理解一般性的方法。在解决实际问题时，将“具体问题”和“抽屉问题”

18、建立起联系对小学生而言具有一定的难度。学生在思考这些问题的时候，一开始可能很难找到切入点。因此，例3的编排中通过学生的对话，提示我们在教学中可以通过先猜测再验证的方法来解决问题。但这样编排的主要目的是让学生在猜测、验证的过程中逐步让学生认识到该问题属于“抽屉原理”可以解决的范畴，并在“摸球问题”与“抽屉问题”之间建立联系。教学中随着对该问题认识地逐步深入，应引导学生理解猜测、验证并不具有普适性，解决相关问题时应当尽可能地运用更为一般的方法，找出问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，“抽屉”有几个，再应用“抽屉原理”的一般化模型推理解决。6、习题中的一些问题1线段比例尺是否应固定的理解为图

19、上1厘米表示实际距离多少千米呢?线段比例尺一般是指图上1厘米的线段表示的实际距离。通常，绘图时会画一条1厘米的线段来表示，这么表示给测量和计算带来了方便，所以教材中涉及到的线段比例尺的单位长度基本上是1厘米。但有时受客观条件的限制，一些简单示意图所画线段的单位长度不一定是1厘米。例如，教材练习二十一第107页第2题的示意图，如果按1：5000的比例尺来绘图，教材的版面很难到达要求。所以根据具体情况，教材用图上0.4厘米表示实际50米的距离也是可以的，不存在科学性的错误。2练习十二第5题，应如何理解2对同色的小棒。教材练习十二第72页第5题的2对同色小棒指的就是2对不同颜色的小棒。一般情况下，如

20、果这2对均为同一颜色，用“4根同色小棒”的表述更为直接。教学中老师可以适时帮助学生正确理解题意。三、五年级上册疑难解答1、 “小数乘法”教学中的问题1新课标教材，是否还需要讲解小数乘法的意义？小数实质上是十进分数，小数乘法的意义与分数乘法相同。小数乘法的意义实际上包括两种情况：小数乘整数，同整数乘法的意义相同；一个数乘小数，则是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几要让学生理解小数乘法的意义，应从分数乘法的意义入手。考虑到小学生的认知特点以及小数与整数的密切联系，教材先教学小数乘法，再教学分数乘法。因此，这里淡化了小数乘法意义的教学，重点放在计算的算理和方法的总结上，小数乘法的意义可以让学生学

21、完分数乘法后再来体会。2“小数乘法”单元中例3和例4的教学要求。有老师对例3和例4的教学要求不太清楚，这里再说明一下。例3教学小数乘小数的算理算法，例4结合例3及“做一做”概括小数乘法的计算方法。由于例3最后让学生观察因数和积的小数位数之间的关系，有的老师在这里就开始引导学生总结小数乘法的一般方法，这样处理似乎显得仓促了一些。因为由一个例题就来归纳概括小数乘法中因数和积的小数位数之间的关系说服力不够，这里应该通过下面的“做一做”进一步稳固对小数乘法算理的理解，再让学生观察因数与积的小数位数的关系，在此基础上来教学例4，归纳总结出小数乘法的一般方法。3有关积的小数位数的判断。老师们经常问到判断小

22、数乘法的积的小数位数的问题。比方，7.50.2的结果是几位小数？这里该填一位小数还是两位小数？这类问题实际上就是判断小数乘法中积的小数位数到底应该以计算法则为准，还是要看具体的计算结果的问题。我们认为小数乘法中判断积的小数位数，应以计算法则为主，至于积的末尾有0的情况是下一步的问题。因此，在出练习题时，最好不要出末尾有0来判断积的小数位数的题目，因为这样的考察没有多大的意义。学生在具体计算时，只要按计算法则先确定积的小数位数，点上小数点，再根据计算的要求去掉小数部分末尾的0即可。2、“简易方程”教学中的问题1代入公式求值计算的结果要不要求写上单位名称？代入公式求值计算的结果原义务教材不要求写单

23、位名称，现课标教材要求写单位名称。这种改变的原因一是为了与中学统一，二是考虑到代入公式求值的结果应与以前学习的直接列式计算的结果统一。另外代入求值，课标教材先写出公式是为了便于学生更好的记忆和应用事实上，如果没有明确要求，可以不写出公式，用已知数据直接写出算式。2“等式的性质”的教学问题。以往的教材是利用四则运算各部分间的关系来解方程，现在课程标准要求“会用等式的性质解简单的方程”。为了减轻学生的记忆负担，课标教材没有给出“等式基本性质”的名称，也没有用文字概括出等式的性质。只是通过天平平衡的实验帮助学生理解天平保持平衡的道理，以此渗透等式的性质。而由于“天平平衡的道理”只停留在直观层面，没有

24、与等式直接联系起来，也就是没有概括出等式的性质。而解方程，又必须利用等式的性质，即“方程或等式两边加上或减去同一个数，左右仍然相等”，所以现在教学解方程，仍要借助天平演示去求解。有的老师认为不如直接给出“等式的性质”，并概括两条性质的内容，这样教学解方程时，就不用再借助天平演示的图示而直接利用等式的性质去求解。我们认为这样处理也是可以的。在教学“天平保持平衡的道理”时，可以结合天平和等式来概括“等式的性质”。如，当学生观察出“天平两边同时加上或减去相同的数量的物品依然保持平衡”时，教师可以对照天平，结合直观的等式说明“等式就像平衡的天平，在平衡的天平两边加或减同样的数量的物体，就相当于在等式两

25、边加或减同一个数，等式仍然相等。”比方用“当左边=右边时，左边+a=右边+a”这样的式子帮助学生理解。在此基础上，教学解方程就可以直接利用“等式的性质”求解。3、“统计与可能性”教学中的问题教学例1时必须要让学生做试验吗？例1是通过“抛硬币决定谁先开球”的情景让学生理解随机抛掷一枚硬币出现正面和出现反面的可能性相同，都是1/2，并初步感知游戏规则的公平性。在教师用书中，我们建议老师可以组织学生分小组合作做抛硬币的实验帮助学生直观感受。在实际教学中，有老师反映学生已经有了抛掷硬币出现正反面的可能性相同的经验，而实验中往往正反面出现的次数不同，这就与学生的生活经验发生冲突，不利于学生的理解。那么，

26、例1的教学有必要让学生做实验吗？事实上，可能性的大小是不能通过实验来得出的。如果学生已经有了这样的经验，那就不用再去做实验感受了。如果想要通过实验来感受，一定要建立在实验次数足够多的基础上，所以要让学生先分组实验记录数据，然后再在全班汇总，进一步可以介绍科学家曾经做过的一些著名实验，让学生体会到当实验的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的次数各占一半，也就是说出现正面朝上和反面朝上的可能性相同，都是1/2。因此，老师们可以根据学生的实际经验和认知特点合理安排教学。中位数要不要带单位？有老师提问，求中位数时，要不要带单位？求中位数时不带单位。平均数、中位数、众数都是计算的一组数据的一般水平，这里考

27、虑的是数据。但在解释时，要具体问题具体说明。比方一组学生的体重数据的中位数是45，我们就说这组学生体重的一般水平为45kg。四、五年级下册疑难解答1、教学旋转时应把握哪些要素？1关于旋转的知识背景。旋转的描述性定义是：像这样如图4，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。根据描述性定义可知，要完成旋转就必须确定两个要素，即旋转中心和旋转角包括旋转方向。改变其中的任何一个要素，旋转都会发生改变：如图5中的两个旋转变换，旋转中心一样，旋转角不同，最后得到的图案就不同；同样，图6中的两个旋转变换，旋转中心不同，旋转角度一样，得到的图案也不同。因此，当要进行旋转变换时，就有必要让学生说清

28、楚他是绕哪一个点旋转的，向哪个方向旋转的角度是多少。旋转变换具有三个特征：1图形的形状、大小不变如上图4中三角形ABC与三角形ABC的形状、大小相同；2对应点到旋转中心的距离相等如上图4中线段OC的长度和OC的长度相等；3对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即上图4中角AOA的大小与旋转的角度相等，角COC的大小也与旋转的角度相等，这里的旋转角度是90。按照旋转的定义，摆动在数学上也是一种旋转现象如图7、图8。2对于这部分内容的教学，请注意以下几点。把握好教学要求。通过这一单元的教学，学生描述旋转现象时，只要说明绕着哪个点旋转旋转中心、向哪个方向旋转了多少度旋转方向和旋转角度就可以了。旋转

29、特征的教学是后面教学画图的基础，教学时可让学生体会教材在安排所表达的化归思想即将图形的旋转化归为线段的旋转为后面例4教学画法作准备。对于学生来说，画出旋转后的图形是比较困难的，因此，教材只要求在方格纸上画出一个简单图形旋转90后的图形。具体来说，画简单图形旋转90后的图形的关键是：如果没有指定旋转中心，先在图形中找到一点确定为旋转中心，再找到一条通过旋转中心的边，便于画出该条边旋转90注意是按顺时针还是逆时针旋转后的对应边，再根据图形的特征画出其它的边，从而画出该图形旋转90后的整个图形。2、“因数与倍数”单元中，在第12页中指出“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数

30、一般不包括0”，而在17页又指出“0也是偶数”，质数与合数中，对0的问题又没有加以说明。这是为什么？究竟在这一单元的研究中，到底包括0还是不包括0？1本单元是有关数论的内容，主要研究整数的性质。就数论这门学科而言，研究的数的范围是整数0是整数，而且其主要概念都是在整除见与本册教材相配套的教师教学用书的说明的基础上定义的，具体的某个概念又会限定在特定的数的范围内如050，可以说5是0的因数，0是5的倍数；但不能说0是0的因数，在数论里讨论的因数与一般乘法算式中的因数的概念是不同的，数论里的因数不能为0。2虽然本单元的内容应该在整数范围内研究，但是，由于0是任何非0自然数的倍数，任何非0自然数是0

31、的因数；这种由于0的特殊性导致在研究具体问题时经常要注意说明0是否包含在内，给研究问题带来很多麻烦。如虽然0是任何非0自然数的倍数，但最小公倍数指的是一切公倍数中的最小正数”。因此，限于小学生的认知水平，在小学阶段进行特殊约定，一般只在非0的自然数范围内加以研究，教材对此在第12页进行了说明。3奇数、偶数的概念是在整除的基础上定义的，研究的范围是整数，因为0能被2整除(或者说0是2的倍数),因此,0也是偶数。为此，教材对“0也是偶数”进行了补充说明，概念是科学的定义，这与前面对本单元数的范围的特殊约定并不矛盾。4与因数和倍数不同，质数和合数在正整数范围内研究，因此讨论质数与合数时不包括0。相应地，如果把正整数分类，应分为：质数与合数、因数与倍数、奇数与偶数。综上所述，由于质数与合数、因数与倍数