换元积分法和分部积分法精选

1、§4-3柯西中曼积分中的换元积分法和分部积分法在第3章中讲了求原函数的换元积分法(包括凑微分积分法)和分部积分法，而柯西-黎曼 积分中也有换元积分法和分部积分法.1.换元积分法 读者在第3章中已经做了很多用换元积分法求原函数的练习.那时，不 仅要求代入的函数 = «)有反函数f = T(X),而且最后还要换回到原来的自变量.可是， 柯西-黎曼积分中的换元积分法，不需要代入的函数u = u(f)有反函数f = T(x),也不需要 再换回到原来的自变量(因为换元同时也换了积分限).柯西-黎曼积分中的换元积分法有两个,分别对应于第3章中的凑微分积分法和换元积分 法.定理4-8设函

2、数/()在区间4切上连续且有原函数尸(，)，而函数 = (x)在区间 口，句上有连续导数/(X)且A<u(x) < B ,则有f bp “(b)fu(x)ux)(h = r Ju)du (注意，换元要换限)J aJ "(a)证根据柯西-黎曼积分中的牛顿-莱布尼茨公式，右端的积分P "S)/»»尸黑=尸(划一耳另一方面，因为个(切=厂'()L=" “'a)=/w(x)w'a)即F(#是函数在区间a,b上的原函数，根据同样的道理，所以左端的积分 f fu(x)uXx)dx =/： = Fu(b) Fu(a) J

3、a因此，上面的等式成立.例 5.二去二产，.2M =2J-2 i + y/2 + x1 + Jo 1+=2 “一 ln(l + w)| = 2(2 - In 3)2 sI* n/2、(U=cosx) 0,例 6 I sin5 xdx = -l (1 - cos- x)d(cos x) - | (l-ir)2dz/JoJoJ1=f (1-22+4)d = W-W3 4-iw51 = l-4-i= -J。I 35 )03 5 15例 7in" = gsm")% =(匕爱)小cos2acLv+cos2 (2x)dv159 / 1其中5/2,cos2(2x)dx =o因此,空2九1

4、 f-4 + 8J(-7lcosMdn=- + 0 = -.f Z cos2xdv= f cosn = -smwJoJo 22叫 l + cos4x , 兀 1 Cidr = + - I cos4xdx713ti16. 4，“兀八九sin xdx = 0+ 定理4-8所指出的积分方法，实质上用的还是第3章中的凑微分积分法，因此它没有真 正体现出柯西-黎曼积分中换元积分法的优越性.柯西-黎曼积分中的换元积分法，通常指的是 下一个定理中说的积分方法.它不仅在有些理论证明中是重要的，而且在有些特殊积分的计算 中也是重要的，因为有些特殊的积分，不是先求原函数而后用牛顿-莱布尼茨公式计算出来 的.定理4

5、-9设函数“外在区间3旬上连续.若有函数工=满足条件：(/)存在有a和4，使u(a)=凡u(J3) = b ；(ii)当从a变到月时，a<u(t)<b x则有定积分的换元公式 (,b(iii) u(t)在区间a,用或尸上有连续导数'«)；f(x)dx= fu(t)ut)dt (注意，换元要换限) J a事实上，根据定理4-8,p 夕«(o=a，()仙Fa)W(f)df=/(X)d¥= f(x)dxJ aJ “(a)J a问：1 .在积分/x机-x2dt中,可以令x=sinf吗？为什么？ Jo5兀2 .函数x = sin/在区间0,上没有(单值)

6、反函数，那么下面的演算中，哪一步是对 L 2 J的？哪一步是错的？最后正确的结果是多少？二=/8s+ 等1 57r Sitit(错误答案)正确答案是巴2 2 443 .下面的演算错在何处？f11I*111所以2一处=0,即 = 0.根据定理4-1, 一7三0(14x41)(错误！).J-1 1+XJ-l l + xl + x正确的演算应当是111,/,、 兀兀 兀-dx = arctailx , = arctan 1 -arctaiif-1) = - i = .1 1 + x21-14 V 4j 2例8设函数/(x)在对称区间a,a(a > 0)上连续.(1)若/(x)是奇函数，则 ff

7、l/(x)dx = 0；J -a若/(x)是偶函数，则 f f(x)dx = l f(x)dx.证 根据积分对区间的可加性，f fWdx= /(x)di + f f(x)dxJ -aJ -aJ 0其中(- o(x=-r)广0广。/(x)dx=f(-t)(-dt) = f(-x)dxJ aJ aJ。于是，f f(x)dx= f /(-x)dx+f /(x)dx.因此，若f(x)是奇函数，则J -aJ 0J 0(/Wd.r= f f(-x)dx + f(x)dx = - f(x)dx+ /(x)dx=0 J -aJ。J0J 0J0而若是偶函数，则(f(x)dx= f(-x)dx+ f(x)dx =

8、 f f(x)dx+ /(x)dr = 2f f(x)dx J-aJ oJ0J 0J。J0例9设f(x)是以丁为周期的连续周期函数(fvxv2) .证明:r "丁r Tf(x)dx= f(x)dr (a 为任意实数)J aJ 0(周期函数在任何一个周期上的积分都相等)证 根据积分对区间的可加性，r a+r广 of tr 0+丁f(x)dr= f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dxJ aJ aJ 0J T而上面最后一个积分P a+r.v=f+7 r “/ a»0y(x)d.x=f(t + T)dt= f(x)dxJ TJ 0VOJ a因此,/(x)cLv = £

9、; /(x)cLv.例 10 求xsm； &JO 1 4- COS- X解心地：出=2 1m;出+入心出,侨Jo 1 + COS2 X Jo 1 + COS- X J jt/2 1 + COS2 X 右端最后一个积分Cn xsinx eh fo (t_f)sinf(出$1山 也 1./Jn/zl + costt J也 l + cos“ ' Jo l + cos2rJo 1 + cos21代入式(X),并注意积分与积分变量无关，则得f11 xsinx , zar =7tJo 1 + cos2 x,'n/2 sinr dt = _冗 f d(cosr) g。”】 J

10、76; do 1 + COS2 t Jo 1 + COS2 tJ 1 1 + "2f1 d,i, n2Jol + /r lo4可见，即使不能求出原函数f4111：也能够求出积分sm：出=与.J 1 + COS- xJo 1 + cos- x 4习题一1 .填空：立旦dr二J-2 1 + X'喀 x2 sinx(1) I dx =J -rt/2 1 + COSX答案：(DO： (2)ln5.2 .根据提示，计算下面的积分:卜 工 口=师肝彳/口f 11 x=lntdx=Jol + e”p ln3(4) j Vl + ek (令 f = Jl + e" )=(x=nta

11、nz) dr(a >0)(6) f 1dr(X = ez) =J b W1n x(2 -1n x)答案：(1苧(啥(3)ln备;2(2一口+ ln慧与今哼3 .设函数f(x)在区间0上连续.证明:(1) I /(siiix)dx= I /(cosx)dv ； JoJo/(sinx)dx ：J %/(sinx)dx = -| /(sinx)dx.TTTT提示：令X =1 ； (2)令1=1 ； (3)令X=7tf.22广x+2冗4 .证明：J e皿sin冏>0(yovx<2).(提示：被积函数是周期函数)5 .设连续函数/(x)(yo <x<-K>o)满足积分

12、方程/(x) = J xf(xt)dt .证明f(x) = 0.提示：先证r(x) = /(x),然后考虑6 .设/(X)是以丁为周期的连续周期函数(vxv+od).证明：xT+« xJoT Jo7 .分部积分法定理4-10若函数/(x)和g(x)有连续导数:(x)和g'(x),则有定积分的分部积分公 式j f(x)dg(x) = /(x)g(x)|：J g(x)V(x)证在式d f (x)g(x) = g(x)4(x) + f (x)dg(x)两端积分，则左端为C bd/(x)g(x) = /(x)g(x)|：J a而右端为g(x)#(x)+f /(x)dg(x) J aJ

13、 a移项得f x)dg(x) = /(x)g(x)|：f gWdf(x)J(iJ a在很多情形下，由于/(x)g(x)|：=0,所以计算积分时用式/a)dg(x)=/(小：-£g(ww要比先求出原函数后再用牛顿一莱布尼茨公式简单得多.例11设为正整数.证明:JI其中记号(双阶乘)n/2sin2/, x dxo) k/2sino*/2=/,强2隈心=出二理工(2)!！ 2(4-5)(4-6)(2 -1)! = (2 - 1)(2 - 3)3 1,(2«)! = (2联2吁 2)4 2.【注】以后做题时，可直接套用上述积分公式.sinxd¥ =sin'&quo

14、t; xdr(用为正整数)=1而当相2时，根据分部积分公式，则得P 兀/2p n/2«n/2Im = j sin/H xdx = j sin“i xd(-cosx) = -cosxsin,-1 + j cosxd(sin,n-1 x)nn=-1) f 2 sin/M_2 xcos2 xdv = (zn -1) f 2 sin/M_2 x(l - sin2 x)dxJoJo=(in -1) Im_2 - (in -1) I,n化简得血，,=(m-1) Im_2或(递推公式)I,=Z,w_2 (加= 3,4,)m当帆=方为偶数时，r对2, r 2n-l r2”-12,一3 f,2-12一

15、33 rJo2n 4 2n 2n-2 -n'4 2n 2n-2 4 -_ 2/?-1 277-33 1 万 _ (2一1)!冗2n 2/7-242 2 - (2n) 2当7 = 2-1为奇数时， f n/2_ .sin-"Txck =，“TJo最后，因为有0/(sinx)dr =2-2_2n-2 2-4 r2n-22-422/1 - 12n52n-l 2-3 2,1-52n -12-33(2 2)!n/2f(cosx)dx 见换元积分法的习题3所以也有j cos-w xdv =(2h)! 2, rt/2cos2n_1 xdv = o(2 2)!例如，根据上述计算公式，则有&q

16、uot;A 6 j 虱26 ,5!兀 5-3-1 K 5兀I sm xdx= I cos xdx =JoJo6!2 6 4 22 328 .瓦里斯(Wallis)公式 证明：.F (2)!！ T 1 7ilim =”廿(2- 1)!2 + 12证 S0<x<p 对于任意正整数，由于(sinx)2"+Y(sinx)2"(sinx)2"T,所以有f 2 sin2,+1 xdx < f 2 sin2/, a cLv < f 2 sin2/1-1 xdxJoJoJo根据式(4-5)和(4-6),则有(2m)!(2n-l)! it (2w 2)!w,

17、从而有(2)!！ I2 1 九(2)!！ T 12/2 4-1 22n于是有0/_(2)!！12(2w-l)! 2/7 + 1n 1、<> 0(/7 T 8)2 2因此，L-|2lim ?)”_ = 2 (在§4-5节中将会用到这个结论)廿(2-1)!_| 2/? +12习题二1.求下列积分值:cos2xdx：0r " rJ ln(x+ yjl + x2 )dx ；Jo'csm 恁 f llnxldv ；J 1/e.1X I (x+ 2) arctandx ；J-i2(6) J cos10 xdx ；(7) J (xhix)2 dv ；(9) J er cos2 xdx ：(8) J (xsinx)2 dr ； ”/4 J sec3 xdx ；用3fl(ID 02)(1一/)”去(为正整数).Jx/4 sm-xJo答案：三；2 2；石hi(石+2) 1；5arctaJ-2