利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限之比较

1、利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限之比较摘 要 通过实例说明，在利用洛必达法则和麦克劳林公式求函数极限时，应因题目不同而加以选择，同时在求极限的过程中，如果糅合代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法，有可能大大简化求极限的计算过程关键词 洛必达法则；麦克劳林公式；求极限；比较关于洛必达法则和含的幂展开的带有佩亚诺型余项的泰勒公式（也就是麦克劳林公式），以及利用它们求函数极限所必须满足的条件，这里均不赘述本文意图通过实例说明，利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限，各有各的优势，同时如果糅合代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法，有

2、可能大大简化求极限的计算过程当然，利用上述两种方法求函数极限也有其局限性，本文将就具体例子对利用这两种方法求函数极限作一比较例1 当时，函数与是等价无穷小，求解法一 利用洛必达法则由等价无穷小的定义知,这里记第一次利用洛必达法则，有；注意到上式分子趋于零，因而分母必趋于零，且当时可再次利用洛必达法则，即有；同样上式分子趋于零，因此要求分母趋于零，则当时，可第三次利用洛必达法则，即此时可见分子当时趋于24，因而不满足洛必达法则的条件要使得当时，则必有故解得解法二 利用麦克劳林公式展开则当有或注意到，即，故有比较上两种方法，方法二似乎简单一些，但以笔者多年来的教学经验看，初学者（大一新生）会有把和

3、展开到多少阶为合适的问题比如，把和分别展开为和，则这样的展开不仅对求解该题无任何帮助，反而会得出错误结果若将两者展开到比方法二更高阶，即四阶及四阶以上，则必出现冗余因此方法一对初学者而言不失为一种较为稳妥的方法，尽管步骤看起来多一些 例2 已知，则下列四个结论正确的是（） （A）；（B）；（C）；（D）解法一 利用洛必达法则注意到该极限适合洛必达法则，故由洛必达法则有，即得，选D解法二 利用麦克劳林公式将展开考虑到当时，因此得，即得，选D从例2可以看出，用洛必达法则更好因为初学者同样面临与例1相似的问题将函数展开到多少阶为合适的问题那么可否认为用洛必达法则求极限比用麦克劳林公式求极限更有效呢？

4、例3 当时，试确定无穷小的阶解法一 用洛必达法则这里设，并记，则这里，上式中已将因式分离出来，因为它的极限为1故当时，对上式再次利用洛必达法则得到，此时可以看出上式还可以用洛必达法则，但是分子过于复杂若当时对上式再次利用洛必达法则，解题者将陷入繁琐的求导境地事实上，考虑用麦克劳林公式将函数展开，则将另有一番天地解法二 利用麦克劳林公式展开，即有（）因此为时的四阶无穷小当然，对有些题目而言，两种方法均可使用，计算均简单例4 求极限解法一 作变换后用洛必达法则令，则 解法二 利用麦克劳林公式展开因，故有 注：例4解法一中先做变量代换之后，再用麦克劳林公式将展开为，这样对学生理解为什么把展开到二阶是

5、有帮助的因为分母中含，而是时的二阶无穷小，这可以解开学生在利用麦克劳林公式展开函数求极限时展开到多少阶的困惑有些题目两种方法均不能使用，如下例5，那只能另辟蹊径了我们可以考虑利用代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法，再用上述两种方法，以期简化计算例5 求极限分析 本例用麦克劳林公式展开求极限是行不通的，因为在处不可能展开考虑到，故先分离函数并求出其极限又注意到，故有此时如果考虑用洛必达法则，即有，而极限不存在因此本例用洛必达法则是行不通的，其原因是不符合洛必达法则的第三个条件，即要求求导后的极限存在或为无穷大正确解法如下：此处后一极限为零的原因是，为有界变量

6、，为时的无穷小例6 求极限分析 若用洛必达法则，分子求导繁琐，而利用麦克劳林公式展开又要作变换，也较繁考虑用恒等变形，之后用无穷小替换，再用洛必达法则注意到，故先求分子中（也就是）的极限，同时把无穷小用与之等价的无穷小替换，得到下式，又考虑到，故有，再用洛必达法则求之得到 例7 求极限分析 可将分子有理化（事实上就是代数式恒等变形），分母中的用无穷小替换，将和麦克劳林展开，并分离有理化因子，得到当然，例7也可直接将分子中的麦克劳林展开求之例8的解法将会用到：分离极限存在的函数、无穷小替换、变量代换、洛必达法则例8 求极限解 上式中，第一步是分离极限存在的函数，并求出其极限，第二式是将第一式中的用替换，第三式是用变量替换变量，第四式是对第三式用洛必达法则而得，第五式再次用到无