微积分之函数、极限与连续

1、函数是指f(_x) = f(x),关于x轴对称。题中 1 / 10 作业(一) - 函数，极限和连续 一、填空题(每小题 2分，共 20 分) 1函数的定义域是 _.答案： 提示：对于，要求分 母不能为 0，即，也就是； 对于，要求，即；所以函数的定义域是 2. _ 函数的定义域是 .答案： 提示：对于，要求 分母不能为 o，即，也就是； 对于，要求，即；所以函数的定义域是 3函数的定义域是 _.答案： 提示：对于，要求分 母不能为 o，即,也就是； 对于，要求，即;对于，要求，即且； 所 以函数的定义域是 4函数，贝 U . 答案： 提示：因为，所 以 5 .函数，贝u _ .答案： 提示：

2、因为当是在区间，应选择进行 计算，即 6 .函数，则 _ .答案：提示：因为，所以 7. _ 函数的间断点是 .答案： 提示：若在有下列三种情况之一，则在间断：在无定义；在极限 不存在；在处有定义，且 存在，但。题中在处无定义 8. _ . 答案：i ；提示： sin 4x 9 .若lim 2，则k = _ .答案：2提示：因 XT sin kx sin4x f(_x) = - = f(x)，所以函数 2 2 e n-ex 、， y 是偶函数。 2 2 .设函数y=x2sinx，则该函数是().答案：A A .奇函数 B .偶函数 C .非奇非偶函数 D .既奇又偶函数 提示：因为 2 2 2

3、 f(-x)=(x) sin (-x)二 x (-s in x)二-x sin x=-f(x) ，所以y = x2 sin x是奇函数。 2x 2 3. 函数f(X)二X 的图形是关于()对称.答案：D 2 A . y=x B . x轴 C . y轴 D.坐标原点 提示：因为 2.2 x) 2 一x.-2 x f (-x) = x x f (x)，是奇函数， 2 2 2 +2 所以f(x)二X 的图形是关于坐标原点对称 2 4. 下列函数中为奇函数是( 无). A . xsi n x B . In x C .In (x . 1 x2) D . x x2 提示：A. f(x)二一xsin(x)

4、=-x(sinx)二 xsinx ,即 xsinx是偶函数；B. In x的图形只在一、四象限，既非奇函数, 也非偶函数；C . ln(J x2)的图形只在一、四象限，既非 f (_x) _ -x (_x)2 _ _x x2 sin 4x sin kx 既非奇函数，也非偶函数。 所以本题没有一个待选答案是奇函数 kx 1 5 .函数y ln(x 5)的定义域为( sin3x 10若lim 2，则k = _ .答案：1.5；提示: XT kx sin 3x m m H H X X 为 因 sin 3x lim kx x 0 3x kx 3x =3 -2，所以 k -1.5 k 二、单项选择题(每

5、小题 2分，共 24分) -x x e e 1设函数 y = -，则该函数是().答案：B 2 A 奇函数 B 偶函数 C.非奇非偶函数 D 既奇又偶函数 提示：奇函数是指 关于坐标原点对称；偶 x 4 A . x -5 ).答案：D C . x i 一5 且 x = 0 1 D . x占一5且x -4 提示：对于 ，要求分母不能为 ， x + 4 即 x = -4 ；对于 ln (x 5)，要求 x 5 0，即 x -5。 Tn(x 5)的定义域为x -5且x -4 6 .函数f (x) 1 ln (x-1) 的定义域是( ).答案：D A . (1,：:) B . (0,1) - (1/：

6、) C . (0,2) -(2,二) 奇函数，也非偶函数; 2 / 10 D. (1,2) (2, ：) 提示：对于 1 ，要求分母不能为 0, ln(x _1) 即x = 2 ;对于ln(x 1)，要求x -1 0，即x .1。所以函数 f(x) 1 的定义域是(1,2) 一(2, ln( x 1) 7设 f (x 1) 2 =x2 -1，则 f(X)=( 答案：C A x(x 1) B. x2 c. x(x -2) D (x 2)(x _1) x 比(x 1) f(x) =(x -1)2 -1 =(x -2x 1) -1 二 x(x -2) 提示：当lim f(x) = f(xo)时，称函

7、数f (x)在xo连续。因为 lim f (x) = lim (ex 数 f (x) = * ex 2, k, f(0) = k，所以当k = 3时，函 x _ 3 12函数f (x) = r 的间断点是( )答案：A x2 3x + 2 A . X=1,X=2 B. x = 3 C. x=1,x=2,x=3 D.无间断点 提示：若f(X)在x0有下列三种情况之一，则 f (x)在X0间断: 在X0无定义；在X0极限不存在；在X0处有定义，且 8 下列各函数对中，( )中的两个函数相等答案: A. f (x) =( .X)2, g(x) B. C. 2 f (x) = ln x ， g(x)

8、= 2 ln 9. 3 D. f (x) = ln x g(x) = 3ln x提示：两个函数相等, 必须是对应的规则相同，定义域相同。上述答案中, 域不同；B对应的规则不同；C定义域不同； 同，定义域相同 A定义 D对应的规则相 当x； 0时， 下列变量中为无穷小量的是( 答案：c. lim f (x)存在，但 lim f (x) = f (x0)。题中，分母 X 汽 Xx 2 x 一 3x 2 = (x -1)(x - 2),所以在 x0 = 1 和 x0 = 2 处无定 义 三、解答题(每小题 7分，共 56 分) X2 3x 十 2 1.计算极限lim x 3X 2 7 X2 -4 2

9、 x -3x 2 . (x-1)(x-2) x-1 1 lim 2 lim lim x x -4 x (x 2)(x 2) x x 2 4 x D 二 x x 0 时, sin x B . x x 提示：以 0为极限的变量称为无穷小量。上述答案中，当 A趋向a； B的极限为 1 ; C的极限为 0; D趋向。 c. ln(1 x) 2 2计算极限x2 x2 5x - 6 -1 10 当 k =()时，函数 f (x)= “ ”X2 +1, J k, x = 0 ，在 x = 0 x = 0 limx2 严一6 x 11 x -1 lim(x 心) x 1 (x 1)(x -1) = lim 口

10、 xT x 1 处连续.答案：B c. 2 提示：当lim f (x) = f (x0)时，称函数f (x)在x0连续。因 Xf lim f(x)巳im(x2 1) 二f(0)二k，所以当k =1时, 函数f (x) 时，函数 f(x) 连续答案：D B. 1 3 3.純 x2 -9 2 x -2x -3 x2 9 (x+3)(x-3) x + 3 6 2 lim 2 - = lim lim = x x -2x-3 x3(x 1)(x-3) x x 1 4 3 4计算极限lim 4 x2 -6x 8 x25x 4 x2 -6x 8 lim 厂 XT x -5x 4 5 计算极限 二 lim x

11、 4 (x - 4)(x -2) (x - 4)(x -1) 2 x 6x+8 lim 厂 x 2 x -5x 6 3 / 10 解 lim x2 -6x lim (x-4)(x-2)= lim = 2 x 2 x2 -5x 6 x)2(x3)(x 一2) xx3 的切线方程为y 一 y0 = k。题中f (x) = (ex)丄ex，将x = 0代 X - X。 入上式，得k二f (x)二e =1，所以通过点(0,1)切线方程为 = lim - = - = lim x 卩 x( . 1 -x 1) x 0 . i -x 1 处的斜率为k = f(X)。若给定曲线上的一点(X0, y0)，则通过

12、该 计算极限lim sin4x T lx +4 2 解 lim lim sin4x( x 4 2) -2 x 0 (、x 4 -2)( x 4 2) x 0 x 4 5若 y = X (X -1)(x -2)(x -3)，贝U y (0) = _ 答案：6 提示：根据有限多个函数的乘积的求导法则(见 P45)， sin 4x( Jx+4 +2) , sin 4x z , “ = lim lim 4 ( x 亠4 亠2) =4 1 4 =16 X_Q x X_Q 4x 作业(二) - 导数、微分及应用 一、填空题(每小题 2分，共 20 分) 1 1曲线f(x) .X 1在(1,2)点的斜率是

13、_ 答案：- 2 提示：若已知曲线方程y = f(x)，则它在任一点x处的斜率 1 为k = f (x)。题中f (x) =(. x 1) ，将x =1代入上式， 2 Jx 1 得 f (x) = _ 2 2曲线f(x) =ex在(0,1)点的切线方程是 _ 答案: y - X =1 提示：若已知曲线方程y = f (x)，则它在任一点x处 的斜率为k = f (x)。若给定曲线上的一点 (x0,y0)，则通过该点 y =x(x-1)(x2)(x3) x(x-1)(x2)(x-3) x(x1)(x2)(x3) + x(x-1)(x -2)(x -3) y 丄(x 1)(x 2)(x -3) -

14、 x(x 2)(x 3) x(x 1)(x 3) x(x1)(x 2) y (0) = (-1)(-2)(-3)6 6.已知 f (XX3 3X，则 f(3)= 答案 :27(1 Tn 3) 提 示 ： f (x) = (X3) (3X)= 3x2 3 X ln 3 f (3) =3 32 33 ln 3 =27(1 ln 3) 7 .已知 f (x) = ln x、则 f (x)= 答案： 1 2 X 1 1 提示：f (x) = (ln x) ， f (x)=()=- X X 1 2 X x 8若 f (x)二 xe ，则 f (0)二 答案： -2 = lim( xWx x 卩 x( ,

15、J -x 1) 1 3 曲线y 在点(1, 1)处的切线方程是 答案: _x _1 7 计算极限lim xT s i r4x 点的切线方程为 X -Xo 1 f (xH(x 2)- 3 1 -2 X 2 lim 匕口 =lim x 0 sin4x x 0 (1gx 1)( Jgx -1) (、1 x 1) sin4x = lim x ：0( 1 -x 1)si r4x 4x 4 1 1 1 11 1 =lim , - =lim () . - - = x X1 =一 x 0(.1 _x 1)sin4x x 0 4 ( 1 _x 1) sin4x 4 2 8 4x 将X =1代入上式，得k = f

16、(X)二 为红1 = _丄，即2y x = 3 x -1 2 4. (2) = _ 提示：根据复合函数求导法则计算。 -，所以通过点(0,1)切线方程 2 答案: 6计算极限lim V X -1 X -X 2y - x =3 提示：若已知曲线方程 y = f (x)，则它在任一点x (2 )丄2 ln2C x) 2 x l n2 2、x sin4x 4 / 10 9函数y =3(x -1)的单调增加区间是 _ .答案：(1, ：) 10函数f (x) =ax2 1在区间(0, ：)内单调增加，则 a应满 足 _ 答案：a 0 提示；当f (x) . 0时， 函数f (x)单调增加。题中，f (

17、x) =(ax2 1)、2ax . 0，所 2 以函数f(x) =ax -1在区间(0,亠)内单调增加，a应满足 a 0。 二、单项选择题(每小题 2分，共 24分) 2 1 函数y =(x T)在区间(-2,2)是( ) 答案：D A .单调增加 B .单调减少 C.先增后减 D .先减后增 提示： 当f (x) . 0时，函数f (x)单调增加当f (x) ：0时， 函数f (x)单调减少。题中，yJ2(x 1)，令y=0，得驻点 x = 1。当2 ： x ： 1时，y = 0，函数单调减少；当 2 1 ： x 2时，y 0 ,函数单调增加。所以函数y = (x 1) 在区间 (-2,2)

18、 是先减后增。 2满足方程f (x) =0的点一定是函数 y = f (x)的()答案：C. A .极值点 B.最值点 C.驻点 D 间断点 提示：使f(X)=0的点，成为函数f (x)的驻点(P69定理 3.2) 3若 f (x) = e 亠 cosx，则 f (0) = ( )答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. - 2 提示： f (x) = (e ) cosx e (cosx)二-e* cosxe sin x ，f (0) = _e cos0 _e0sin 0 =-1 1-1 0 =-1 4设 y = Ig2 x，则 d y = ( ) 答案：B df (cos2x) = _

19、 f(cos2x)(si n2x)2dx= _f(cos2x)(_i n2x)d2x 2x 6 .曲线y =e 1在x=2处切线的斜率是( ). 答案：C 4 2 小 4 c A . e B . e C . 2e D . 2 提示：若已知曲线方程 y = f (x)，则它在任一点 x处的斜率为 k = f (x)。f (x) =(e2x): =e2x *(2x): =2e2x，将 x = 2代 入上式得 f (2) = 2e2 2 二 2e4 7 .若 f (x)二 xc o x ，贝U f (x)二( ).答案：C A cosx xsinx B . cosx-x sinx C . -2sin

20、xxcosx D . 2sinx xcosx 提示： f (x) = (xcosx) = x cosx x(c osx) = cosx - xsinx f (x) =(cosx) -(xsinx) -sinx-(x sinx) -x(sin x) -sin x-sinx-xcos =-2 s in x - xcosx 8 若f (x) = sin x a3，其中a是常数，贝u f ”(x) = ()答案C 2 A cosx 3a B . sinx 6a C . -sinx 3 D . cosx 提示：f (x) = ( s ixn (a )二 c oxs， f (x) = (cosx) = -

21、sin x 9 .下列结论中( )不正确. 答案：C A . f(x)在X=X0 处连续，则一定在x0处可微.B . f (x)在X = X0处不连续，则一 定在X0处不可导. C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上 . D .若f(X)在a，b内恒有(x) ： 0，则在a，b内函数是单调下 降的. 提示：极大值可能出现在：驻点(驻点是 f (x) = 0 C . 2 f (cos 2x) sin 2xdx D . -f (cos2x)sin 2xd2x 提示： f (cos 2x) = f(cos2x)(cos 2x) = A 丄 dx 2x B dx x ln10 D 丄 dx x 的点

22、)：f (x)连续但导数不存在的点。 提示: 1 2xl n10 *(2x)= 2xln 10 *2 1 xln 10 5 设y二f (x)是可微函数，则df (cos2x)二().答案：D A . 2 f (cos2x)dx B . f (cos 2x)sin 2xd2x 10 .若函数 f (x)在点 X0处可导，则()是错误的. 答案：B A.函数 f (X)在点 X0处有定义 B. lim f (X) = A，但 A f (x0) C .函数 f (x)在点 X0处连续 D 函数 f (X)在点 X0 (P83 定2.5 mj(x) 5 / 10 f(cos 2x)(-sin 2x)(

23、2x) =-f ( c o2x) ( s i2ix)2 处可微 提示：若函数f (X)在点x0可导，则它在点X0 一定连续 =A，但 A = f (x0)即 f (x)在点 x0 不连续。6 / 10 B不正确，因为驻点不一定是极值点；C不正确，f lx。) = 0 就是驻点， 驻点不一定是极值点； D不正确，因为极大值可能出现在：驻点和 f(X)连续但导数不存在的点。 三、解答题(每小题 7分，共 56 分) 1 1 设y=xex，求y . 解 1 1 1 1 1 1 1 y =(x2)ex2) =2x$ x2e(1) =2xex x x 1 1 1 = 2xex -e =(2x _1)e匚

24、 2设 y = sin 4x cos3 x，求 y . 解 y =(si4x) (coS)=coS)(4x) 2coSXcos) =4coSk-2coSxsirx 3 .设 yeX1，1，求 y . 解 x x 1 y =(e 芦)(丄)=eh(、x 1) -一2 e 1 x x 2、：x+1 x 4. 设 y = x , x In cosx，求 y . 解 y * = (x wG) +( I nc o 幺)= 3 寸 x 2 cos: 5. 设y=y(x)是由方程x2 y2-xy=4确定的隐函数，求dy. -sin(x y)/sin(x y) y e si n(x + y) dysin(x

25、y) dx e -sin(x + y) 作业(三) - 不定积分，极值应用问题 一、填空题(每小题 2分，共 20 分) 1 若f (x)的一个原函数为ln x ，贝U f (x)二 _ 。 答案： 2 (c为任意常数) 提示：参见教材 P90, x 根据定义 4.1，若F (x)二f (x)，则称F (x)为f (x)的原函数， 2 根据题意，对In x 求导的结果就是f (x)，即 1 2 1 f(x)=(lxi) 2(x) 22X=_ x x x 2.若f(x)的一个原函数为xex，贝U f (x)= 。 答 案：1 2ex 提示：参见教材 P90，根据定义 4.1，若 F (x f (x)，则称F(x)为f (x)的原函数，根据题意，对 x-ex 求导的结果就是 f(x)， 即 f (x) = (x - e x)=1 2e，所以 f (x) = -4e 3若 f (x)dx = xex c