根轨迹法(自动控制原理)PPT课件

1、第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理第四章第四章根轨迹法根轨迹法第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。内内容容提提要要第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统线性时不变系统的动态性能主要

2、取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开调整开环增益是改变闭环极点的常用办法环增益是改变闭环极点的常用办法。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v19481948年伊凡思年伊凡思(W.R.Evans)(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程直接求解特征方程, ,而用图解法来确定系统的闭环而用图解法来确定系统的闭环特征根。特征根。 所谓根轨迹，就是系统的某个参数连续变化所谓根轨迹，就是系统的某个参

3、数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹。如果这时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹。如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的的开环增益找到相应的闭环特征根开环增益找到相应的闭环特征根；也可以根据；也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。期望的闭环特征根确定开环增益。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作，绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作，MATLAB的的出现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上出现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上一分钟就能绘制一张精确的根轨迹图。一分钟就能绘制一

4、张精确的根轨迹图。本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨迹的相角条件和基本规则，主推迹的相角条件和基本规则，主推MATLAB绘制根绘制根轨迹，突出如何有效地运用根轨迹法。轨迹，突出如何有效地运用根轨迹法。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v考虑图示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：考虑图示负反馈控制系统，设其开环传递函数为： 则该系统的闭环特征方程为：则该系统的闭环特征方程为：) 2)(1()()( sssKsHsG02323 Kss

5、s4.1根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理当当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面平面(复平面复平面)上画出的根轨迹如图所示。上画出的根轨迹如图所示。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v当开环增益当开环增益K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面平面(复平面复平面)上移动画上移动画出的轨迹图即根轨迹图。出的轨迹图即根轨迹图。从上述根轨迹图从上述根轨迹图中可以看到：中可以看到：当当0K0.385时有时有两个闭环极点成为共轭复数。两

6、个闭环极点成为共轭复数。只要只要0Km时，开始于时，开始于n个开环极点的个开环极点的n支根轨迹，有支根轨迹，有m支终止支终止于开环零点，有于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。支终止于无穷远处。 因为因为，终点终点就是就是K的点，要的点，要K只有两种情况，一种只有两种情况，一种是是s=zl，另一种是，另一种是s。这时，无穷远处也称为。这时，无穷远处也称为“无穷远无穷远零点零点”。 当当nm时，终止于时，终止于m个开环零点个开环零点m支根轨迹，有支根轨迹，有n支来自支来自n个开环极点，有个开环极点，有m-n支来自无穷远处。支来自无穷远处。 必需必需指出，实际系统极少有指出，实际系统极少有nm时，

7、根轨迹一定有时，根轨迹一定有nm支趋向无穷远；当支趋向无穷远；当nm时，时，根轨迹一定有根轨迹一定有mn支来自无穷远。可以证明：支来自无穷远。可以证明：当当nm时，根轨迹存在时，根轨迹存在|nm|支渐近线，且渐近线与实轴支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：的夹角为： 所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为1| , 2 , 1 , 0,180)12(0 mnkmnkk mnzpmllnii 11 规则规则3：渐近线：渐近线第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中实轴上的开环零点和开环极点将实

8、轴分为若干段，对其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。那么该段就一定是根轨迹的一部分。 规则规则4：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v该规则用相角条件可以证明，该规则用相角条件可以证明，设设实轴上有一试验点实轴上有一试验点s0。任任一对共轭开环零点或共轭极点（如一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的），与其对应的相角（如相角（如2，3）之和均为）之和均为360，也就是说任一对共轭开环，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响

9、实轴上试验点零、极点不影响实轴上试验点s0的相角条件。的相角条件。对于在对于在试验点试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如的相角（如4，3）均为）均为0。而而试验点试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如（如1，1，2）均为）均为180。 所以所以要满足相角条件，要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。须是奇数。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点。将根轨迹与虚轴的交点是

10、临界稳定点。将s=j代入闭环特征代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出0和和K0。用劳斯（。用劳斯（Roth）判据也可以求得）判据也可以求得K0。 v当从当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。 显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止

11、于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。零点之间也一定有分离点。规则规则5：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v当从当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。 显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止点，因

12、为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。零点之间也一定有分离点。规则规则6：根轨迹的分离点：根轨迹的分离点第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 当然当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点。对实际系统，依据规则零点）之间可能有分离点。对实际系统，依据规则14基基本就能确定有无分离点。本就能确定有无分离点。基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标基于分离点

13、是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标，是下列代数方程的解：，是下列代数方程的解： 必须必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件。也就是说明的是，方程只是必要条件而非充分条件。也就是说，方程的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它说，方程的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。规则。 mllniizp1111 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出射角；根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的夹角称为射角；根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的夹角称为入射角。

14、用相角条件不难证明，入射角。用相角条件不难证明，根轨迹从开环极点根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：出发的出射角为：根轨迹进入某个开环零点根轨迹进入某个开环零点Zl的的入射角为：入射角为： )()(18011jinijjjimjpppzpi )()(18011jlnjjlmljjzpzzzl 规则规则7：根轨迹的出射角和入射角：根轨迹的出射角和入射角第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v上述规则对绘制根轨迹很有帮助，根据上述规则对绘制根轨迹很有帮助，根据规则规则14就能很快就能很快地画出大致形状，再按规则地画出大致形状，再按规则5求出临界增益求出临界增益K0，这样的

15、根轨，这样的根轨迹图就很有用了，一般称其为概略图。迹图就很有用了，一般称其为概略图。 除非系统阶次很低，否则除非系统阶次很低，否则根据规则根据规则6，求解方程求分离点，求解方程求分离点决非易事；决非易事；根据规则根据规则7，计算出射角和入射角也不简单，并，计算出射角和入射角也不简单，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。 所以，所以，画根轨迹最有用的是规则画根轨迹最有用的是规则15，如果想得到更精确，如果想得到更精确的根轨迹图，只有使用的根

16、轨迹图，只有使用Matlab。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v仍然考虑前面举例的负反馈控制系统，按仍然考虑前面举例的负反馈控制系统，按7 7个基本规则绘个基本规则绘制根轨迹图。制根轨迹图。首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点： p1=0，p2=-1，p3=-2 将将它们标在复平面上，开环极点的位置用它们标在复平面上，开环极点的位置用表示；开环表示；开环零点的位置用零点的位置用o表示。表示。根据规则根据规则1和规则和规则2，根轨迹将有，根轨迹将有3条分支，分别开始于这条分支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。

17、三个开环极点，趋向无穷远。 ) 2)(1()()( sssKsHsG3.绘图示例绘图示例第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根据规则根据规则3，根轨迹有，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：根渐近线，它们与实轴的夹角是： 所有所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：根据规则根据规则4，实轴上的，实轴上的-1，0段是根轨迹的一部分；实轴段是根轨迹的一部分；实轴上的上的(-，-2段也是根轨迹的一部分。实际上后者就是从段也是根轨迹的一部分。实际上后者就是从开环极点开环极点p3出发趋向无穷远的一支，与渐近线的分析一致，出发趋向无穷远的一支

18、，与渐近线的分析一致，这一支已经是精确图形了这一支已经是精确图形了。 30018060210,3180)12(2100 ，kkk13210 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根据规则根据规则5，可以确定根轨迹与虚轴的交点。先用劳斯判，可以确定根轨迹与虚轴的交点。先用劳斯判据，据，根据特征方程系数列出劳斯阵列为：根据特征方程系数列出劳斯阵列为： 使使第一列第一列中中s1项项等于零，可以求得等于零，可以求得K=6。通过求解由。通过求解由s2行行得出的辅助得出的辅助方程方程 3s2+K =3s2+6=0，可以求得根轨迹与可以求得根轨迹与虚轴的交点为虚轴的交点为 ，交点处

19、的频率为，交点处的频率为 。KsKsKss012336321 2js 2 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理另一种确定与虚轴交点的方法是，另一种确定与虚轴交点的方法是，令特征方程中的令特征方程中的s =j得：得： 令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到=0，K=0或或 。因此根轨迹在。因此根轨迹在 处与虚轴相交，处与虚轴相交，交点处交点处K=6。实轴上的。实轴上的根轨迹在根轨迹在=0处也处也与虚轴相交。与虚轴相交。根轨迹在实轴上根轨迹在实轴上的的-1，0段有一个分离点，根据段有一个分离点，根据规则规则6，有有 整理整理得得

20、： 32+6+2=0 解解得得=-0.423，=1.577，显然只有，显然只有-0.423在根轨迹上。在根轨迹上。0)2()3(2)( 3)(3223 jKKjjj6,2 K 2 021111 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根轨迹从根轨迹从p1，p2，p3出发的出射角已经很明确，为了验证出发的出射角已经很明确，为了验证规则规则7，还可计算一下：还可计算一下： 180180180180,01800180pp 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理以上根据基本规则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上以上根据基本规

21、则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上的的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不准确了。要做到根轨迹图准确，按传统方法要用试验点的办准确了。要做到根轨迹图准确，按传统方法要用试验点的办法进行细化，很繁琐也不可能有高的精度；按现代方法用法进行细化，很繁琐也不可能有高的精度；按现代方法用MatlabMatlab可以快而准地绘出高精度根轨迹图可以快而准地绘出高精度根轨迹图。显然，基本规则是具有指导意义的，但在一些特定的情况中，显然，基本规则是具有指导意义的，但在一些特定的情况中，仅依靠基本规则可能方案不唯一，下面举例说明：仅依靠基本规则可

22、能方案不唯一，下面举例说明： 如前面图示的负反馈控制系统，其开环传递函数为如前面图示的负反馈控制系统，其开环传递函数为11,)(1()3()()(2 aasssssKsHsG第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理(b)(a)如果按基本规则，图如果按基本规则，图(a)和图和图(b)两种形状都有可能性，实际两种形状都有可能性，实际上用上用Matlab绘出是图绘出是图6(a)，当，当a增加时根轨迹的中间部分在增加时根轨迹的中间部分在变化，当变化，当a =12时时Matlab绘出根轨迹如图绘出根轨迹如图(b)。 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理

23、v有时系统需要调整的不是开环增益有时系统需要调整的不是开环增益K，而是其它参数。在，而是其它参数。在这些情况下，如果能够将闭环特征方程变形，得到与典这些情况下，如果能够将闭环特征方程变形，得到与典型根轨迹方程相似的形式，就可以套用其绘制方法了。型根轨迹方程相似的形式，就可以套用其绘制方法了。v有时控制系统增加开环零点以改善动态性能，图有时控制系统增加开环零点以改善动态性能，图(a)所示所示系统就是一个例子，其中参数系统就是一个例子，其中参数T到底选多大？可以借助根到底选多大？可以借助根轨迹来确定。轨迹来确定。4.3特殊根轨迹图特殊根轨迹图第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动

24、控制原理该系统的闭环特征方程为：该系统的闭环特征方程为： 上式两边同上式两边同除除s(1+5s)+5就就得到：得到： 将式中将式中的的T作为作为参量，它就是典型的根轨迹方程形式，参量，它就是典型的根轨迹方程形式，055)51( Tsss01)2 .0(1 ssTs第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理因为因为 所以等价为典型根轨迹方程后，相当于所以等价为典型根轨迹方程后，相当于 n=2，m=1，z1=0，p1,2=-0.1j0.95v注意注意： 这里这里的的z1，p1，p2并不是图并不是图(a)所示系统的开环零、极点所示系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，

25、等价系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，等价系统的开环零、极点，这是与典型根轨迹的主要区别。这是与典型根轨迹的主要区别。)995. 01 . 0)(995. 01 . 0(1)2 . 0( sjsss第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理这样，用基本规则就可绘出其根轨迹，这样，用基本规则就可绘出其根轨迹，如图如图(b)所示。它明所示。它明确表示了图确表示了图(a)系统中，系统中，T 对对闭环极点的影响。闭环极点的影响。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v有时控制系统需增加开环极点，图有时控制系统需增加开环极点，图(a)所示系统

26、就是一个引所示系统就是一个引入滤波器而增加了开环极点的例子。入滤波器而增加了开环极点的例子。该系统的闭环特征方程为：该系统的闭环特征方程为： 两边两边除除s(s+1)+K 得得0) 1() 1() 1)(1(2 sTsKssKTsss0)1()1(12 KsssTs(2)开环极点为参量的根轨迹开环极点为参量的根轨迹第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理将上将上式中的式中的K取固定常数，取固定常数，T作为参量，它就是典型根轨作为参量，它就是典型根轨迹方程的形式，相当于迹方程的形式，相当于n=2，m=3，n0)： 这时特征方程变成：这时特征方程变成： 对应的相角条件变成：

27、对应的相角条件变成：).()().()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG 0).()().()(12121 nmpspspszszszsK2 , 1 , 0,360)()(11 kkpszsinilml2.正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v这种情况主要发生在系统闭环为正反馈等特殊情况，比如这种情况主要发生在系统闭环为正反馈等特殊情况，比如有的多环控制系统将某个内环设计为正反馈。有的多环控制系统将某个内环设计为正反馈。由于由于相角条相角条件的改变，导致基本规则件的改变，导致基本规则3、4和和7必须修改。必须

28、修改。规则规则3：渐近线：渐近线与实轴的夹角为与实轴的夹角为规则规则4：实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极：实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。，那么该段就一定是根轨迹的一部分。规则规则7：根轨迹的出射角和入射角公式中的：根轨迹的出射角和入射角公式中的180，均改为，均改为360。1| , 2 , 1 , 0,3600 mnkmnkk 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 考虑前面图示的反馈控制系统，设其开环传递函数为考虑前面图示的反馈控制系统，设其开环传递函数为用用Matlab绘出根轨迹如图，

29、它印证了上述三点改动。绘出根轨迹如图，它印证了上述三点改动。 )3)(2()1()()( ssssKsHsG第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v考虑含有延迟环节的系统：考虑含有延迟环节的系统： 其其闭环特征方程为：闭环特征方程为： 当当K给定时它有无穷多个根，所以根轨迹有无穷多支。给定时它有无穷多个根，所以根轨迹有无穷多支。 方程方程就是就是 所以对应的相角条件为：所以对应的相角条件为：01)()( sKesHsGTs011 sKeTs11 sKeTs, 2, 1 , 0,180)12()1(10 kksesKeTsTs3.延迟环节的根轨迹延迟环节的根轨迹第第4章

30、章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 由于由于 e Ts =e jT = -= -T(弧度弧度) = - -T 57.3所以相角条件变成：所以相角条件变成：(s+1)=(2k+1)180- -T 57.3 当当k=0时相角条件为：时相角条件为：(s+1)=180- -T 57.3 如果复平面上任一点满足如果复平面上任一点满足，条件就在根轨迹上，否则就不在条件就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。条件还与根轨迹上。条件还与大小有关，若大小有关，若=0，实轴上满足，实轴上满足(s+1)=180的点的点就就在根轨迹上，显然实轴上在根轨迹上，显然实轴上(，1段上段上的点均在根轨迹上；再

31、如的点均在根轨迹上；再如=1直线上的点，如果试验点直线上的点，如果试验点s1满满足足(s+1)=180条件，条件，就在根轨迹就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。上。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 这样，可以这样，可以作出作出k=0时时的根轨迹如图所示。的根轨迹如图所示。当当k=1，2，时，相角条件各不相同，取时，相角条件各不相同，取T=1，根据各自，根据各自的相角条件可以绘出的相角条件可以绘出k=1，2，时的根轨迹图。这样的根时的根轨迹图。这样的根轨迹分支有无穷个。轨迹分支有无穷个。 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控

32、制原理第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理由图可以看出，当由图可以看出，当k=0时，临界增益时，临界增益K0=2，当，当k=1时，临界时，临界增益增益K0=8，当当k=2时，临界增益时，临界增益K0=14，即，即k 越大临界越大临界增益增益K0也越大。这是必然结果，因为临界增益对应根轨迹也越大。这是必然结果，因为临界增益对应根轨迹上上s=j的点，从相角条件知道的点，从相角条件知道s=j时时k越大越大越大，再从幅越大，再从幅值条件：值条件： 知道知道越大越大K也越大。所以在分析稳定性时，只需看也越大。所以在分析稳定性时，只需看k=0的的根轨迹图就行了。根轨迹图就行了。

33、|1|1| jejKj 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理用用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子来说绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子来说明用法。明用法。 考虑本章开始所举例的闭环负反馈控制系统，设考虑本章开始所举例的闭环负反馈控制系统，设用用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，并分别填入分子向量并分别填入分子向量num和分母向量和分母向量den中，然后调用绘制中，然后调用绘制根轨迹的专用函数根轨迹的专用函数rlocus就行了就行了。)14 . 1)(6)(4()42(

34、)()(22 sssssssKsHsG4.4用用MATLAB绘制根轨迹图绘制根轨迹图第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理对于本例，最简单的程序就是：对于本例，最简单的程序就是： 在在Matlab的命令窗（的命令窗（CommandWindow）中执行这个程）中执行这个程序，运行后就自动绘出根轨迹图。序，运行后就自动绘出根轨迹图。从根轨迹图可以看出：当从根轨迹图可以看出：当0K14或或64Knum=124;den=111.63943.6240;rlocus(num,den) 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程

35、：自动控制原理课程：自动控制原理v在在MATLAB窗中，进入窗中，进入FileExport，可将绘出的根轨迹图，可将绘出的根轨迹图存为需要的图形文件，比如命名为存为需要的图形文件，比如命名为Exam2.pcx，这个图形，这个图形文件可以插入文件可以插入Word文挡。文挡。 与与绘制根轨迹有关的函数还有：绘制根轨迹有关的函数还有：pzmap绘制根轨迹的开环零、极点。绘制根轨迹的开环零、极点。rlocfind计算给定点的计算给定点的K值。值。sgrid在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格。栅格。zgrid在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率

36、在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格。栅格。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理例如，在上列程序之后增加语句：例如，在上列程序之后增加语句： 执行执行后用光标左单击根轨迹上的任一点，会同时在每支根后用光标左单击根轨迹上的任一点，会同时在每支根轨迹上出现红十字轨迹上出现红十字标出标出n个闭环极点的位置，命令窗个闭环极点的位置，命令窗中出现这中出现这n个闭环极点的座标该点和它们对应的个闭环极点的座标该点和它们对应的K值。值。 也可以在也可以在MATLAB窗中进入窗中进入FilesNew，打开编辑器，在，打开编辑器，在编辑器窗口编写上述程序，并创建一个编辑器窗口

37、编写上述程序，并创建一个M文件，比如命名文件，比如命名为为ROT2.m，然后在命令窗中运行文件名（，然后在命令窗中运行文件名（ROT2）。）。k,p=rlocfind(num,den) 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点要深刻得多。比如，环极点要深刻得多。比如，当当K在在(0，)间取值时，如果间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚轴的支根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不管左边，就意味着不管K取任何值，闭环系统都是稳定的。取任何值，闭环系统都是稳定的。反之反之，根轨

38、迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管着不管K取何值，闭环系统都不可能稳定。取何值，闭环系统都不可能稳定。这种情况下，这种情况下，要使系统稳定，就必须增加开环零、极点，即改变系统要使系统稳定，就必须增加开环零、极点，即改变系统的结构，而不仅仅是改变系统的参数。的结构，而不仅仅是改变系统的参数。4.5控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果根轨迹没有任何一支全部位于虚轴右侧，而如果根轨迹没有任何一支全部位于虚轴右侧，而是有一支或多支根轨迹，由是有一支或多支根轨迹，由s平面的一侧穿

39、越虚轴平面的一侧穿越虚轴进入进入s平面的另一侧，就说明闭环系统的稳定是有平面的另一侧，就说明闭环系统的稳定是有条件的。知道了根轨迹与虚轴交点处的条件的。知道了根轨迹与虚轴交点处的K值，就可值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的以确定稳定条件，进而确定合适的K值。值。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理初学者初学者容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画根轨迹图时首先标在图上的是开环零极点，根轨根轨迹图时首先标在图上的是开环零极点，根轨迹的起点又是开环极但，因此误认为根轨迹上的迹的起点又是开环极但，因此误认为根轨迹上的点都是开环极点，这

40、是不对的。根轨迹图上除了点都是开环极点，这是不对的。根轨迹图上除了起点和终点外，其它点都是闭环极点的可能取值。起点和终点外，其它点都是闭环极点的可能取值。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理但是开、闭环又具有相对性，在下图示多环系统中，对于内但是开、闭环又具有相对性，在下图示多环系统中，对于内环，环，G1(s)H1(s)是开环传递函数，其极点是开环极点；而闭是开环传递函数，其极点是开环极点；而闭环传递函数是环传递函数是1(s)=G1(s)/1+G1(s)H1(s)，其极点是闭环极，其极点是闭环极点。对于外环，点。对于外环，1(s)G2(s)H2(s)是开环传递函数，

41、其极点是是开环传递函数，其极点是外环的开环极点，外环的开环极点，1(s)的极点只是外环开环极点的一部分。的极点只是外环开环极点的一部分。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理可见，多环系统也可以用根轨迹进行分析。一般，首先依可见，多环系统也可以用根轨迹进行分析。一般，首先依据据G(s)H(s)的零、极点，绘制内环的根轨迹图，选择合适的零、极点，绘制内环的根轨迹图，选择合适的的K1使内环稳定；再依据使内环稳定；再依据1(s)G2(s)H2(s)的零、极点，绘制的零、极点，绘制外环的根外环的根轨迹图，选择合适的轨迹图，选择合适的K2使外环稳定。使外环稳定。第第4章章 根轨

42、迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理类似的问题还有开环稳定性和闭环稳定性，开环稳定的充类似的问题还有开环稳定性和闭环稳定性，开环稳定的充要条件是开环极点都位于要条件是开环极点都位于S平面的左半平面。平面的左半平面。 开环开环稳定不意味着闭环稳定，开环不稳定也不意味着闭环稳定不意味着闭环稳定，开环不稳定也不意味着闭环不稳定，但是开环极点确实对闭环稳定有着重要影响，因不稳定，但是开环极点确实对闭环稳定有着重要影响，因为开环零、极点对根轨迹图有重要影响。为开环零、极点对根轨迹图有重要影响。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v对于下图所描述的系统，影响系统稳定

43、性有三大因素：对于下图所描述的系统，影响系统稳定性有三大因素：开环增益、开环极点、开环零点。开环增益的影响上面开环增益、开环极点、开环零点。开环增益的影响上面已经讨论，现在讨论开环零、极点的影响。已经讨论，现在讨论开环零、极点的影响。下面图下面图(a)(f)给出了对应系统的根轨迹图。给出了对应系统的根轨迹图。图图(a)、图、图(b)所对应系统的开环传递函数分别为：所对应系统的开环传递函数分别为：)2)(1()3()()(:)2)(1()()(:sssKsHsGbssKsHsGa图图2.开环零极点对系统的影响开环零极点对系统的影响第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理

44、)2)(1()()(:ssKsHsGa图)2)(1()3()()(:sssKsHsGb图第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 以图以图(a)所示系统为参照，在它基础上增加开环零、极点，所示系统为参照，在它基础上增加开环零、极点，研究它们对系统的影响。研究它们对系统的影响。当当K0时，图时，图(a)，(b)代表的系统代表的系统始终是稳定的始终是稳定的第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 但图但图(b)代表的系统，可以选择到一对比图代表的系统，可以选择到一对比图(a)离虚轴更远离虚轴更远的闭环极点，这说明的闭环极点，这说明增加合适的位于虚轴左

45、侧的开环零点增加合适的位于虚轴左侧的开环零点，既可以增加稳定裕度又可以提高快速性。既可以增加稳定裕度又可以提高快速性。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 图图(c)、(d)所对应的系统开环传递函数分别为：所对应的系统开环传递函数分别为：)2)(1()3()()(:sssKsHsGc图)3)(2)(1()()(:sssKsHsGd图第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(c)增加的是位于虚轴右侧的零点，显然，这时系统增加的是位于虚轴右侧的零点，显然，这时系统只有在只有在K0.67时才是稳定的，这说明增加位于虚轴右侧的时才是稳定的，这说明

46、增加位于虚轴右侧的开环零点，一般使稳定性下降。开环零点，一般使稳定性下降。 )2)(1()3()()(:sssKsHsGc图第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果如果系统具有位于虚轴右侧的零点系统具有位于虚轴右侧的零点(不管是固有的还是加不管是固有的还是加入的入的)，就称之为，就称之为非最小相角系统非最小相角系统。从从本例可以看出：非本例可以看出：非最小相角系统的动态性能需要认真对付。最小相角系统的动态性能需要认真对付。)2)(1()3()()(:sssKsHsGc图第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(d)增加的是位于虚轴左侧的极

47、点，显然，这时系统只有增加的是位于虚轴左侧的极点，显然，这时系统只有在在K60时才是稳定的。与图时才是稳定的。与图(a)相比说明：给开环系统增相比说明：给开环系统增加位于虚轴左侧的极点，一般也会使稳定性下降。加位于虚轴左侧的极点，一般也会使稳定性下降。)3)(2)(1()()(:sssKsHsGd图第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(e)是在图是在图(d)基础上基础上,再增加一个位于虚轴左侧的再增加一个位于虚轴左侧的零点，闭环系统的稳定性又大大提高。零点，闭环系统的稳定性又大大提高。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图图(f)是在

48、图是在图(a)基础上增加位于虚轴右侧的极点，这时从该极点出基础上增加位于虚轴右侧的极点，这时从该极点出发的一支根轨迹全部位于虚轴的右边，这意味着不管发的一支根轨迹全部位于虚轴的右边，这意味着不管K取何值，取何值，闭环系统都不可能稳定，所以增加位于虚轴右侧的极点是不可闭环系统都不可能稳定，所以增加位于虚轴右侧的极点是不可取的。取的。但是如果再增加一个合适的位于虚轴左侧的零点，该系但是如果再增加一个合适的位于虚轴左侧的零点，该系统会变成条件稳定。统会变成条件稳定。 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v在设计控制系统时，为了使系统阶次降低或者为了抵消在设计控制系统时，为

49、了使系统阶次降低或者为了抵消大的惯性环节，有时用大的惯性环节，有时用控制器控制器的的零零(极极)点去抵消被控对象点去抵消被控对象的极的极(零零)点，这在大多数情况下是有利的，但也有例外。点，这在大多数情况下是有利的，但也有例外。图图(a)是下列三阶系统的根轨迹是下列三阶系统的根轨迹： 附加附加一个零点一个零点z1=-1去低消系统的一个稳定去低消系统的一个稳定p1=-1极点，这极点，这样系统的传递函数变成：样系统的传递函数变成：1,)1)()()(121 psspsKsHsG1)1)()1()()(221 ssKsspssKsHsG3.零、极点相消问题零、极点相消问题第第4章章 根轨迹法根轨迹法

50、课程：自动控制原理课程：自动控制原理 其其根轨迹如图根轨迹如图(b)所示，可见系统的稳定性大大提高了。所示，可见系统的稳定性大大提高了。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 现在考虑建模误差的现在考虑建模误差的影响，如果开环传影响，如果开环传递函数参数不准确，递函数参数不准确，假设实际系统假设实际系统p1=-0.8我们却按我们却按p1=-1建建模，这样零极点不模，这样零极点不能正好抵消，根轨能正好抵消，根轨迹变成图迹变成图(c)。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 现在考虑建模误差的现在考虑建模误差的影响，如果开环传影响，如果开环传递函

51、数参数不准确，递函数参数不准确，假设实际系统假设实际系统p1=-1.2我们却按我们却按p1=-1建建模，这样零极点不模，这样零极点不能正好抵消，根轨能正好抵消，根轨迹变成图迹变成图(d)。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理(c) (d) 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理1,)1)()()(121 psspsKsHsG根轨迹图清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然根轨迹图清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然提高了系统的稳定性。但是，情况不都是这么乐观，考察提高了系统的稳定性。但是，情况不都是这么乐观，考察下列三阶系统下列三阶

52、系统：第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果用零点如果用零点z1=1抵消系统的不稳定极点抵消系统的不稳定极点p1=1，系统开环传，系统开环传递函数变成：递函数变成： 根轨迹根轨迹如图如图(e)，零、极点正好相消，系统的稳定性大大提，零、极点正好相消，系统的稳定性大大提高。考虑建模误差的影响，假设实际系统高。考虑建模误差的影响，假设实际系统p1=0.8，不宜用不宜用零、极点相消的办法抵消系统的不稳定极点或零点。零、极点相消的办法抵消系统的不稳定极点或零点。)1)()1()()(21 sspssKsHsG(f) (e) 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课

53、程：自动控制原理如如前所述，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极点，实际上前所述，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极点。每一个闭环极时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极点。每一个闭环极点点si对应时间响应中的一个因子对应时间响应中的一个因子exp(sit)，称为系统的一个模，称为系统的一个模态态(Mode)，si在在s平面上的位置决定了它对应的暂态分量的平面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。运动形式。4.闭环零极点与时间响应闭环零极点与时间响应第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v系统的动态性能最终体现在时间响应上，影

54、响时间响应的因系统的动态性能最终体现在时间响应上，影响时间响应的因素有两个：闭环传递函数和输入函数。前面已经分析，素有两个：闭环传递函数和输入函数。前面已经分析，时间时间响应的暂态分量主要取决于闭环零、极点响应的暂态分量主要取决于闭环零、极点；时间响应的稳态；时间响应的稳态分量主要取决于输入函数和系统的型别。分量主要取决于输入函数和系统的型别。4.闭环零极点与时间响应闭环零极点与时间响应第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v下面图中表示了下面图中表示了si分布于分布于s平面上不同位置所对应的暂态分量。平面上不同位置所对应的暂态分量。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：

55、自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：1)左右分布决定终值。即，左右分布决定终值。即，si位于虚轴左边时暂态分量最终衰位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，减到零，si位于虚轴右边时暂态分量一定发散，位于虚轴右边时暂态分量一定发散，si正好位于正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：2)虚实分布决定振型。就是，虚

56、实分布决定振型。就是，si位于实轴上时暂态分量为位于实轴上时暂态分量为非周期运动，非周期运动，si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。位于虚轴上时暂态分量为周期运动。 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：3)远近分布决定快慢。具体讲就是，远近分布决定快慢。具体讲就是，si位于虚轴左边时离位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点点“主宰主宰”系统响应的时间最长，被称为主导极点。系统响应的时间最长，被称

57、为主导极点。 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：分布所对应的暂态分量，规律可以总结为：1)左右分布决定终值。即，左右分布决定终值。即，si位于虚轴左边时暂态分量最位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，终衰减到零，si位于虚轴右边时暂态分量一定发散，位于虚轴右边时暂态分量一定发散，si正正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。2)虚实分布决定振型。就是，虚实分布决定振型。就是，si位于实轴上时暂态分量为位于实轴上时暂态分量为非周期运动，非周期运动，si位于虚轴上时暂

58、态分量为周期运动。位于虚轴上时暂态分量为周期运动。3)远近分布决定快慢。具体讲就是，远近分布决定快慢。具体讲就是，si位于虚轴左边时离位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点点“主宰主宰”系统响应的时间最长，被称为主导极点。系统响应的时间最长，被称为主导极点。 第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。 非非

59、主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的25倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。 主导极点主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的60扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：第第4章章 根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般先配置主导极点，然后配置非主导极点。律，一般

60、先配置主导极点，然后配置非主导极点。 非非主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的主导极点与虚轴的距离，应当是主导极点与虚轴距离的25倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。倍，这样系统的时间响应就主要取决于主导极点。 主导极点主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边的60扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似。二阶系统的动态性能是分析得最个二阶欠阻尼系统相似。二阶系统