带电粒子在磁场中运动的最小范围问题

1、带电粒子在磁场中运动的最小范围问题、磁场范围为圆形b处穿过工轴，速度方例i 一质量为淤、带电量为q的粒子以速度%从o点沿y轴正方向射入磁感强度为b的 一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从向与1轴正向夹角为30° ,如图1所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积;(2)粒子从O点进入磁场区到达 匕点所经历的时间;(3)方点的坐标。解析:（1）由题可知，粒子不可能直接由 O点经半个圆周偏转到在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到B点。可知，其离开磁场时的临界点与 O点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图 2,过6点逆着速度%的方向作虚线，

2、与轴相交，由 于粒子在磁场中偏转的半径一定， 且圆心位于工轴上，距O点距离和到虚线上a点垂直距离 相等的°i点即为圆周运动的圆心，圆的半径 R =吗 =01a 。图2/的一半，即：222 qB产=噬，产石。弦长M为=瓦要使圆形磁场区域面积最小，半径应为£ 一加一21面积1 .1 _ 2成/叫 2沏I T -=（2）粒子运动的圆心角为 1200,时间 33 3qB。d = 3R二也处位）距离弦，故b点的坐标为（然，0）。点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等

3、于粒子运动轨迹的弦长。二、磁场范围为矩形例2如图3所示，直角坐标系 北少第一象限的区域存在沿 /轴正方向的匀强电场。 现有-质量为加，电量为0的电子从第一象限的某点 P（L ,）以初速度外沿1轴的负方向L开始运动，经过 工轴上的点0（4,0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与 y轴、1轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点q并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力。求(1)电子经过。点的速度V ；(2)该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积 j。解析：（1）电子从P方向： 82,水平方向：4解得 9£ 。而卜 3 ，所以电子经过U点时

4、的速度为: 产师畔”设i方向的夹角为吟（2）如图4,电子以与一X成30。进入第四象限后先沿。跟做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿/轴向上的速度经过 O点。可知圆周运动的圆心O, 一定在x轴上，且。点到。点的距离与到直线 Q必 上M点（M点即为磁场的边界点） 的垂直距离相等，找出点，画出其运动的部分轨迹为弧 MNO所以磁场的右边界和下边界就确定了。设偏转半径为R,V evB =僧、R ,由图知OQ = 43 _班叽=3R ,解得 鼠,方向垂直纸面向里。311Loc=-R = -L Q= 矩形磁场的长度火 28 ,宽度1214矩形磁场的最小面积为：''一&#

5、39;点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程，解题思路相似，关键要注意矩形磁场边界的确定。三、磁场范围为三角形 例3如图5, 一个质量为 期，带电量的粒子在 BC边上的M点以速度V垂直于BC边飞入正三角形 ABC为了使该粒子能在 AC边上的N点（CM= CN垂真于AC边飞出ABC可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应弓11度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：(1)(2)(3)粒子在磁场里运动楹幕半径r及周期T;该粒子在磁场里运动的时间t;该正三角形区域磁场的最小边长；qvB = m T =解析：（1）由和 v ,W2f -

6、得： 时 ，qB（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图6作出圆Q粒子的运动轨迹为弧 GDEF圆弧在G点与初速度方向相切， 在F点与出射速度相切。画出三角形 abc ,其与圆弧在 D E两点相切，并与圆 O交于F、G 两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知/FOG= 600,所以粒子偏转的圆心角55视t 为300°,运动的时间6 3gs,r OH =r（3）连接a。并延长与bt交与h点,由图可知ao = 2r,2 ao-oH _ 2r + r

7、cos30° 加（4 十）l .把一cos 300= 也点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。另外， 在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。四、磁场范围为树叶形例4在工寸平面内有许多电子（质量为 加、电量为0）,从坐标O不断以相同速率 跖沿不同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个垂直于 立少平面向内、磁感强度为 B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于】轴向不正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。解析：电子在磁场中运动半径一4是确定

8、的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆 O和圆Q为从圆点射出，经 第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆Q在x轴上方的1/4个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧OOQ。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。 可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线OQ）向上平移一段长度为 一会的距离即图9中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为图8磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V）与x轴夹角为0 ,若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（ x, y）,从图10中看 出，一加力即心o-即和（x>0, y>0）,这是个圆方程，圆心在（0,R处，圆的1/4圆弧部分即为磁场区域的下边界。点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，I八5，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。.由以