对导数教学的一些思考

1、对导数教学的一些思考 嘉兴第三中学 沈文飞【摘要】 本文主要阐述了导数内容对高中数学教学和学习的几个方面的影响：一、导数在解决函数问题中的工具作用，其中列举了有关函数单调性、极值、不等式三个典型的用导数解决的例子。二、在导数教学过程中遇到的问题，主要是导数概念比较难理解，以及对几个导数概念呈现形式探究和挖掘。三、初高等数学教学的衔接问题，导数内容放到高中来教学是处理出高等数学教学衔接问题的初步尝试。【关键词】 导数概念 瞬时变化率 无穷小量 初高等数学教学的衔接导数思想最初是法国数学家费马为解决极大、极小问题引入的。但导数作为微分学中的主要概念之一，却是牛顿和莱布尼兹分别在研究力学与几何学的过

2、程中建立的。微积分是数学分析中最重要的基础内容之一，被称之为数学的门扉。现在把导数中的一部分内容放到高中来学习，用它来研究函数的性态，可以很方便的解决一些用其他初等方法不便解决的函数问题。但由此也带来了很多的问题，比如求导公式中的问题；学生没有学过极限对导数概念难理解问题；另外导数加入到高中内容是否争强了学生学习数学的兴趣，是否有利于初高等数学教学的衔接，这些都有值得商榷的地方。本文就针对以上这些问题发表自己的观点。一、导数在解决函数问题中的工具作用导数的本质是函数的瞬时变化率；几何意义是切线的斜率。所以通过导数可以研究函数的单调性以及与单调性有关的数学问题。简单的说函数在某点的瞬时变化率（导

3、数）大于0，则函数在该点是增的趋势；若在某个区间上每点都是增的趋势，那么函数在该区间上就是单调增函数了；反之，就是减函数。例如求的单调区间，用一般的方法很难去解决这个问题，但用导数这个问题比较容易就解决了，只要解出导数大于0，和小于0时的范围，就可以得到函数的单增和单减区间了。解：函数的定义域为令，即，可得所以函数的单调递增区间为同理可得函数的单调递减区间为，而且进一步可以得到函数在时取得极小值为， 这样的话对函数的一般性态基本了解了，可以基本画出函数的草图如图1。从而对函数有一个比较形象的概念。函数的极值不仅在实际中有重要的应用，而且也是函数性态的重要特征。在高中阶段要了解一些比较复杂函数的

4、极值，只有通过导数这个途径来求 ，例如求的极值点与极值。解：在R上连续，当时，有，令，可以得到，它可能是极值点；当时，函数导数不存在，但这个点也要加以考虑。现列表讨论如下：01+不存在-0+0-3由上表可见为函数的极大值点，极大值；为函数的极小值点，极小值。通过对函数以上性质的研究可大致画出函数图象，如图2。从上例我们可以看出在求函数极值的过程中导数起着决定性的作用。我们也可以总结出求极值的必要条件和充分条件。必要条件：若函数在处可导，且在处取得极值，则。第一充分条件：设在连续，在内可导，若当时，当时 ，则在处取得极小值；若当时，当时，则在处取得极大值。若函数二阶可导上面充分条件还可以改写成第

5、二充分条件：设在的某个邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，则当，在处取得极大值；当，在处取得极小值。这里这里说明一下，二阶导数的正负描述的是一阶导数的单调性情况，表示一阶导数在处是增的趋势，而，所以时，在时，则说明是函数的极小值点；同理时在处取得极大值。对于上例二阶导数为，则，所以在函数有极小值。利用导数还可以解决变量之间比较大小问题，例如证明：，若没有学导数，解决这个问题需要用三角函数线或者利用函数图象，比较形象但严谨性不够，现在看利用导数如何解决。证明：设则 ，因为，所以，那么得到，所以在上单调递增，而，所以时，即，从而得到。用这种方法解题要用到的是转化和化归数学思想，把不等式和函数单调性联

6、系起来，利用函数单调性很好的解决了这个问题。这对学生的数学水平和数学能力的要求是比较高的。学生对数学知识的内在联系要有十足的把握，把新学的知识内化到原有的数学体系中去，成为其中的一部分。我们数学教师就是帮助学生去完成这个必需要做的工作。以上这些例子充分说明了导数在高中数学中的地位，特别是在研究函数为题以及与函数有关问题时起到的特殊作用，是用其他初等方法无法取代的。但同时在导数的教学过程中也存在着很多问题。这些问题中最根本问题是对导数概念的教学，以及学生对导数概念的理解存在一定的水平和能力的落差。二、在导数教学过程中遇到的问题课本中是这样给出导数概念的：一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为

7、在的导数，记作或，即。其实导数公式具体的说也就是函数在点的某个邻域内有定义, 当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时, 相应地函数取得增量，如果当0时，与的比值的极限存在, 则称函数在点处可导, 并称这个极限为函数在点处的导数。在对概念的理解过程中回碰到这样的认知矛盾：0和到最后又变成0。一般学生对变小是认可的，但变的再小，它总归有一定的量，为什么最后可以和0等价起来呢！这很难理解。比如根据定义求在处的导数，解：。在这个运算过程中最后等价成0，又怎么能在同一等式作为分母出现呢！从极限的观点看，可以看成“无穷小量”就是极限为零的变量，在变化过程中，它可以是“非零”，但它的变化趋向是“零”，无限

8、地接近于“零”。极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量”与“零”的内在联系。对于这个“无穷小量”,数学家们经过一百多年的艰苦探索历程,才建立了完整的理论。对我们这样的高中生在这么短的时间内要了解和掌握导数的概念，是非常困难的。所以有鉴于此，所以许多教师在教学上回避了对“导数概念”进一步挖掘，只要求根据公式能够解决一些数学问题就可以了。把这个难点放到大学里再解决，因为到那时学生具备可以理解这个概念的数学认知能力。由于导数的概念很难理解，所以在教材中用导数的几何意义去解释导数的概念，这非常形象，学生也比较容易接受。从割线到切线，可以说是从量变到质变的过程，也可以说是从宏观到微观。从图3上我们可以看

9、出在向靠近时可以看成是在量变的过程， 图3当与重合时直线与函数图像的位置关系发生了质变相切。从另一个角度说割线的斜率反映的是一段函数图像（不可数个点）的变化平均变化率，这是宏观的；而切线的斜率反映的是一个切点的变化趋势，这是微观的。导数几何意义的本质是将函数在某一点的瞬时变化率放大为直线形式表现出来。学生是比较容易就接受导数的几何意义，但要从导数的几何意义中去发现导数本质的内容还是相当困难的，所以需要我们教师的引领。对导数概念呈现还有数值逼近的方法：对给定函数，求函数在处的导数，只要在附近取一个数列，使得，然后求平均变化率，当越来越大时，趋向于某个数值，这个值就称之为在处的导数。这种数列逼近的

10、方法只有对一般的初等连续可导函数的求导有非常有用的，对一些特殊的函数不能适用。比如求在处的导数，用数列逼近的方法求导数，如取数列，所以，但实际上函数在处导数不存在。因为高中函数很少碰到这种函数，所以数列逼近方法还是可取的。但我觉得在运用时应该向学生解释这种方法的局限性。在导数的教学中，我认为应该“轻概念重运用”。“轻概念”这和我们以往一般的数学教学理念相矛盾，就是因为这个知识点和以往的不一样，它是高等数学的门扉，真正把知识点学透彻难度很大。在这里“轻概念”不是说遇到概念就放在一边不管，而是点到即止。给学生留下一个自己想象的空间。这好像是给导数蒙上了一层纱，让它带着神秘感。学生对它就会有好奇心，

11、这可能成为他以后学习数学的动力之一。“重运用”是把导数当成研究函数的重要工具之一，从上面这些例子我们可以看出导数在解决数学问题时的特殊作用，很难用其他方法去代替。但我们在实际的教学中“重运用” 已经太过头了。很多学生不是对数学感兴趣而学数学的而是把学习数学作为进入高校的奠基石，所以学习数学只有一个目的就是把高考卷上的数学题目做出来，才不断的重复着练习，而且高考成绩是衡量一个教师教学水平的重要指标之一，两者结合的结果可想而知。三、初高等数学教学的衔接出现问题把导数这块内容放到高中来学习，编者的本意我想主要针对初高等数学的衔接问题的，把初高等数学知识认知形成螺旋式上升结构，先让学生了解一些概念，然

12、后一步一步把知识加深拓展。由于各种原因对这块内容的教学效果远没有达到编者所期望的教学目标，甚至离它越来越远。为了应付高考，教师强化了对导数的练习，只是一种套用公式的训练，枯燥乏味。没有展现数学的思维的严密性，没有体现数学的美，没有激发学生的学习兴趣。实际的数学教学太重解题方法和技巧，轻数学思想。所以许多刚刚跨入高等院校学习的大学生普遍反映,在学习高等数学这门基础课时,往往感到不适应。即便是初等数学基础很好的学生,也有不少人在高等数学的学习过程中苦苦挣扎,取不到理想的成绩。其中主要的原因之一是：大学数学知识下放到中学,但多数学学生似懂非懂,一知半解,知其然不知其所以然,有些还停留在模仿阶段,这些

13、都给大学数学课堂教学带来很大的困难。教学中遇到这些内容,是重新教,还是不教? 如果不教,学生必然基础不牢,这将影响其后续课程的学习。如果教,由于学生对这部分内容多少有些了解,已没有新鲜感,失去了求知的欲望,学习的原动力不足,势必对大学数学的学习产生负面影响。为了研究初高等数学衔接出了的问题，广西省部分高校还做过这样的一个调查：广西师范学院、广西师范大学、广西民族大学对05 级数学专业学生的高考数学成绩与大学数学成绩的相关系数调查中发现高考数学成绩与大学数学成绩相关系数很小,标准差扩大到十几分,两极分化严重。例如广西师范学院数学专业学生的入学成绩平均分为71. 15 ,标准差为6. 77 ,高考成绩标准差的差距不大,符合高考选拔规律,而一年后,数学分析、高等代数、空间解析几何三门基础课程平均成绩分别是68. 41 、74. 08 、73. 66 , 标准差分别为17. 28 、16. 98 、15. 23 , 与高考数学成绩的相关关系数分别是0. 28 、0. 31 、0. 30 。这是一个地区高校出现的上述情况,虽然不一定全面反映我国的教学状况,但初等数学与大学数学教学的衔接问题确实已经相当令人忧心了。导数的基础内容放到高中来学习是要解决出高等数学教学衔接问题的初步尝试。所以我们高中数学教师不但要关