[数问答]怎样证明不等式

1、.数学问答怎样证明不等式不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵敏，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。步骤/方法比较法比较法是证明不等式的最根本方法，详细有作差比较和作商比较两种。根本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式或分式时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式或幂指数式时常用作商比较例1a+b0，求证：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而到达证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

2、a3+b3a2b+ab2=a2a-b-b2a-b=a-ba2-b2证明： =a-b2a+b又a-b20a-b2a+b0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、bR+，且ab，求证：aabbabba分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a0的前提下用作商比较法，作商后同1比较大小，从而到达证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小证明：由a、b的对称性，不妨解a0那么aabbabba=aa-bbb-a=aba-bab0，ab1，a-b0aba-bab0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba练习1 a、bR+，nN，求证a+ban+bn2an+1+

3、bn+1根本不等式法利用根本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的根本不等式及 变形有：1假设a、bR，那么a2+b22ab当且仅当a=b时，取等号2假设a、bR+，那么a+b 2ab 当且仅当a=b时，取等号3假设a、b同号，那么 ba+ab2当且仅当a=b时，取等号例3 假设a、bR， |a|1，|b|1那么a1-b2+b1-a21分析：通过观察可直接套用： xyx2+y22证明： a1-b2b1-a2a2+1-b22+b2-1-a22=1b1-a2+a1-b21，当且仅当a1+b2=1时，等号成立练习2：假设 ab0，证明a+1a-bb3综合法综合法就是从或已证明过的不等式出发，根

4、据不等式性质推算出要证明不等式。例4，设 a0，b0，a+b=1，证明:a+1a2+B+1b2252证明： a0，b0，a+b=1ab14或1ab4左边=4+a2+b2=1a2+1b2=4+a+b2-2ab+a+b2-2aba2b2=4+1-2ab+1-2aba2b24+1-12+8=252练习3：a、b、c为正数，n是正整数，且f n=1gan+bn+cn3求证：2fnf2n分析法从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。例5：a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用

5、比较法，又据观察求证式等价于 |a-c|要证c-c2-ab只需证-c2-ab证明： 即证 |a-c|即证 a-c2即证 a2-2ac-aba0，即要证 a-2c-b 即需证2+b2c，即为不等式成立练习4：aR且a1，求证：31+a2+a41+a+a22放缩法放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：1舍去一些正项或负项，2在和或积中换大或换小某些项，3扩大或缩小分式的分子或分母等。例6：a、b、c、d都是正数求证： 1分析：观察式子特点，假设将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放

6、缩法，但通分太费事，故用放编法。证明：ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+bba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab0可得：ba+b+cba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b综上知：1练习5：a2，求证：logaa+11 6换元法换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，假设通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。1三角换元：是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进展换元，把代数问题转化成三角问

7、题，充分利用三角函数的性质去解决问题。例7、假设x、yR+,且 x-y=1 A=x-1yy+1y。1x，求证0证明： x，yR+， 且x-y=1，x=sec ， y=tan ，0A=sec-1sectan+1tan1sec2=1-cos2coss2m2+cos2coss2mcos2=sin0复习6：1x2+y22，求证：12 x2-xy+y232比值换元：对于在条件中含有假设干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。例8： x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z24314证明：设x-1=y+12=z-23=k于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

8、2把上式代入x2+y2+z2=k+122k-12+3k+22=14k+5142+43144314反证法有些不等式从正面证假如不好说清楚，可以考虑反证法，即先否认结论不成立，然后根据条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，但凡至少、唯一或含有否认词的命题，适宜用反证法。例9：p3+q3=2，求证：p+q2分析：此题为p、q的三次 ，而结论中只有一次 ，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。证明：解设p+q2，那么p2-qp32-q3=8-12q+6q2-q3将p3+q3 =2，代入得 6q2-12

9、q+60即6q-120 由此得出矛盾 p+q2练习7：a+b+c0，ab+bc+ac0，abc0.求证：a0，b0，c0数学归纳法与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。例10：设nN，且n1,求证： 1+131+151+12n-12n+12分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法证明：1当n=2时，左= 43，右=524352不等式成立2假设n=kk2，kn时不等式成立，即1+131+151+12k-12k+12那么当n=k+1时，1+131+151+12k-11+12k+12k+121+12k+1要证式左边 2k+32，只要证2k+122

10、k+22k+12k+32对于二2k+2 2k+12k+3二2k+22 2k+12k+3二4k2+8k+4 4k2+8k+3二43 成立 成立，即当n=k+1时，原不等式成立由12证明可知，对一切n2nN，原不等式成立练习8：nN，且n1，求证： 1n+1+1n+2+12n 1324构造法根据求证不等式的详细构造所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，到达证明的目的，这种方法那么叫构造法。1构造函数法例11：证明不等式：x1-2x证明：设fx= x1-2x- x2 x0f -x=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2=x1-2x- 1-1-2x+x2=x1-2x-x+x2=fxfx的图像表示

11、y轴对称当x0时，1-2x0 ，故fx0当x0时，据图像的对称性知fx0当x0时，恒有fx0 即x1-2x练习9：ab，2ba+c，求证：b- b2-ab2构造图形法例12：假设fx=1+x2 ，ab，那么|fx-fb| |a-b|分析：由1+x2 的构造可知这是直角坐标平面上两点A1，x，00，0的间隔 即 1+x2 =1-02+x-02于是如以下图，设A1，a，B1，b那么0A= 1+a2 0B= 1+b2|AB|=|a-b|又0A|-|0B|AB|fa-fb|a-b|练习10：设ac，bc，c0，求证 ca-c+cb-cab某些不等式的证明假设能优先考虑添项技巧，能得到快速求解的效果。1

12、倍数添项假设不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用不等式进展放缩。例13：a、b、cR+，那么a3+b3+c33abc当且仅当a=b=c时等号成立证明：a、b、cR+a3+b3+c3=12 a3+b3+b3+c3+c3+a312 a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=12ab2+c2+bc2+a2+ca2+b212a2bc+b2ca+c2ac=3abc当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号成立。2平方添项运用此法必须注意原不等号的方向例14 ：对于一切大于1的自然数n，求证：1+13 1+15 1+12n-1 2n+1 2证明：b 0，m

13、 0时ba b+ma+m 1+13 1+15 1+12n-12=43、652n2n-143、652n2n-1 54、762n+12n43、652n2n-1=2n+13 2n+141+13 1+15 1+12n-12n+1 23平均值添项例15：在ABC中，求证sinA+sinB+sinC332分析：A+B+C=，可按A、B、C的算术平均值添项sin 3证明：先证命题：假设x0，y，那么sinx+siny2sin x+y2当且仅当x=y时等号成立0上式成立反复运用这个命题，得sinA+sinB+sinC+sin 2sinA+B2+2sinc+22sinA+B2+c+322=4sin3=332si

14、nA+sinB332练习11 在ABC中，sin A2sinB2sinC2184利用均值不等式等号成立的条件添项例16 ：a、bR+，ab且a+b=1，求证a4+b4 18分析：假设取消ab的限制那么a=b= 12时，等号成立证明：a、bR+ a4+3124 44a4 1243=12a同理 b4+3124 ba4+b412a+b-6124=12-6124=18ab 中等号不成立 中等号不成立 原不等式成立1.是否存在常数c，使得不等式 x2x+y+yx+2yxx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立?错解：证明不等式x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立，故说明c存在。正解：x

15、=y得23 23，故猜测c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立。要证不等式xx+2y+xx+2y23 ，因为x,y是正数，即证3xx+2y+3y2x+y22 x+yx+2y,也即证3x2+12xy+3y2 22x2+2y2+5xy,即2xyx2+y2 ，而此不等式恒成立，同理不等式 23xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。6.2x,y,zR+ ，求证：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z xyz错解： x2y2+y2z2+z2x2 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z 3xyz x2y2+y2z2+z

16、2x2x+y+z 3xyz33xyz33xyz=xyz错因：根据不等式的性质：假设a 0，c 0,那么ac bd，但 ac bd却不一定成立正解： x2y2+y2z2 2x y2z，y2z2+z2x2 2x yz2，x2y2+z2x2 2x 2yz，以上三式相加，化简得：x2y2+y2z2+z2x2xyzx+y+z，两边同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z xyz6.3 设x+y0， n为偶数，求证 yn-1xn+xn-1yn1x 1y错证：yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=xn-ynxn-1-yn-1xnynn为偶数， xnyn 0，又xn-yn 和xn-1-yn-

17、1同号，yn-1xn+xn-1yn 1x-1y错因：在x+y0的条件下，n为偶数时， xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同号，应分x、y同号和异号两种情况讨论。正解：应用比较法：yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=xn-ynxn-1-yn-1xnyn 当x0时， xn-ynxn-1-yn-10，xyn 0所以 xn-ynxn-1-yn-1xnyn0故：yn-1xn+xn-1yn 1x-1y 当x,y有一个是负值时，不妨设x0，且x+y0，所以x|y|又n为偶数时,所以 xn-ynxn-1-yn-1 0又 xyn 0，所以 xn-ynxn-1-yn-1xnyn0即 yn-1xn+xn-

18、1yn 1x-1y家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。综合知原不等式成立“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。“师之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生而来