APT定价模型组题

1、资产组合理论：1、假如有 A 和 B 两种股票，它们的收益是相互独立的。股票 A 的收益为 15%的概率是 40%，而收益为 10%的概率是 60%，股票 B 的收益为 35%的概率是 50%，而收益为-5%的概率也是 50%。（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？（2）如果 50%的资金投资于股票 A，而 50%的资金投资于股票 B，问该投资组合的期望收益和标准差分别

2、是多少？´  ）答案：（1）股票 A 的期望收益 E(R A ) = 0.4 ´15% + 0.6 ´10% = 12%; 股票 A 的标准差s A = 0.4 （15% -12% 2 + 0.6 ´ (10% -12%)2 = 0.0245

3、0;。´2股票 B 的期望收益 E(R B ) = 0.5´ 35% + 0.5´ (-5%) = 15%; 股票 B 的标准差s B = 0.5 （35% -15%）+ 0.5´ (-5% -15%)2 = 0.2因为股票 A 和股票 B 的收益是相互独立的

4、，所以它们收益之间的协方差为 0。（2）该投资组合的期望收益R PE（） = 0.5´ E(R A ) + 0.5´ E(R B ) = 0.5´12% + 0.5´15% = 13.5%,标准差sP = （0.5（）（）（0.5´sB   =）22220.52´ 0.02452 +

5、60;0.52´ 0.22 = 0.10072、假设有两种基金：股票基金 A，债券基金 B，基金收益率之间相关系数为 0.05，概率分布如下：A：期望收益 10% 标准差 20%B：期望收益 5% 标准差 10%计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？（2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？答案：（1）设组合中 A 基金投资比例为 X，那么 B 基金投资比例为 1-X。组合的方差s&

6、#160;P2 = x2s A2 + (1- x)2s B2 + 2x(1- x)rs As B = 0.22 x2 + 0.12 (1- x)2 + 0.1× 0.2 × 0.1x(1- x)是关于 X 的一元二次方程，其最小的条件是关于 X 的导数为 0。对 X&#

7、160;求导，并使其等于 0，得：0.096x = 0.018 ，解得：X=0.1875,1-X=0.8125所以最小方差组合中 A 基金的投资比例为 0.1875，B 基金的投资比例为 0.8125。（2）最新方差组合的期望收益E(RP )=xE(RA ) + (1- x)E(RB ) = 0.1875´10% + 0.8125´ 5% = 5.9375%

8、标准差s P =x2s A2 + (1- x)2s B2 + 2x(1- x)rs As B= 0.22 × 0.18752 + 0.12 × (1- 0.1875)2 + 0.1× 0.2 × 0.1875 × (1- 0.1875) × 

9、;0.1= 0.0912CAPM：3、假设国库券利率是 4%，市场组合的期望收益率是 12%，根据 CAPM：（1）画图说明期望收益和 b 之间的关系（2）市场的风险溢价是多少？（3）如果一个投资项目的 b 为 1.5，那么该投资的必要回报率是多少？（4）如果一个 b 为 0.8 的投资项目可以获得 9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为 11.2%，那么该股票的 b 是多少？答

10、案：（1）E(R)E(R)=4%+（12%-4%）*Beta4%0Beta（2）市场的风险溢价是：12%-4%=8%（3）E（R）=4%+（12%-4%）*1.5=16%（4）该项目必要回报率 E（R）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得 9.8%的期望收益率，小于 10.4%，所以不应该投资该项目。（5）11.2%=4%+（12%-4%）* b ，解得： b =0.9。4、假设无风险收益率为 6%，市场组合的预期收益率为 10%，某资产组合的  系数等于1.2。根

11、据 CAPM 计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为 20 元，其 =0.8，预期该股票 1 年后股价为 23 元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票？答案：（1）该资产组合的预期收益率 E（R）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%(2)该股票的期望收益率为 E(R)= 6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现

12、价 20<21.06，说明该股票被低估了，所以投资者应该看多该股票。APT：组合对应因素 1 的对应因素 2 的期望收益A1.02.019%B2.00.012%5、考虑一个单因素 APT 模型，股票 A 和股票 B 的期望收益率分别为 15%和 18%，无风险利率是 6%，股票 B 的 b 为 1.0。如果不存在套利机会，股票 A 的 b 应该是多少？答案：根据

13、 APT，对于股票 B：18%=6%+1.0F，解得：F=12%对于股票 A：15%=6%+ b F=6%+12% b ，解得： b =0.75。6、考虑一个多因素 APT 模型，股票 A 的期望收益率是 17.6%，关于因素 1 的 b 是 1.45，关于因素 2 的 b 是 0.86。因素 1 的风险溢价是 3.2%，无风险

14、利率是 5%，如果不存在套利机会，那么因素 2 的风险溢价是多少？答案：根据 APT，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26%因此，因素 2 的风险溢价是 9.26%。7、考虑一个多因素 APT 模型，假设有两个独立的经济因素 F1 和 F2，无风险利率是 6%，两个充分分散化了的组合的信息如下：如果不存在套利机会，那么因素 1 和因素 2 的的风险溢价分别是多少？答案：设因素 

15、;1 和因素 2 的风险溢价分别为 R1 和 R2，根据 APT，有：对于组合 A：19%=6%+1.0R1+2.0R2对于组合 B：12%=6%+2.0R1联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%因此，因素 1 和因素 2 的风险溢价分别为 3%和 5%。8、已知股票 A 和股票 B 分别满足下列单因素模型：RA = 0.1+ 0.9RM + e&#

16、160;ARB = 0.05 +1.1RM + e Bs M = 0.2s (e A ) = 0.3s (e B ) = 0.1（1） 分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。（2） 用股票 A 和 B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为 0.4 和 0.6，求该组合的非系统性标准差。答案：（1）股票 

17、A 的标准差s A =0.92s M 2 + s (e A )2 = 0.92 × 0.22 + 0.32 = 0.3499股票 A 的标准差sB =   1.1股票 A 和股票 B 的协方差2s M 2 + s (e B )2 

18、= 1.12 × 0.22 + 0.12 = 0.2417s AB = COV (RA , RB ) = COV (0.1+ 0.9RM + e A , 0.05 +1.1RM + e B ) = COV (0.9RM ,1.1RM )= 0.99s

19、 M 2 = 0.99 × 0.22 = 0.0396（2）组合的收益率RP = 0.4RA + 0.6RB = 0.4(0.1+ 0.9RM + e A ) + 0.6(0.05 +1.1RM + e B )组合的非系统性标准差s e = 0.42s (e A )2&

20、#160;+ 0.62s (e B )2 = 0.42 × 0.32 + 0.62 × 0.12 = 0.13429、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：Rit = E(Rit ) + bi1F1t + bi2 F2t ，其中： Rit 表示第 i 种证券在时间 t 的收益，

21、0;F1t 和F2t 表示市场因素，其数学期望等于 0，协方差等于 0。此外，资本市场上有 2 种证券，每种证券的特征如下：证券E（Rit)i1i2110%10.5210%1.50.75（1） 建立一个包括证券 1 和证券 2 的投资组合，但是其收益与市场因素 F1t 无关。计算该投资组合的期望收益和贝塔系数 2。（2） 设有一个无风险资产的期望收益等于 5%，1=0，2=0，是否存在套利机会？答案：(1)设组合中证券 1 的投资比例为 X，那么证券 2 的投资比例为 1-X。Rpt = XR1t + (1 - X )R2t= X E(R1t )