第1章 §6　6.1　余弦函数的图像6.2　余弦函数的性质

1、.§6余弦函数的图像与性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质学习目的：1.会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像.2.会用五点法画出余弦函数在0,2上的图像重点3.掌握余弦函数的性质及应用重点、难点自 主 预 习·探 新 知1余弦函数的图像1利用图像变换作余弦函数的图像因为ycos xsin ，所以余弦函数ycos x的图像可以通过将正弦曲线ysin x向左平移个单位长度得到如图1­6­1是余弦函数ycos xxR的图像，叫作余弦曲线图1­6­12利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法，即在函数ycos

2、 xx0,2的图像上有五个关键点，为0,1，1，2，1，可利用此五点画出余弦函数ycos x，xR的简图如图1­6­2图1­6­2考虑1：根据ysin x和ycos x的关系，你能利用ysin x，xR的图像得到ycos x，xR的图像吗？提示：能，根据cos xsin，只需把ysin x，xR的图像向左平移个单位长度，即可得到ycos x，xR的图像2余弦函数的性质图像定义域R值域1,1最大值，最小值当x2kkZ时，ymax1；当x2kkZ时，ymin1周期性周期函数，T2单调性在2k，2kkZ上是增加的；在2k，2kkZ上是减少的奇偶性偶函数，图像关

3、于y轴对称考虑2：余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：观察图像图略可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，2k1，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1余弦函数ycos x的图像关于坐标原点对称2余弦函数ycos x的图像可由ysin x的图像向右平移个单位得到3在同一坐标系内，余弦函数ycos x与y

4、sin x的图像形状完全一样，只是位置不同4正弦函数与余弦函数有一样的周期，最大值、最小值及一样的单调区间答案1×2×34×2函数fxsinxR，下面结论错误的选项是A函数fx的最小正周期为2B函数fx在区间上是增函数C函数fx的图像关于直线x0对称D函数fx是奇函数Dfxsinsincos x，由fxcos x的性质可判断A、B、C均正确3函数y2cos x的单调递减区间是Ak，k2kZB2k，2kkZC2k，2kkZD2k，2kkZBy2cos x，定义域是R，设y，ucos x，由于y是递减的所以y2cos x的单调递减区间就是ucos x的单调递增区间，即

5、2k，2kkZ4函数y1cos x的图像A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称 D关于直线x对称B把ycos x的图像向上平移1个单位可得y1cos x的图像，故y1cos x的图像关于y轴对称合 作 探 究·攻 重 难余弦函数图像的画法画出函数ycos x，x0,2的简图. 【导学号：64012039】解法一：按五个关键点列表：x02cos x10101cos x10101描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如右图法二：作函数ycos x，x0,2的图像，然后将其作关于x轴对称的图像，即得ycos x，x0,2的图像规律方法所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最

6、低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替.五点法是画正弦函数、余弦函数简图的根本方法，其他方法都由此变化而来.函数ycosx，x0，2的图像上起关键作用的五个点坐标依次为：0，1， ，0，1，0，2，1.跟踪训练1作函数ycos x1，x0,2的简图解按五个关键点列表：x02cos x10101cos x00cos x111在坐标系内，根据五点、画图，如下图余弦函数图像的应用ycos xxR，求：1y时x的集合；2y时x的集合. 【导学号：64012040】思路探究画出函数ycos xxR 的图像，观察图像，求出它在一个周期上的解集，再根据余弦函数的周期性，把它拓展为整个定义域上的

7、解集解用“五点法作出ycos x的简图1过点作x轴的平行线，从图像中看出：在，区间与余弦曲线交于，点，在，区间内，y时，x的集合为当xR时，假设y，那么x的集合为.2过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，kZ，kZ和，kZ，kZ，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当y时x的集合为：.规律方法利用余弦曲线求解cos a或cos a|a|<1的步骤：1作出余弦函数在一个周期内的图像选取的一个周期不一定是0，2，应根据不等式来确定；2作直线ya与函数图像相交；3在一个周期内确定x的取值范围；4根据余弦函数周期性确定最终的范围.跟踪训练2在同一坐标

8、系中，画出函数ysin x与ycos x在0,2上的简图，并根据图像写出sin xcos x在0,2上的解集解用“五点法画出ysin x与ycos x的简图如下：由上图可得sin xcos x在0,2上的解集为.余弦函数的单调性及应用1求函数y1cos x的单调区间；2比较cos与cos 的大小思路探究1注意系数对单调性的影响；2转化到同一单调区间比较解1<0，y1cos x的单调性与ycos x的单调性相反ycos x的单调增区间是2k，2kkZ，减区间是2k，2kkZy1cos x的单调减区间是2k，2kkZ，增区间是2k，2kkZ2cos coscos .coscos .又0<

9、;<<，ycos x在x0，为减函数，cos>cos .规律方法1形如yacos xba0函数的单调区间：1当a>0时，其单调性同ycos x的单调性一致；2当a<0时，其单调性同ycos x的单调性恰好相反2比较cos 与cos 的大小时，可利用诱导公式化为0，内的余弦函数值来进展跟踪训练11函数y12cos x的单调增区间是_；2比较大小cos _cos.解析1由于ycos x的单调减区间为2k，2kkZ，所以函数y12cos x的增区间为2k，2kkZ2由于cos coscos ，coscoscoscos ，ycos x在0，上是减少的由<知cos &

10、gt;cos ，即cos <cos.答案12k，2kkZ2<与余弦函数有关的最值问题探究问题1余弦函数在第一象限内是减函数吗？提示：不是余弦函数ycos x在内是减函数，但不能说在第一象限是减函数如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos 60°<cos 390°.2对于yAcos2xBcos xC型的函数如何求其最值？提示：利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求其最值求以下函数的最值1ycos2xcos x；2y3cos2x4cos x1，x. 【导学号：64012041】思路探究

11、此题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解解1y2.1cos x1，当cos x时，ymax.当cos x1时，ymin2.函数ycos2xcos x的最大值为，最小值为2.2y3cos2x4cos x13.x，cos x，从而当cos x，即x时，ymax；当cos x，即x时，ymin.函数在区间上的最大值为，最小值为.母题探究1变条件假设例4中的1变为“y，如何求函数的值域解y1.1cos x1，12cos x3，1，4，13，即y3.函数y的值域为.2变条件将例42变为“函数ycos2xcos x1，试求函数的值域解设cos xt，x，那么t

12、，ycos2xcos x1，t，当t，即x±时，ymax，当t1，即x0时，ymin1，函数的值域为.规律方法求值域或最大值、最小值问题，一般根据为：1sin x，cos x的有界性；2sin x，cos x的单调性；3化为sin xfx或cos xfx，利用|fx|1来确定；4通过换元转化为二次函数.当 堂 达 标·固 双 基1函数ycos x，x0,2和y1的图像围成的一个封闭平面图形的面积是A2B4C2 DC如下图，易知封闭图形的面积是矩形ABCD面积的一半，而AD2，AB2，所以此封闭图形的面积为AB·AD×2×22，应选C.2函数ycos x，x0,2的图像与直线y的交点有_个解析作ycos x，x0,2的图像及直线y，知有2个交点答案23函数ycosx，x0,2的单调递减区间是_解析ycosxcos x，其单调递减区间为0，答案0，4比较大小：1cos 15°_cos 35°；2cos_cos. 【导学号：64012042】解析10°<15°<35°<90°，且ycos x在0°，90°上是减