第3章 3.1 3.1.3　两个向量的数量积

1、.3.1.3两个向量的数量积学习目的：1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律重点3.掌握两个向量数量积的主要用处，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直难点、易混点自 主 预 习·探 新 知1空间向量的夹角假如a，b90°，那么向量a，b互相垂直，记作ab.考虑：等边ABC中，与的夹角是多少？提示120°2两个向量的数量积1定义：两个非零向量a，b，那么|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积或内积，记作a·b.2数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律a·ba·b交换律a&

2、#183;bb·a分配律ab·ca·cb·c3两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质 假设a，b是非零向量，那么aba·b0假设a与b同向，那么a·b|a|·|b|；假设反向，那么a·b|a|·|b|.特别地，a·a|a|2或|a|假设为a，b的夹角，那么cos |a·b|a|·|b|根底自测1考虑辨析1对于非零向量a，b，a，b与a，b相等2对于任意向量a，b，c，都有a·bcab·c33a2b·3a2b9|a|24|b|2.提示1

3、5;互补2×a·b·c与c共线，ab·c与a共线，但c与a不一定共线32a，b，c是两两垂直的单位向量，那么|a2b3c|等于A14 BC4 D2B|a2b3c|2a2b3c·a2b3c|a|24|b|29|c|214，|a2b3c|.3|a|3，|b|2，a·b3，那么a，b_.120°cosa，b.a，b120°.合 作 探 究·攻 重 难数量积运算如图3­1­22所示，正四面体OABC的棱长为1，点E、F分别是OA、OC的中点求以下向量的数量积：图3­1­22

4、1·；2·；3·思路探究根据数量积的定义进展计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征解1正四面体的棱长为1，那么|1.OAB为等边三角形，AOB60°，于是：·|cos，|cosAOB1×1×cos 60°；2由于E、F分别是OA、OC的中点，所以EFAC，于是·|cos，|·|cos，×1×1×cos，×1×1×cos 120°；3···22·2

5、83;·22·12×12×1.规律方法1要牢记公式a·b|a|b|cosa，b.2在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如，120°易错写成60°.为防止出错，应结合图形进展计算.跟踪训练1长方体ABCD­A1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点试计算： 【导学号：33242254】1·；2·；3·.解如图，设a，b，c，那么|a|c|2，|b|4，a·bb·cc·a0.1·b·|b|24216

6、.2··ac|c|2|a|222220.3··abc·|a|2|b|22.利用数量积求夹角和模探究问题1空间两个向量夹角定义的要点是什么？提示1任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样2作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起3两个空间向量的夹角是唯一的，且a，bb，a2空间向量数量积的性质有什么作用？提示1向量模的应用：式子|a|可以解决有关空间长度问题2向量夹角的应用：空间中两条直线特别是两条异面直线的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得3数量积的应用：两非零向量a，b，假设a·b0，那么

7、两向量对应的直线互相垂直1如图3­1­23，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC90°，ABBC1，AA1，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值图3­1­232如图3­1­24所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长图3­1­24思路探究1先求·，再由夹角公式求cos，并由此确定与所成角的余弦值2用向量和用向量、表示出来，再用数量积的定义运算解1，且··

8、;·0，·21.又|，|.cos，.异面直线所成角的范围是，异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.2，|2··|2|2|22···1112cos 60°cos 60°cos 60°6.|，即对角线AC1的长为.同理，|2··|2|2|22···1112cos 60°cos 60°cos 60°2.|，即对角线BD1的长为.母题探究：1.改变结论假设把本例1中的结论“求异面直线BA1与AC所成角的余弦值改为“求向量与夹

9、角的余弦值结果如何？解由本例1解析可知与夹角的余弦值是.2 .改变条件、改变结论本例2中，假设E为CC1的中点，求AE的长解，|2··|2|2|22···112cos 60°cos 60°cos 60°4，|.规律方法1利用数量积求异面直线所成角或余弦值的方法：2求两点间的间隔 或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求间隔 .利用数量积解决垂直问题如图3­1­25，在空间四边形OABC中，

10、OBOC，ABAC，求证：OABC.【导学号：33242255】图3­1­25思路探究证明：·0.证明因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.又····|·|cosAOC|·|cosAOB0，所以，即OABC.规律方法1证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.,2证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练2空间四边形ABCD中

11、，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明ABCD，ACBD，·0，·0.····|2··|2···0.，从而ADBC.当 堂 达 标·固 双 基1以下命题中正确的选项是Aa·b2a2·b2B|a·b|a|b|Ca·b·ca·b·cD假设abc，那么a·ba·c0B对于A项，左边|a|2|b|2cos2a，b，右边|a|2|b|2，左边右边，故A错误对于C项，数量积不满足结合律，C错误在

12、D中，a·bc0，a·ba·c0，a·ba·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误对于B项，a·b|a|b|cosa，b，1cosa，b1，|a·b|a|b|，故B正确2如图3­1­26，空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，那么以下向量的数量积等于a2的是 【导学号：33242256】图3­1­26A2·B2·C2·D2·C2·a2，故A错；2·a2，故B错；2·a2，故D错，2·2a2，故C正确3假设向量a，b满足|a|1，|b|2，且a，b的夹角为，那么a·b_.1a·b|a|b|cosa，b1×2×1.4如图3­1­27所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，那么图3­1­271，_；2，_；3，_.145°2135°390°1因为，所以，又CAB45°，所以，45°.2