第2章 2.3 2.3.1　双曲线的标准方程

1、.2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目的：1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题重点2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程重点3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题难点自 主 预 习·探 新 知1双曲线的定义2双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1a0，b01a0，b0图形焦点坐标c,0，c,00，c，0，ca，b，c的关系式c2a2b2考虑1：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？提示双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b

2、2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定考虑2：如何确定双曲线标准方程的类型？提示焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，假设x2的系数为正，那么焦点在x轴上，假设y2的系数为正，那么焦点在y轴上根底自测1考虑辨析1平面内到两定点的间隔 的差等于常数小于两定点间间隔 的点的轨迹是双曲线2在双曲线标准方程1中，a>0，b>0且ab.3双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b.提示1×差的绝对值是常数，且02a|F1

3、F2|才是双曲线2×a与b大小关系不定，a和b相等时叫等轴双曲线3×2双曲线1的焦距为A3 B4C3 D4D解a210，b22，c2a2b212，c2，2c4，应选D.3双曲线的a5，c7，那么该双曲线的标准方程为_. 【导学号：33242148】1或1b2c2a2492524，双曲线方程为1或1.合 作 探 究·攻 重 难双曲线定义的应用探究问题1如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F1F2|？提示：假设将“小于|F1F2|改为“等于|F1F2|，其余条件不变，那么动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线包括端点；假设将“小于|F1F2|改为“大于|F1F2|，

4、其余条件不变，那么动点轨迹不存在；假设常数为零，其余条件不变，那么动点的轨迹是线段F1F2的中垂线2假设|MF1|MF2|F1F2|，那么动点M的轨迹是什么？提示：1定义中间隔 的差要加绝对值，否那么只为双曲线的一支设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，假设|MF1|MF2|2a，那么点M在右支上；假设|MF2|MF1|2a，那么点M在左支上2双曲线定义的双向运用：假设|MF1|MF2|2a0<2a<|F1F2|，那么动点M的轨迹为双曲线；假设动点M在双曲线上，那么|MF1|MF2|2a.F1，F2是双曲线1的两个焦点，假设P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|32

5、.试求F1PF2的面积. 【导学号：33242149】思路探究根据双曲线的定义及余弦定理求出F1PF2即可解由1得a3，b4，c5.由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，又|PF1|·|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100，由余弦定理得cosF1PF20，F1PF290°，S|PF1|·|PF2|16.母题探究：1.变换条件假设本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的间隔 为10，求点P到焦点F2的间隔 解由1得a3，b4，c5，由双曲线定义得|PF1|PF2|

6、6，即|PF1|PF2|±6，|PF2|10±6，点P到焦点F2的间隔 为4或16.2变换条件假设把本例条件“|PF1|·|PF2|32换成“|PF1|PF2|25，其他条件不变，试求F1PF2的面积解由1得a3，b4，c5，由|PF1|PF2|25，可设|PF1|2k，|PF2|5k.由|PF2|PF1|6可得k2，|PF1|4，|PF2|10，由余弦定理得cosF1PF2，sinF1PF2，S|PF1|·|PF2|·sinF1PF2×4×10×8.规律方法双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF

7、1F2称为焦点三角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2，因|F1F2|2c，所以有1定义：|r1r2|2a.2余弦公式：4c2rr2r1r2cos .3面积公式：Sr1r2sin .一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程求合适以下条件的双曲线的标准方程1a4，经过点A；2经过点3,0，6，3思路探究先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组求解解1当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1b0，把A点的坐标代入，得b2×0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为1b0，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1

8、.2设双曲线的方程为mx2ny21mn<0，双曲线经过点3,0，6，3，解得所求双曲线的标准方程为1.规律方法1求双曲线标准方程的两个关注点2待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能设方程：根据焦点位置，设其方程为1或1a0，b0，焦点位置不定时，亦可设为mx2ny21mn0寻关系：根据条件列出关于a，b，cm，n的方程组得方程：解方程组，将a，bm，n代入所设方程即可得求标准方程提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取适宜的形式跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程1c，经过点A5,2，焦点在x轴上；2与椭圆1共焦点

9、且过点3，解1设双曲线标准方程为1a0，b0，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230舍b21.双曲线的标准方程为y21.2椭圆1的焦点坐标为2，0，2，0依题意，那么所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为1a0，b0，那么a2b220.又双曲线过点3，1.a2202，b22.所求双曲线的标准方程为1.与双曲线有关的轨迹问题如图2­2­8，在ABC中，|AB|4，且三内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程. 【导学号：33242150】图2­2­8解以AB边所在的直线为x轴

10、，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如下图，那么A2，0，B2，0. 由正弦定理，得sin A，sin B，sin CR为ABC的外接圆半径2sin Asin C2sin B，2ac2b，即ba，从而有|CA|CB|AB|2|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支除去与x轴的交点a，c2，b2c2a26，即所求轨迹方程为1x规律方法求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：1列出等量关系，化简得到方程；2寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：1双曲线的焦点所在的坐标轴；2检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练2如

11、图2­2­9所示，定圆F1：x52y21，定圆F2：x52y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程图2­2­9解圆F1：x52y21，圆心F15,0，半径r11；圆F2：x52y242，圆心F25,0，半径r24.设动圆M的半径为R，那么有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心M的轨迹方程为1.当 堂 达 标·固 双 基1假设点M在双曲线1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，那么|MF2|

12、等于【导学号：33242151】A2 B4C8 D12B双曲线中a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4.2“ab<0是“方程ax2by2c表示双曲线的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，假设c0，那么方程不表示双曲线3假设方程3表示焦点在y轴上的双曲线，那么m的取值范围是 【导学号：33242152】A1,2B2， C，2D2,2C由题意，方程可化为3，解得：m2.4动圆M与圆C1：x32y29外切且与圆C2：x32y21内切，那么动圆圆心M的轨迹方程是_1x2设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1.相减得|MC1|MC2|4.又因为C13,0，C23,0，并且|C1C2|64，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支