高等数学练习题(附答案)

1、高等数学专业年级学号姓名一、判断题.将“或 瀕入相应的括号内(每题2分，共20分) ()1收敛的数列必有界()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量()3闭区间上的间断函数必无界 .()4.单调函数的导函数也是单调函数.()5若f (x)在X。点可导，则f (x )也在X。点可导.()6.若连续函数y = f (x)在x。点不可导，则曲线 y = f (x)在(x0, f (x0)点没有切线()7.若f (x)在a,b上可积，则f (x)在a,b上连续()8若z = f ( x, y)在(x。，y。)处的两个一阶偏导数存在，则函数 z = f (x, y)在(x。，y。)处可微.()9微分方程的含

2、有任意常数的解是该微分方程的通解()10.设偶函数f (x)在区间(_1,1 )内具有二阶导数，且 f (0) = f (0) - 1，则f (0)为f (x)的一个极小值.二、填空题.(每题2分，共20分)21. 设 f(x1) =x，贝U f (x T) =.12x -12. 若 f (x)1，贝U lim =.x3 十2x 13. 设单调可微函数f (x)的反函数为g(x) , f (1) = 3, f(1) = 2, f ”(3) = 6则g =.x4. 设 u 二 xy ，贝H du =.y5. 曲线x? =6y _y3在(-2 , 2)点切线的斜率为 .1 26. 设 f (x)为

3、可导函数，f =1, F (x) = f () f (x )，则 F (1)二xf (x)7. 若 dt =乂2(1x),贝廿 f (2) =.8. f(x) =x 2、x在0,4上的最大值为 .9. 广义积分e A dx =.Jo10. 设 D 为圆形区域 x2 y 2 冬 1, 11 y i1 x5 dxdy =.D三、计算题(每题5分，共40分)、“ 1 1 11. 计算 lim (飞-).j n (n - 1)(2n)2. 求 y = (x 1)( x - 2) (x - 3) (x - 10 )在(0，+二)内的导数13. 求不定积分dx .、宀(1 x)4. 计算定积分、s in

4、3 x -sin 5 xdx .05. 求函数 f(x,y) =x? - 4x?，2xy -y?的极值.6. 设平面区域D是由y =x,y = x围成，计算ii sin dxdy .D y7. 计算由曲线xy = 1, xy = 2, y = x, y = 3x围成的平面图形在第一象限的面积2 x8. 求微分方程y “ = y -仝 的通解.y四、证明题(每题10分，共20分)341.证明:arc tan x = arcs in(-：:x J 2).#=2 arcs in . x 亠 c2. 设f (x)在闭区间a, b上连续，且f (x) . 0,xx 1F (x) = i f (t)dtd

5、tbf (t)证明：方程F(x) =0在区间(a,b)内有且仅有一个实根高等数学参考答案、判断题.将“或X填入相应的括号内(每题 2分，共20 分)1. V ; 2.x ； 3.X；4.X ； 5.X；6.X ； 7.X ； 8.X ； 9.V ; 10.V.#=2 arcs in . x 亠 c#=2 arcs in . x 亠 c21. x 4x 4 ；2.1 ;3.1/2;填空题.(每题2分，共20 分)25.2/3 ;6. 1 ;7. I 368. 8 ;9.1/2 ;10. 0.三、计算题(每题1.解：因为5分，共40分)1-2n14, 2(n 1 )1-i-2(2 )n 1且由迫敛

6、性定理知:n 十1n +1I i m =0 lim =0nr(2n )n： n12(2n)=02.解：先求对数Iny =ln( x - 1)2 ln( x 2)- 10 ln( x 10).1y2y x 1 x 2x 10=(x 1) ，(x - 10)(10x - 103. 解:原式=2d . x-(X)2d4. ( y 亠1/y)dx 亠(xx/y )dy ;4. 解:原式=i xsin x cos xdx32x sinxdx -3n2-cos x sinxdx25.解:2 sinxd sin3H 2-sinxd sin x22=sin5=4/5fxJlx2sin5Xi】28x -2f；

7、= 2x _2y=0或=2fxx(0,0)fy；(0,0)= -2 ,fx；(0,0) = 22(-8)； (-2) _2 :0(0, 0)为极大值点且f(0,0) =0x =2时 fxx(2,2) =4 , fy：(2,2) =2 ,fx：(2,2) =2_y = 2无法判断解：D= (x, y) 0 _ y _ 1, y ? _ x _ y6=2 arcs in . x 亠 c#=2 arcs in . x 亠 crtSin y.y dxdy i y1 y sinyydx刍灯20 y ydy#1=o (sin y - y sin y)dy1=-cos y0 亠 i yd cos y1=1

8、cos1 y cos y0cos ydy =1 _ sin 1解：令 u = xy，v =71#18.解：令 y2由微分公式知:Xuyu.dcDXvyv=du2 . uv- v3 1dv2v=u，知(u) =2u - 4xdx2xe2xe2v=In - 3=e ( - 4xe_2dxdx c)四.证明题（每题10分,.-2 x(-4 xe dx 亠 c)-2x_2x(2 xe e c)共 20 分)811.解：设x f (x) =arctanarcs in -1 x2#1f (x)二1 x2=0#1#1f (x) = C-:x :#1#1令 x =0； f (0) = 0 -0即：原式成立。#

9、a 1bF (a)dt0占f(t)店故方程F(x) =0在(a,b)上至少有一个实根1又F (x) = f (x)f(x) . 0f (x).F (x) _ 2即F (x)在区间a, b上单调递增F (x)在区间(a,b)上有且仅有一个实根高等数学专业学号姓名、判断题(对的打V,错的打X;每题 2分，共10分)1. f (x)在点X。处有定义是f (x)在点X。处连续的必要条件2. 若y = f ( x)在点x0不可导，则曲线y = f (x)在(x0, f (x0)处一定没有切线.3. 若f (x)在a, b上可积， g(x)在a, b上不可积，则 f (x) g(x)在a, b上必不可 积

10、.4. 方程xyz = 0和x2 - y2 - z2 = 0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点5. 设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则y*为一阶线性微分方程的通解.二、填空题(每题2分，共20分)1. 设 f (3x) - .2x T , f (a) =5,贝U a 二.In (1+2 x)2. 设 f (x)，当 f (0) =时，f (x)在点 x = 0 连续.arcs in 3 x12 Xtr r3. 设 f (x) = lim x(1)，贝U f (x).t4. 已 知 f (x) 在 x = a 处 可 导， 且 f (a) = A

11、 , 则 f (a +2h) 一 f (a 3h)lim.h 0hd25. 若 2 f ( x) cos x f ( x)，并且 f ( 0) =1，贝U f (x)dx6. 若 f (x), g (x)在点 b 左连续，且 f (b) = g(b), f (x) g (x) (a ： x : b), 则f (x)与g(x)大小比较为 f (x)g (x).7.2二 sin x ,dy2d(x )dydx8.设 f (x)x2 ln tdt ,则 f -x(2)二9.，则dz(1,1)2 2R勺R勺勺10.累次积分dxf (X2 一 y2)dy化为极坐标下的累次积分为SoJ0三、计算题(前6题

12、每题5分，后两题每题6分，共42分)1.limX01sin x(1 - t)t dt-0x tdt0 sin t2.设 y = ln，求y ；sin x cos x3.dxJ 1sin 2 x5.设 z .,，求=-2z4 +y2cy_x :y6.求由方程2 y -x = (x - y) ln( x -y)所确定的函数y = y(x)的微分dy .7.设平面区域D是由y = x ,y二x围成，计算.沁dxdy6. 求方程yin ydx +(x ln y)dy =0在初始条件y xm = e下的特解.四、(7分)已知f (X) =x3ax 2 bx在x =1处有极值-2，试确定系数a、b，并求出

13、所有的极大值与极小值五、应用题(每题7分，共14分)1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比已知当速度为10(km/h)时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时 96元问轮船的速度为多少时，每航 行1 km所消耗的费用最小？2.过点(1,0)向曲线yJx 一2作切线，求：(1)切线与曲线所围成图形的面积；(2) 图形绕y轴旋转所得旋转体的体积六、证明题(7分)设函数f (x)在0乞x ： a上的二阶导数存在，且f (0) = 0 , f (x) . 0 .证明g(x)二竺在0 ：: x ： a上单调增加x10.f (r cos 2旳 rdr高等数学参考答案、判断题1.

14、 v；2. X；3. V ；4. X ；5. /、填空题1. 36 ；2.2；3.4(1x)e2x4?F5A ；5.1 - sin x ；6.:；37.cos x ,22 x cos x； 8.In 2；9.2dx dy；兀R-0 - 0三、计算题131.原式弘(1 sinx)sinXcosxx jx14sin x#2.2x 2x2e (e-1) e2x2x2e2x2x(e2x-1)-12x-12xe - 12e2 x-2e,2x八 2(e -1)3.原式=sin x cos x , dx1丄2(sin x - cos x)12 x1(sin x 亠 cos x)2d (sinx cos x)

15、1Csin x 亠 cos x4.设 x = 2sin t 贝U dx = 2cos tdtji原式=2 4 si n?t 2 cos t 2 cos tdt=0兀-2 2 2=162 sin t cos tdtJ03131= 4 02 sin Jtdt V -cos4t)dt1=2(t sin 4t)45.:z：:y20JT2 x2xy(x2y2)15316.y(x2 y2)2322 7(x y )2 x23(x y )-xy23 i 22(2x y - y ) , x y两边同时微分得:2x223(x y )1 / 、(dx -dy) -y2dy - dx = In( x y) dx -

16、In( x _ y) dy (dx - dy )2dy dx 二(dx dy) ln( x y) (x y)x2 In(x -y) dydx3+1 n(x _y)(本题求出导数后，用dy = y dx解出结果也可）sin y7.dxdyd y10dy -y2y sin y dxy1“(sin y-y sin y )dy1631#31-cos y亠 y cos y1cos ydy-0#31#311 sin y=1 - sin 18原方程可化为dx1xdyy In y1731#31通解为1dy Cy#31#31-in=eIny In In y 1edyyC#311In y#31#311In22In

17、 y#y=e代入通解得 C =118#故所求特解为：(In y)2 _2xln y1 =0四、解:2f (x) = 3x 2 ax b#因为f (x)在x =1处有极值_2，所以x = 1必为驻点故f =3 2a b = 0又f (1) =1 a b - _2解得：a = 0 , b - -3于是f (x) = x3 -3xf (x) =3(x2 -1)f (x) = -6x由f (x) = 0得x =:1，从而f (1) =6 ，在x =1处有极小值f-2f ( 一1) - _6 ：: 0 ，在 x = -1 处有极大值 f (-1) = 2五、1.解：设船速为x(km/h),依题意每航行1

18、km的耗费为13y (kx 96)x又x =10时，k 10 3 =6故得k =0.006， 所以有13y = (0.006 x + 96) ， x 匸(0 , +)x令 y 2 (x 3 -8000 )= 0，得驻点 x = 20 x由极值第一充分条件检验得X =20是极小值点.由于在(0 , ：)上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为20 (km /h)时，每航2 96行1km的耗费最少，其值为 丫皿山= 0.006207.2 (元)y。Xo -1202.解：(1)设切线与抛物线交点为(x0, y0)，则切线的斜率为又因为y2 = X -2上的切

19、线斜率满足2y y = 1，在(x0, y0)上即有2 y 0y = 1#所以 2y。1，即 2y xo -1Xo 1又因为(xo, yo)满足yo2=x0 -2，解方程组二 22yo =Xo - 1二 2yo = Xo 2yo = 1所以切线方程为1（x -1）2则所围成图形的面积为:1S = .o2 厂-（2y 1）dy(2)图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为:1 123V =二一（x -1） dx -二（x 2）dx亠 、工f(x) , x(x)f(x) Xf(x) f (x) f(o)八、证： 2-xxx在o, x上，对f (x)应用拉格朗日中值定理，则存在一点E(o,x),使得f (x

20、) 一 f(o)=xf ()f(x) xf (x) -f ()厂xx代入上式得由假设f (x) o知f (x)为增函数，又x，则f (x) f C),是f (x) - f ( ) o ,从而丄凶 o，故丄凶在(o,a)内单调增加.xx高等数学试卷专业学号姓名、填空题(每小题1分，共10 分)191. 函数y “resin.二一.的定义域为2 .函数y =x ex上点（0,1 ）处的切线方程是、r亠f (x0 + 2h) _ f (x0 _3h)3 .设 f (x)在 x 可导且 f (x。)= A，则 lim4 设曲线过（0,1），且其上任意点（x,y）的切线斜率为2x，则该曲线的方程是x1

21、_x4dx =6 . lim x sin 1 =x设 f (x, y) =sin xy，贝V fx (x, y)=10累次积分.微分方程.设级数RR _xdx.0f （x2 - y2）dy化为极坐标下的累次积分为32暝 3（d y）2 =0的阶数为 dx x dxv an发散，则级数n 土O0、ann 三00020#单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，（110每小题1分，1117每小题2分，共24分）、 、， 1则 f (g(x)=1 .设函数 f (x), g (x) =1 -x ,x丄x#2 . x. 0 时,x sin# 无穷大量 无穷小量

22、有界变量无界变量# 若f （x）在xf (x)在x = x0可导21# 若f(x)在X =X0不可导，则f(X)在x = X0不连续 若f ( x)在X = X0不可微，则f (x)在X = x0极限不存在 若f ( x)在X = Xo不连续，则f (x)在X = x0不可导4 若在(a,b)内恒有 f(X):： 0 , f (X). 0，则在(a,b)内曲线弧 y = f (x)为()上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧 下降的凹弧5 .设 F (x) =G (x)，贝U F (x) G (x)为常数 F (x) -G (x) =016. xdx = F (x) _G(x)为常数ddF (x)dx

23、G(x)dxdxdx0 17. 方程2x =3y在空间表示的图形是 平行于xOy面的平面 过Oz轴的平面23() 平行于Oz轴的平面 直线22#8. 设 f(x,y) = 乂3 y3 X 旳，贝H f(tx,ty) =2 tf (X, y) t f (x, y)a +19. 设an -0，且lim引-=p,则级数n护an 在p 1时收敛，p ：1时发散 在p _1时收敛，p 1时发散3 t f(X,y)1石f (x, y) t00an()n 在P _1时收敛，p ： 1时发散在p : 1时收敛，p -1时发散#10 .方程 y 3xy = 6x2y 是#一阶线性非齐次微分方程齐次微分方程#可分

24、离变量的微分方程二阶微分方程11 下列函数中为偶函数的是 y = ex12.设 f (x)在(a,b)可导, y=x+1 y=x3 cos x y = I n xa : Xt ： x2 : b，则至少有一点三（a, b）使xx23可分离变量的微分方程二阶微分方程xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程 f (b) _ f (a)二 f)(b _a) f 化)-f (x二 f ( )(b -a) f (b) - f (a)二 f)(X2 xj f(X2) - f (xj = f)( X2 -xjxx#可分离变量的微分方程二阶微分方程xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程13 .设f （X）在X =

25、 X。的左右导数存在且相等是f （X）在X = X。可导的xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程充分必要的条件必要非充分的条件xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程必要且充分的条件既非必要又非充分的条件xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程14.，则 f (0) =1，则 f (x)、d2设 2 f (x) cos x f (x) dxxx#可分离变量的微分方程二阶微分方程xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程15. cos x 2 -cos 1 - sin过点（1,2）且切线斜率

26、为34x的曲线方程为y= x +cx 4+14x316 设幕级数在 X。（ X。尸 0 ）cd收敛，则anx绝对收敛条件收敛发散收敛性与an有关17 .设D域由y=x,y=x2所围成，则sin xd xx24可分离变量的微分方程二阶微分方程xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程1 点sin x 0 dx xdy ； sin x.03 ；金y sin x-0 dy .y dx ；xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程xx25可分离变量的微分方程二阶微分方程1 二 sin xdydx .xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程xx#可分离变量的微分方程二阶微分方程、计算题（13每小题5分，49每小题

27、6分，共51分）xx#1设x -1262 .求3 计算x(x 3)sin(9 X 16) lim x 43 3x -4dx!x 2(1 e )#dydx设 x =0 (cos u)arctan uduy = t (sin u) arctan udu，求#5 .求过点 A(2,1,1),E(1,1,2 )的直线方程dux a sin 7 计算 I I r sin vdrd v .8 求微分方程y -1 2dy = () dx的通解.X十19 .将 f (x) = 33展成的幕级数(1 _x)(2 x)四、应用和证明题（共15分）1. （8分）设一质量为m的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（

28、比例常数为k 0 ）求速度与时间的关系。 12. （7分）借助于函数的单调性证明：当x1时，2、二.3_ x高等数学参考答案填空题（每小题1分,共10分）1.(1,1)2.2xy+1=05.1 2arctan x - c26.18.?：二0 -0 f(r2)rdr9.三阶3.5A4.y=x+17.ycos(xy)10 .发散27#二、单项选择题 （在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，110每小题1分，1117每小题2分，共24分）I . 2 .3. 4 .5.6 .7 . 8.9.10 .II .12.13.14.15.16 .17.、计算题（13每小题5分，

29、49每小题6分，共51分）” 11 .解： In y 二ln( x 一1) -In x -In( x - 3) 2111 1 1 -y ()2 .解:原式=y 2 x -1x x 33 解:4.解:5 .解:44 218()cos(9( ) 16)33原式= (1 VeHx(1 edxx 2)xd(1 e )(1 ex)x 2(1 e )(1 e1-e )dx _Jex)因为 dx = (cos t)arctgtdt,dydydx=-(sin t) arctgtdt-(sin t) arctgtdttgt(co st)arctgtdt所求直线的方向数为1,3y1 z -2所求直线方程为6 .解

30、：du = X sin Zd (x 、y sin z)x 亠 y -sin z1二 e(dx dy co s zdz)2jy7.解：,Ha sin 日12 兀3原积分=sin rd，rdrasin vdvok2兀2=a 2 sin vda38.解：两边同除以(y 1)2得dy 2二血2(1+y) (1+x)两边积分得dydxJ亠2 =亠2 (1 y)(1 x)1 1亦即所求通解为-二cx +1y +110-39.解：分解，得f (x)=1128210八X1n -0nXn2(X 1且21 )od八1n q(-1)nn 1X2 -(X 0.F x . 0当x :：: 0时，F x为单调递增故命题成

31、立。人2224.令 f X 二 X X!X X2I 亠 亠X -人f x = 2 Ix Xt 亠 x 2 亠448#448#X 亠 亠X则令f X =0= Xo-为驻点nf x0=2n 7 . x0点为f x的极小值点XiXn5.2x sin x dx =1 -cos 2x 1xdx = xx cos 2x dx2 44834ey dy 二 e 1 yye7.方程变形为Idx+ cl初始条件:二 0 二.18、D* =rc 11=一一xx22 2 2ii x dxdy = r cos rdrd 二=2 :2r 3dr15=H435#高等数学专业学号姓名、判断(每小题2分，共20分)1. f(x

32、)在点X。处有定义是f(x)在点X。处连续的必要条件()2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量 ()3. y=f(x)在x0处可导，则y=| f(x)|在x0处也可导.()4. 初等函数在其定义域内必连续 .()5. 可导函数f(x)的极值点一定是f(x)的驻点.()6. 对任意常数 k,有 kf (x)dx =k i f (x)dx .()7. 若f(x)在a,b上可积 则f(x)在a,b上有界.()8. 若f(x,y)在区域 D上连续且区域D关于y轴对称,则当f(x,y)为关于x的奇函数时，I】f (x, y)dxdy =0.()D9. (y ) 2 =-2x-ex的通解中含有两个独立任意

33、常数()10. 若z=f(x,y)在Po的两个偏导数都存在，则z=f(x,y)在P。连续.()、填空(每空2分，共20分)11./2 x、x ,1. lim xsin + sinx+()=.xr：x xx2. 函数f(x)=x. 3_x在0,3上满足罗尔定理的条件，定理中的数值=3.设 f(x)= x:0x_0当a=时,f(x) 在x=0处连续.4. 设 z=ex2 2y，则 dz| (0,0)=.5. 函数f(x)=e x -x-1在内单调增加；在 内单调减少6. 函数y =ax? bx 2 cx d满足条件 时，这函数没有极值d b 27. sin x dx =其中a,b为常数.dx a8. f (x)=1 且 f (0) =0，则 f (x)dx =.1x9. 若I= dx 2 f (x,y) dxdy交换积分次序后得 .、计算(每小题5分,共40分)亠 1 1ln ty1.求 lim (飞-)；2.dt + (cos t 3)dt=2,求 dy ；x xxtgx1t111 1-bo3.求dx ；4.求(3dx ；5.求xe xdx ；.x (1 x)Jf74 1 - X - 1L037-26.设 z=ln(x 2 +y 2)求 -,Zxx _：y7计算1= I