高考数学合情推理与演绎推理

1、推理与证明第一节合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜 想）证明2、类比推理由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出 他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特 征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简 称类比）.类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从

2、而 得出一个猜想；检验猜想。3、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种 推理称为演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式， 包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断.题型一用归纳推理发现规律例1:通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。sin2150 sin2 75° sin2135° =总；sin2 300 sin290° sin2150° =-；2 2sin245° sin2 1050 sin21650 =? ； sin

3、2600 sin21200 sin2180°=?.2 23解析：猜想：sin2(： -60°) sin2 二- sin2(二 1 600)=证明：左边=(sin ： cos60° -cos： sin600)2 sin2 工"(sin ： cos60° cos： sin600)23223=2 （sin 二 亠 cos :-）二右边注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性，（2）观察角的“共性”（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三 是“循环型”（周期性） 题型二用类比推理

4、猜想新的命题1例2:已知正三角形内切圆的半径是高的-，把这个结论推广到空间正四面体，3类似的结论是.111解析：原问题的解法为等面积法，即S = ah=3 ar= r=h，类比问题的解22311 1法应为等体积法， V二丄Sh = 4丄Sr= r =丄h即正四面体的内切球的半径是高33414注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积； 面积对应体积；点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。（4）找对应元素的对应

5、关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂 直，边相等对应面积相等题型三利用“三段论”进行推理例3某校对文明班的评选设计了 a,b, c, d, e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样S二旦-1来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自b d e测过程中各项指标显示出0 : c : d : e ： b <a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得 S的值增加最多，那么该指标应为 （填入a,b,c,d,e中的某个字母)解析：因a,b,c,d,e都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多， O c ：

6、 d :：: e ： b ： a，所 以c增大1个单位会使得S的值增加最多注：从分式的性质中寻找S值的变化规律；此题的大前提是隐含的，需要经过 思考才能得到1. 下列说法正确的是()A. 类比推理是由特殊到一般的推理B. 演绎推理是特殊到一般的推理C. 归纳推理是个别到一般的推理D. 合情推理可以作为证明的步骤 答案：C2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小 数”是假命题，推理错误的原因是()A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D 使用了“三段论”，但小前提错误答案：C 填空题1113已知 ai0 (i =1,2/ ,n)，考察下列

7、式子:(皿 -1 ; (ii)何 *2)()一4 ;a*ia*i a?(iii)佝a2a3)( ) _9.我们可以归纳出，对印耳,，a.也成立的类似不a1a2a3等式为1 11答案：(a 玄a)(-)_n2a1 a2an4. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的4中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .解析(见高三复习步步高)解法的类比(特殊化) 易得两个正方体重叠部分的体积为5已知 ABC的三边长为a,b,c，内切圆半径为r

8、(用S-abc表示ABC的面积)，1则S ABC r(a b c)；类比这一结论有：若三棱锥A- BCD的内切球半径为R， 则三棱锥体积Va_bcd二1解析R( S ABC 'S ABD6. 在平面直角坐标系中，直线一般方程为 Ax By 0，圆心在(Xo,yo)的圆的一般方程为(x - X。)2 (y - y。)2 =r2 ;则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为,球心在(xo,yo, zo)的球的一般方程为答案；Ax By Cz D =0 ； (x -x。)2 (y - yo)2 - (z - z。)2 二 r27. ( 1)已知等差数列的定义为：在一个数列中，从第二项起，

9、如果每一项与它的前 一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的 公和.类比等差数列的定义给出“等和数列”的定(2) 已知数列是等和数列，且a2，公和为5，那么a18的值为 答案：(1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么 这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；(2) % =；8. 对大于或等于2的自然数m的n次方幕有如下分解方式：2 2 22=133=13 54 =1 3 5 72 =3533=79 11413 15 1719根据上述分解规律，则52=1 35 7 9,若m3(m N*)的分解中最小的数是 73,则m的值为解答题9.

10、(1)已知等差数列a bn二也皀 弘(nN )，n求证：乜仍为等差数列；(2)已知等比数列, Cn=O ( nN ),类比上述性质，写出一个真命题并 加以证明.n(d an)解析(1)d 2，bni_bn=，为等差数列.0.!n1 _an为常数，所以g ?仍为等差数列;2 2(2)类比命题：若为等比数列，Cn0 ( n N * ),dnn n d 证明：dn =；（G G）2 = Jc©，dn丑=荷为常数，Q为等比数列Cn二nq C2宀q，则a 为等比数列10将具有下列性质的所有函数组成集合M :函数y二f(x)(xD),对任意x, y,- D均满足f(g)f(x) f (y)，当且

11、仅当x = y时等号成立。2 2 2(1) 若定义在(0，+ )上的函数f(x) M，试比较f(3) f (5)与2 f大小.(2) 设函数 g(x)= x2，求证：g(x) M.x + y 1解析：对于 f(2 )-2戸以)f(y)，令 x=3,y=5得 f(3) f(5)<2f2 2 2 2X1X21(X1X2)X1X2(X1X2)g(-) g(xjgX)-022424g(生产)_2【g(X1)g(X2)，所以 g(x) M2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1. 综合基是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最

12、后推导出所要证明的结论成立的 证明方法。2. 分析法 是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的 充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条 件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明 假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法;它是一种间接的证明方 法.反证法法证明一个命题的一般步骤： 假设命题的结论不成立;(2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 断言假设不成立肯定原命题的结论成立题型一：用综合法证明数学命题例1 :对于定义域为0,11的函数f(x)，如果

13、同时满足以下三条：对任意的10,1】，总有f(x )兰0;f (1卜1若为Z0,X2兰0兀+ X2兰,1都有f(X，X)- f( 1X)f( 2成立，则称函数f (x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，求f (0)的值； 判断函数g(x) =2x -1 (0,1)是否为理想函数，并予以证明；解析：(1)取 X1=X2=0可得 f(0) 一 f(0)f(0)二 f(0)乞 0 .又由条件f(0) o，故f (0H0.(2)显然g(x)=2X-1在0，1满足条件g(x)_ 0 ;也满足条件 g(1) = 1.若 X1 _0， X2 _ 0，X1 X2 -1，贝Ug(x1 X2) - g(

14、xj g(X2) = 2X1 X2 -1 - (2一 1) (2X2 -1)二 2X1 X2 一 2X1 - 2冷 T (2X2 - 1)(2X1 -1) - 0，即满足条件, 故g(x)理想函数.注：紧扣定义，证明函数g(x)=2X-1 (0,1)满足三个条件题型二：用分析法证明数学命题14例 2:已知：0 ：a ：1，求证：9.a 1 a14证明：0 a 1 二要证 1 9 ,a 1 -a去分母后需要证：(1 - a) +4a> 9a (1 a), 移项合并同类项，即需要证：9a2 6a+1> 0,2即要证；3a -1_0,(1)而(1)式显然成立，二原不等式成立。题型三：用反

15、证法证明数学命题或判断命题的真假x 2例3 :已知f(x) =ax 二上(a 1)，证明方程f (x) =0没有负数根X。- 2Xo 1x+1解析：假设X0是f(x)=0的负数根，贝U X0 <0且X。一 1且ax0人 210 a ” 1 = °一1，解得 1 :：: x° ： 2，这与 x ： 0 矛盾,冷12故方程f(x)=0没有负数根 注：(1)凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难, 适宜用反证法。即“正难则反” ；(2)反证法步骤：假设结论不成立一推出矛 盾f假设不成立。选择题1.用反证法证明命题：若整系数方程ax2 bx 0(&qu

16、ot; 0)有有理根，那么a,b,c中 至少有一个是偶数，下列假设中正确的是()A、假设a,b,c都是偶数B、假设a,b,c都不是偶数C、假设a , b,c中至多有一个偶数D、假设a ,b, c中至多有两个偶数答案；B2 若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形疋疋()A.锐角三角形B.直角三角形C钝角三角形D.不能确定答案：B3. 已知 aa2 0a3 , 贝U 使得(-®x2：)(i1 都成立的x取值范围是(B )12A. (0,丄)B (0, - )C.aai12(0, - )D. (0,-)a3a3提示；(1 - aix ： 2 10 0 0f()+f()+f(

17、)=.1 0 10 0 1 0 1 1 001-答案：5005. 如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P(0, p)在线段AO上的一点(异于 端点)，这里a,b,c,p均为非零实数，设直线BP,CP分别与边AC, AB交于点E, F , 某同学已正确求得直线OE的方程为丄_丄、lb x &( 0 ,),由x匸ai2 2 2v v 、a1 a2 a3 0=. a1 a2a3 得出结论。填空题4x4. 若 f(x)x-, 则x方程：)xIP a丿1 一丄y =0 ,请你完成直线OF的p a4 +2答案：1-丄c b6. 将全

18、体正整数排成一个三角形数阵:789101112131415按照以上排列的规律，第 门行（n_3）从左向右的第3个数为答案：。2解答题7. 若 a b c d 0 且 a d 二 b e，求证：.d . a ： . b ； c解析要证c，只需证 G d a）2 ： （、一 b c）2即 a d 2 ad ： b c 2 bc，因 a b c，只需证.ad ： . bc即 ad : be，设 a d 二 b e 二t，贝卩 ad _bc = (t _d)d(t _c)c = (cd )(c d _t) ： 0-ad : bc 成立，从而- d 亠a ：. b . c 成立8. 在锐角三角形 ABC

19、 中，求证：sin A + sin B +sinC a cosA + cosB + cosC解析YABC为锐角三角形，.A B - A -B，y =s inx 在(0,§)上是增函数，si nA si n(3-B)=cosB同理可得 sinB cosC， sinC cosA.sin A sin B sin C cosA cos B cosC9.设a, b为非零向量，且a, b不平行,求证a b，a b1111不平行 解析假(a b)，贝u( )a (1)b=0，1111a,b不平行，- 0+扎=0，因方程组无解，故假设不成立，即原命11题成立11110. 已知a、b、c成等差数列且公差d=0，求证：一、一、一不可能成等差数abc列解析a、b、c成等差数列，.2b二a c假设一、一、一成等差数列，则2 =丄-丄=(a - c)2 =4ac= (