函数与导数经典例题高考压轴题

1、函数与导数 1.已知函数 f(x) =4x3 - 3tx? _6tx t -1,x R，其中 t R (I)当t -1时，求曲线y = f(x)在点(0, f (0)处的切线方程； (U)当t =0时，求f (x)的单调区间； (川)证明：对任意的 L (0, ：), f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线 方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满 分 14 分。 (I)解：当 t=1 时，f(x)= 4x3 3x? 一 6x, f (0) = 0, f (x) = 12x2

2、6x - 6 f(0)=-6.所以曲线y = f(x)在点(0, f (0)处的切线方程为y6x. (U)解:f (x)二 12x2 6tx -6t2，令 f (x) = 0，解得 x = t或x =. 2 因为t=0，以下分两种情况讨论： (1) 若 t 0,则- -t,当 x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表: 2 + - + 所以，倔的单调递增区间是-2-t-:;f(x)的单调递减区间是討 (2)若t 0,则-r：-，当x变化时，(x), f(x)的变化情况如下表: 2 + - + 所以，f(x)的单调递增区间是it,；_f(x)的单调递减区间是Q. 递增，以下分两种情况讨论

3、： (1)当-_1,即 t _2时，f(x)在(0，1)内单调递减， 2 所以对任意r 2：), f(x)在区间(0，1)内均存在零点 (2)当0)J即0：讥：2 时，f(x)在0丄 内单调递减，在 1,1内单调递增，若 2 I 2丿 12丿 t (0,1, f 1 ；一7t3 t 1 乞-t3 :：: 0. J2 丿 4 4 所以f(x)在1,1内存在零点 若t (1,2),f 所以f(x)在0j内存在零点 所以，对任意r (0,2), f(x)在区间(0，1)内均存在零点 综上，对任意t (0, =), f(x)在区间(0，1 )内均存在零点。 2.已知函数 f(x) =2x - ， h(

4、x)二.x . 3 2 (I)设函数F(x) = 18f (x) x2 h(x) 2，求F(x)的单调区间与极值； (U)设 a R，解关于 x 的方程 lg| f(x-1)-弓=2lg h(a -x) -2lg h(4 -x)； (出)设 n 二 N *，证明: f (n )h( n) -h(1) h(2) HI h( n) . 6 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、 函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力. 解：(I) F(x) =18f (x) x2h(x-x3 12x 9(x _0)， .F (x) - -3x

5、2 12 . 令.F (x) =0，得 x = 2 ( x = 一2 舍去). 当 x (0,2)时.F (x) 0 ;当 x (2,；)时，F (x) :：: 0， 故当0,2)时，F(x)为增函数；当x2,；)时，F(x)为减函数. x=2为F(x)的极大值点，且 F( 2-8 24 25 . (U)方法:原方程可化为 log4-f (x T)- = log2 h(a-X)-log2 h(4-X)， 2 _ 4 (川)证明：由(U)可知，当 t 0时, f(x)在0,-内的单调递减，在 I 2丿 弓内单调 即为 log 4(x -1) =log2 Ja -x -log 2 丁4 -x =l

6、og2 ，且 (4_x l10,知 ax $ - 2ax 1 亠 0 在 R 上恒成立，因此 厶=4a2 4a =4a(a-1)乞0,由此并结合a 0，知0：a. 5. 已知 a， b 为常数，且 a0，函数 f (x)二-ax+b+axInx ，f (e) =2 (e=2. 71828是自 然对数的底数)。 (I )求实数 b 的值； (II )求函数 f (x)的单调区间； (III )当 a=1 时， 是否同时存在实数 m 和 M( m0 得 x1,由 f(x)0 得 0 x 0公必2 = 2 - m a 0,故0 捲 c x2. 对任意的 x-i, x2,有x-x 2 _ 0, x - 捲 _ 0, x 0 则 f (x) g(x) - mx = x(x - 捲)(x - x2)込 0,又f (x-i) g(x-i) - m% =