初等几何研究试题标准答案(1)(李长明版)

1、1 / 26初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1.OO、OQ 相交于 A B,OO 的弦 BC 交OQ 于 E,O02 的弦 BD 交O0 于 F,求证：(1)若2DBA2CBA 贝卩 DF=CE;若 DF 二 CE 则 / DBAMCBA.证明:连接 AC AE AF、AD在O0 中，由/ CBAWDBA 得 AC=AF在OO 中，由/ CBAWDBA 得 AE=AD由 A C、B、E 四点共圆得/仁/2由 A D B、E 四点共圆得/ 3 二/4所以 ACEAAFD DF=CE(2)由(1)得/ 仁/ 2, / 3=24vDF=CEACEAAFD2 / 26 AD=AE在OQ 中，

2、由 AD=AE得/ DBAMCBA2.在厶 ABC 中 ,AC=BC,ZACB=90,D 是 AC 上的一点,AE 丄 BD 的延长线 于 E,又 AE=1BD,2求证:BD 平分/ ABC.证明：延长 AE,BC 交于点 F7 AED BCA =90ADE BDC CBD =/CAF又 7 ACF BCA = 90 AC 二 BC ACF 三 BCD . AF = BD11又 7 AEBD . AE AF22又 7 ABEE _ BE BE 平分 ABF即 BD 平分.ABC3.已知在凸五边形 ABCDE 中 , / BAE=3 ,BC=CD=DEM/ BCD 玄CDE=180-求证：/ B

3、AC2CADhDAE.3 / 26证明：连接 BD,得 CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=18(0-(180o 2 - ) -2=.:丄BDE=(180 2G)-O(=180O 3 A B、D E 共圆同理 A C D E 共圆 hBAChCADhDAE4.设 H 为锐角 ABC 的垂心，若 AH 等于外接圆的半径求证：hBAC=60证明：过点 B 作 BDL BC,交圆周于点 D,连结 CD D/ DBC=90, CD 是直径，则/ CAD=90由题，可得 AHLBC, BH 丄 AC4 / 26 BD/ AH, AD/ BH二四边形 ADBH 是 AH=BD又;AH 等于外接圆的半径

4、（R） BD=RMCD=2R在 Rt BCD 中 ,CD=2BD 即/ BCD=30 / BDC=60又；/ BACKBDCBACMBDC=605.在厶 ABC 中, / C=90,BE 是/B 的平分线,CD 是斜边上的高，过 BECD 之交点 0 且平行于 AB 的直线分别交 AC BC 于 F、G,求证 AF=CE.证明:如图；/ 1 =23, / 仁/2.2二二/ 3, GB = GO,；25=24=26,CO =CE,；FG/ AB,. AF/CF二二B$CG二二G0CG,又； FC3ACOG/. CO7CF=G/CG=A/CF, CO=AF； CO=CE, AF=CE.6.在厶 A

5、BC 中,先作角 A B 的平分线,再从点 C 作上二角的平分线值 平5 / 26行线，并连结它们的交点 D E,若 DE/ BA,求证：ABC 等腰.证：如图所示设 AG ED 的交点为 FvAD 是/ A 的平分线 /仁/2TDE/ AB仁仁/3vCE/ AD:丄3二二/5,/4二二/2/仁仁/2二二/3=Z4=25则厶 FADffiFCE 是等腰三角形 AF=DF,EF=CF AC=DE同理可证BC=DE AC=BC ABC 是等腰三角形6 / 267.三条中线把 ABC 分成 6 个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4 个相等.求证： ABC 是正三角形.证明：/ AOF AOE CO

6、D COE BOF BOD 面积都相等-SAOFE=SAOEC即:11111 1BFX叶 一 FOX 叶 BOXr= CEX 叶OE 叶 OCXr222 2 2 2112 (BF+FO+BOXr= - (CE+OE+OCXr BF+FO+BO 二 CCE+OE+OC CE+OE+OC-OG-OI 二 CE+OE+OC-OL-OJ 2DH+2BH=2FK+2CK 2BF=2CE7 / 26又 F、E 分别为 AB AC 之中点 AB=AC同理:AB=BC故厶 ABC 是正三角形.8.平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等 证明:该四边形为菱形.C证明:又AOBA BOC、 CO

7、DA DOA 四个三角形的面积相等11ODDCOC r OB BCOC r22CDOCOD二BC OB OCOD OCDC- OE - OG = OB OCBC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC四边形为菱形9.凸四边形被对角线分成 4 个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四8 / 26边形是菱形证明:连结 Oi、O2,分别作 Oi、O2到 AC 的垂线，垂足分别为 P、M在厶 ABC 中 ,BO 是。O、。Q 的公切线二 BOL O102又丁。0、。Q 半径相同，且都与 AC 相切OiO2II AC BOLAC BD 丄 ACT两个相等的

8、内切圆。O、。O 在对顶三角形AOBWCOD 中周长C AOE=CCOD AO+BO+AB二二CO+DO+CD又T OP=OQ=OM=ON( AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) 2AB=2CD AB=CD同理 AD=BCD9 / 26四边形 ABCD 是平行四边形又TAd BD二四边形 ABC是菱形10. 在锐角 ABC 中,BD,CE 是两高，并自 B 作 BF 丄 DE 于 F,自 C 作CG 丄 DE 于 G,证明:EF=DG.证明:设 O,M 分别是 BC,FG 的中点，所以 0M / BF,因为 BF 丄 FG 所以 0M 丄 FG,又因为/ B

9、EC= / BDC=90所以 BCDE 四点在以 BC 为直径的圆上，因为 0M 丄 DE,所以 0M 平分 ED,所以 FM-EM=MG-MD即 EF=DG.OB10 / 2611. ABC 中,M 是 BC 的中点，1 是内心,BC 与内切圆相切与 K.求证:直线 IM 平分线段 AK.证明:作出/ A 的旁切圆 0,设它与 BC 边和 AB,BC 的延长线分别切于 D,E,F,（如图）连接 AD 交内接圆于 L,则因内接圆和旁切圆以 A 为中点成位似，则：IL 丄 BC,即 K,I,L 共线于是原题借中位线可如下转化 Ml 平分 AK, M 平分 DK BD=KC后者利用圆 I 与圆 0

10、 两条外公切线相等 EG=FH BD+BK二二CD+CK11 / 26则反推过去，得到 IM 平分线段 AK.12. 在 ABC 中,M 是 BC 的中点,I 是内心,AFUBC 于 H,AH 交 MI于 E,求证:AE 与内切圆半径相等证明:如图所示作厶 ABC 的内切圆，二切点分别交于 BC 于点 K、AB 于点 F、AC 于点 G 连接KL 与 AC二 KL 是直径，又TM 为 BC 的中点,1 为内心，则 AL/MI又TAH 丄 BC AH/ LK又点 E 点 I 分别都在 AH、LK 上 AE/ LI四边形 AEIL 为平行四边形 AE= LI命题得证.12 / 2613. 在矩形

11、ABCD 中,M 是 AD 的中点,N 是 BC 的中点,在 CD 的延长 线取P 点，记 Q 为 PM 与 AC 的交点，求证:/QNM =ZMNP证明:利用矩形的中心设 0 是矩形 ABCD 的中心，则 O 也是 MN 的中点，延长 QN 交0C 的延长线于 R,如图则 0 又是 PR 的 中点，故 NC 平分/ PNR.,而 NM 丄 NG. NM 平分/ PNQ14. 给定以 0 为顶点的角，以及与此角两边相切于 A、B 的圆周，过 A 作0B的平行线交圆于 C,连结 0C交圆于E,直线AE交0B于 K,求 证:OK=KB.13 / 26证明:如图所示，过 C 作圆的切线交 0B 延长

12、线于 D.TOD,OA,CD 都是圆的切线，且 AC/CD二四边形 ACDO等腰梯形，/ DOAhDvZBOChACOZACOhOAKBOChOAKvZDOAZDAOAODC.CD _ 1.KO _ 1VOD_2AO一2vOA=OB OB=OA=2K 即 OK二二KB15. 在等腰直角？ABC 的两直角边 CA,CB 上取点 D、E 使 CD=CE,从 C、D 引 AE 得垂线,并延长它们分别交 AB 于 K、L,求证:KL=KB.14 / 26证明:延长 AC 至 E使 CE=CE,再连 BE交 AE 的延长线于 H.T?ABC 是等腰直角三角形 AC=BC , / ACB= / BCE=9

13、0又TCE=CE ?BCE坐?ACE / CAE= / CBEvZAEC=/BEH?BHE s?ACE/BHE=ZACB=90vDL/CK/EB 及 DC=CE KL=LB.16点 M 在四边形 ABCD 内，使得 ABMD 为平行四边形，试证若ZCBM=ZCDM,贝 SZ ACD=ZBCM.15 / 26证:作 AN / BC 且 AN=BC,连接 DN、NCvABMD 为平行四边形,AN / BC 且 AN=BC ABCN、DMCN 为平行四边形，AD二二BM DN二二CM、AN=BC/仁仁/3,Z2二二/4,Z6二二/7/Z仁仁/2:丄3二二/4 A、C、N、D 共圆（视角相等） / 5

14、二二/ 7 （同弧 AD） / 5=26 即/ ACD二二/ BCM17. 已知2ABC2ACD=60 ,且2ADB=90 -丄2BDC 求证： ABC 是等2腰的.16 / 26证明：延长 CD 使得 BD= DE,并连结 AEv2AD* 90-2BDC2 22AD內內2BDC= 180又2BDO2AD 聊2ADE= 1802ADB=2ADE又TBD= DE,AD= ADADBAADE 2ABD=2AED= 60 ,AB=AE又vZACD= 60ACE 为正三角形 AC= AE AB= AC ABC 为等腰三角形18.OO、OO 半径皆为 r,OO 平行四边形 过的二顶 A B,OO2过顶

15、点 BC,M 是OO、O Q的另一交点，求证 AMD 勺外接圆半径也是 r.17 / 26证明：设 O 为 MB 的终点连接 CO 并延长OO 于 E则由对称知 O 为 CE 的中点vO 平分 MBO 平分 CE MEBC平行四边形二 ME/ BC/ AD MEA 亦是平行四边形MAEA AMDAMD 勺外接圆半径也为 r19. 在凸五边形 ABCDE 中，有/ ABC二二/ADE, / AEC二二/ ADB, 求证:/BAC二二/ DAE.18 / 26证明:连接 BD,CE,设它们相交于 F,如图,vZAECMADB. A,E,D,F 四点共圆.ZDAEZDFE.又ZABCZADEZAFE

16、. A,B,C,F 四点共圆.ZBACZBFC.又ZDFEZBFC.ZBACZDAE.20. 在锐角 ABC 中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C 处的两切线分别交 B 处的切线于 M、N,设 BD是厶ABC 的高（D 为垂足），求证:BD平分/ MDN.19 / 26证明:如上图,m、n 分别表示过 M、N 的切线长，再自 M 作 MM 丄 AC 于M 作 NN 丄 AC 于 N :则有vZN= ZB=ZNCNMAM NCN AM 7CN =AM/CN二二m/n又vMM / BD / NN M D/DN MB/BN=m/n由等比性质知m/n=(M D AM /(DN -CN 二二AD/DC

17、ADM CDN DM/DN=m/n 即 DM/m=DN/n BD 平分ZMDN21. 已知:AD、BE、CF 是厶 ABC 的三条高.求证:DA、EB、FC 是厶 DEF的三条角平分线.20 / 26证明:连结 DF、FE、DEvCF 丄 AB AD 丄 BC B、D H F 共圆/ 1 = 2 3vADL BC BE 丄 AC B、D E、A 共圆22=2322=21 AD 平分2EDF同理,CF 平分2EFDBE 平分2FED即证:DA、EB、FC 是厶 DEF 的三条角平分线22. 已知 AD 是厶 ABC 的高,P 是 AD 上任意一点，连结 BP-CP 延长交21 / 26AC、AB

18、 于 E、F,证 DA 平分/ EDF.证:过 E、F 两点分别作 EH、FG,使 EH 丄 BC,FG 丄 BC,且交 CF、BE 于I、JTEH 丄 BC,AD 丄 BC,FG 丄 BC23. 圆内三条弦 PPi、QQi、RRi、两两相交,PPi与 QQi交于 B,QQi与RRi交于 C,RRi与 PPi交于 A,已知:AP=BQ=CR,ARi=BPi=CQi,求证:ABC 是正三角形. EH / AD /FGEH _ AD _ FGEI AP FJ又.岂二匹PJ GDElPsJFPEl EPFJ PJ /DFJ=ZDEI 即/ ADF=z ADE 即DA 平分/ EDFEH _ ElFG

19、 - FJEHDsFGD /FDB2EDC22 / 26解:设 AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1,则由相交弦定理得 m(c+n)二二n(b+m)m(a+n)=n( c+m)m(b+n)=n( a+m)即 ma二二ncmb二二na me二二nb三式相加得 m=n所以 a=b=c 即厶 ABC 是正三角形24. H 为厶 ABC 的垂心,D、E、F 分别为 BC、CA、AB 的中点，一个以H 为心的圆交 DE 于 P、Q,交 EF 于 R、S,交 FD 于 T、V.求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BUA23 / 26证明:连结 AS、AR、RH由相交弦定理知：AH HA=BH HB

20、=CH HCAS2二二AR2=AK2+KR2设 oH 的半径为 r,在:KRH 中,KR2=r2-HK2AS2=r2+ (AK+KH ) (AK-HK )=r2+AH (AK-HK)在厶 ABC 中,F、E 为 AB、AC 的中点，且 AABCAK=KAAS2=AR2=r2+AH HA同理:BT2=BU2=r2+BH HB2 2 2CP2=CQ2=r2+CH HC24 / 2625、在锐角三角形 ABC 中,AD、BE、CF 是各边上的高，P、Q 分别在线段 DF、EF 上，且/ PAQ 与/ DAC 同向相等.求证:AP 平分/ FPQ证明:作出 APQ 的外接圆，延长 PF 交圆于 R,分别连结 RA、 RQ 由图可知，AQPR 内接于圆1/ PRQhPAQhDAC/DFE2由外角定理得，/ PRQ+ FQR