动态规划矩阵连乘算法

1、问题描述：给定n个矩阵：Ai,A2,.,An，其中A与Ai+i是可乘的，i=1,2.,n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积 需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有 许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号， 则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准 算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：(1) 单个矩阵是完全加括号的；(2)矩阵连乘积A是完全

2、加括号的，则A可表示为2个完全加括 号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(AI(A2(A3A4)，(AI(A2A3)A4)，(AiA2)(A3A4)，(Ai(A2A3)A4)，(AlA2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算 次序，这决定着作乘积所需要的计算量。看下面一个例子，计算三个矩阵连乘A1，A2，A3;维数分别为10*100 ,100*5,5*50按此顺序计算需要的次数(Ai*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(AI*(A2*A3):1

3、0*5*50+10*100*50=75000次所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。算法思路：例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分 别是：A1：30*35;A:35*15;A:15*5;A4:5*10;A5:10*20;A6：20*25递推关系：设计算Ai:j,1ij,弓所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的 最优值为m1, n。当i=j时，Ai:j=Ai,因此，mii=0,i=1,2,n当ij时，若Ai:j的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i=kj,则：mij=mik+mk+1j+p /pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还

4、未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个 位置使计算量达到最小的那个位置。综上，有递推关系如下:oi = j幽斶闪+吨+1J+阳叭iusing n amespace std;const int L = 7;int RecurMatrixChai n(int i,i nt j,i nt *s,i nt *p);/递归求最优解void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s);/构造最优解int mai n()int pL=30,35,15,5,10,20,25;int *s = new int *L;for(i nt i=0;iL;i+)si = new

5、in tL;coutvv矩阵的最少计算次数为：vvRecurMatrixChain(1,6,s,p)endl;coutvv矩阵最优计算次序为： “1JS-1(T(k) + T(n-幻 +0(1)n 1fl-lw-LT(n) (?() +肋丁辽一丁辽一k) =0(打)+：7用数学归纳法可以证明RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。3、备忘录递归算法1:22:23:34:4#4 妙2：3void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s); 构造最优解若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值， 则表示该问题是 第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在

6、相应的 记录项中，以备以后查看。若记录项中存储的已不是初始化时 存入的特殊值，贝y表示该子问题已被计算过，相应的记录项中 存储的是该子问题的解答。此时从记录项中取出该子问题的解 答即可，而不必重新计算。3d1-2 矩阵连乘备忘录递归实现/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25p0-6=30,35,15,5,10,20,25#i nclude stdafx.h#in clude using n amespace std;const int L = 7;int LookupCha in (i nt i,i nt j,i nt *m,i

7、 nt *s,i nt *p);int MemoizedMatrixChai n(int n,i nt *m,i nt *s,i nt *p);int main()int pL=30,35,15,5,10,20,25;8.备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新计算。备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项，初始化时,int *s = new int *L;int *m = new int *L;for(int i=0;iL;i+)si = new intL;mi = new intL;cout 矩阵的最少计算次数为： Memoiz

8、edMatrixChain(6,m,s,p)endl;cout 矩阵最优计算次序为： endl;Traceback(1,6,s);return 0;int MemoizedMatrixChain(int n,int *m,int *s,int *p)for(int i=1; i=n; i+)for(int j=1; j0)return mij;if(i=j)return 0;int u = LookupChain(i,i,m,s,p) + LookupChain(i+1,j,m,s,p)+pi-1*pi*pj;sij=i;for(int k=i+1; kj; k+)int t = Lookup

9、Chain(i,k,m,s,p) + LookupChain(k+1,j,m,s,p) + pi-1*pk*pj;if(tu)u=t;sij = k;mij = u;return u;void Traceback(int i,int j,int *s)if(i=j) return;Traceback(i,sij,s);Traceback(sij+1,j,s);coutMultiply Ai,sij;cout and A(sij+1),j0，则表示其中存void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s); 构造最优解储的是所要求子问题的计算结果，直接返回即可。否则与直接递

10、归算法一样递归计算， 并将计算结果存入mij中返回。 备忘录算法耗时0 （n八3），将直接递归算法的计算时间从2An降至0（n八3）。3、动态规划迭代实现用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。3d1-2 矩阵连乘动态规划迭代实现/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25p0-6=30,35,15,5,10,20,25#i nclude stdafx.h#in

11、clude using n amespace std;const int L = 7;int MatrixChai n(int n,i nt *m,i nt *s,i nt *p);int main()int pL=30,35,15,5,10,20,25;int *s = new int *L; int *m = new int *L; for(int i=0;iL;i+)si = new intL; mi = new intL;cout 矩阵的最少计算次数为： MatrixChain(6,m,s,p)endl;cout 矩阵最优计算次序为： endl;Traceback(1,6,s);ret

12、urn 0;int MatrixChain(int n,int *m,int *s,int *p)for(int i=1; i=n; i+)mii = 0;for(int r=2; r=n; r+) /r 为当前计算的链长(子问题规模)for(int i=1; i=n-r+1; i+)/n-r+1 为最后一个 r 链的前边界int j = i+r-1;/计算前边界为 r,链长为 r 的链的后边界mij = mi+1j + pi-1*pi*pj; 将链 ij 划分为 A(i) * ( Ai+1:j) sij = i;for(int k=i+1; kj; k+)/将链 ij 划分为 ( Ai:k

13、)* (Ak+1:j)int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj;if(tmij)mij = t;sij = k;return m1L-1;void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s)if(i=j) return;Traceback(i,sij,s);Traceback(sij+1,j,s);coutMultiply Ai,sij;cout and A(sij+1),jendl;上述迭代算法的运行过程如下图所示：Al A2 A3 A4 A5血血R=2*J+JRT-_R=4， _*R爭- _R=&-如图所示：当R=2时，先迭代计算出：m1:2=m1:1+m2:2+p0*p1*p2;m2:3=m2:2+m3:3+p1*p2*p3;m3:4=m3:3+m44+p2*p3*p4;m4:5=m4:4+m55+p3*p4*p5;m5:6=m55+m66+p4*p5*p6的值；当R=3时，迭代计算出：m1:3=mi n( m1:1+m2:3+p0*p1*p3,m1:2+m3:3+p0*p2*p3)；m2