05讲——循环码PPT课件

1、2021/3/91第五讲循环码2021/3/92回顾（1） 为了简化好码搜索、便于分析及简化译码方法，在线性运算封闭约束的基础上，又加入了循环封闭的约束 当循环码用多项式表示时，可以很好的利用近世代数的知识，因此介绍了一些基础知识和概念2021/3/93回顾（2） 群：子群和陪集 环：子环、理想、主理想、多项式剩余类环 域的乘法结构：域的乘法群是循环群、元素的级、循环群的阶、生成元，域的本原元2021/3/94回顾（3） 域的加法结构：域的特征、元素的周期、素子域、基域与扩域 域的多项式结构：共轭根系、w的最小多项式、本原多项式、用最小多项式根表示的域、多项式的周期 剩余类线性结合代数，当以x

2、n-1为模时，循环子空间与理想等价，生成多项式。2021/3/95有限域举例 构造一个4元环：整数环中的模4剩余类环 构造一个4元域： 模4运算没有逆 4=22，因此可以从GF(2)形成扩域 找一个GF(2)一的2次不可约多项式：f(x)=x2+x+1 找到用多项式表示的GF(22)的另两个元素：a=x，b=x+1。（即所有低于2次的多项式） 定义GF(2)上的模f(x)运算，得到乘法表，显然a与b互逆。 可以验证a和b是f(x)的两个根，构成共轭根系，显然它们不属于GF(2)，而属于扩域 由于乘法群的阶数22-1=3是一个素数，a和b的级都是3，因此它们都是本原元，f(x)是一个GF(2)上

3、的本原多项式2021/3/96循环码的生成多项式 （回顾）以xn-1为模的剩余类代数中，循环子空间与理想等价。其生成元中次数最低的首一多项式为生成多项式 循环码的生成多项式必为xn-1的因子，同一个循环子空间可以有多个生成元，而所有这些生成元都应与xn-1有公因式，此公因式化为首一多项式即为其生成多项式。 反之，若g(x)|(xn-1)，则g(x)可以生成一个循环码，且当g(x)为n-k次多项式时，可生成(n,k)码2021/3/97互反多项式与零空间 由于xn-1 可被g(x)整除，xn-1=g(x)h(x) 若h(x)=htxt+ht-1xt-1+h1x+h0，则h*(x)= h0 xt+

4、h1xt-1+ht-1x+ht为h(x)的互反多项式 g(x)和h*(x)均可生成长度为n的循环码，且互为零空间2021/3/98子码 对于循环码C1和C2，如果有C1C2，则称C1为C2的子码 若g1(x)生成码C1，g2(x)生成码C2，而g2(x)|g1(x)，即g1(x)可以被g2(x)整除，或g2(x)是g1(x)的一个因子，则C1C2，即C1为C2的子码2021/3/99系统循环码 根据生成多项式g(x)可以直接对k-1次信息多项式d(x)编码，即c(x)=d(x)g(x) mod xn-1，当g(x)可以整除xn-1时，构成循环码。 系统码指的是在编码序列中包含所有信息位的编码。

5、上述方法形成的循环码不是系统码。 系统循环码的生成：C(x) = d(x)xn-k + r(x) 0 mod g(x)。即将信息序列左移n-k位，加上一个n-k-1次的校验多项式r(x)，其中的r(x)= -d(x)xn-k mod g(x)。 2021/3/910用生成多项式的根定义循环码 研究表明，生成多项式有重根的码一般都要比无重根的码差，因此只考虑无重根的码，或构造无重根的多项式。 GF(q)上多项式xn-1无重根的充要条件是n与q互素。因此对GF(2)而言，充要条件即为n为奇数。2021/3/911合法码字与生成多项式的根 若g(x)有r个不相等的根，则每个根必为每个码多项式的根，因

6、此可将所有根代入是否为零来验证是否为码多项式。（此处的运算是在扩域GF(qm)上的）2021/3/912 每个根都可有一个最小多项式，而生成多项式则是所有根的最小多项式的最小公倍式 每个根都有级数ei，即 ，则码长为所有级的最小公倍数 同一共轭根系的根在验证码字时的效果相同，因此只需考虑其中一个即可1iei2021/3/913用指定的根求生成多项式 给定必含根，求生成多项式g(x)时，要先找出各个根的最小多项式（可计算或查表），然后求它们的公倍式。由于共轭根系的最小多项式相同，因此首先要找出必含根中包括哪几个共轭根系2021/3/914用根形成生成多项式举例 GF(211)中，为本原元，令=8

7、9，求以、2、3、4为根的二进制循环码。的级数为211-1=2047=8923，23=(89)23=1，因此的级为23，如果以为根，则它的共轭根系也为根：、2、4、8、16、32=9、18、36=13、26=3、6、12。2021/3/915例（续） 由于所要求的其它必含根2、3、4都包括在这个共轭根系中，它们有相同的最小多项式g(x)=m(x) =(x-)(x-2) (x-4) (x-8) (x-16) (x-9) (x-18) (x-13) (x-3) (x-6) (x-12) = x11 + x9 + x6 + x5 + x4 + x2 + 1 这部是著名的Golay码，能纠3个错，是一种完备码。（上面的化简中要用到m()=0和=89 ）2021/3/916BCH码 用GF(qm)中的n级元素的-1个连续幂次为根的多项式生成的循环码称为BCH码。它的自由距不小于。如果根集中有本原元。则码长n=qm-1，称为本原BCH码2021/3/917RS码 GF(q)上的码长N=q-1的本原BCH码称RS码 RS码的符号域与根域相同 RS码生成多项式g(x)=(x-m0) (x-m0+1)(x-m0+-2)，常取m0=1。其码距为。即生成的码为(n,k,d)=(q-1, q-, )。因此RS码被称为极大最小距离可分码。2021/3/918循环码的译码 循环码译码时，可将