动点问题练习(含标准答案)

1、图 2 1 /N 动点问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ，它们在线段、射线或弧线上运动的一类 开放性题目解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 关键：动中求静 数学思想：分类思想 数形结合思想转化思想 1、如图 1,梯形 ABCD 中，AD / BC,/ B=90 , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动，点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动， 如果 P, Q分别从 A , C 同时出发，设移动时间为 t 秒。 当 t= _ 时，四边形是平行四边形；

2、6 当 t= _ 时，四边形是等腰梯形 8 2、 如图 2,正方形 ABCD 的边长为 4,点 M 在边 DC 上，且 DM=1 , N 为对角线 AC 上任 意一点，则 DN+MN 的最小值为 _ 5 3、 如图，在 RtA ABC 中，N ACB=90, Z B = 60, BC=2 点 是 AC 的中点，过 点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D 过点C作 CE / AB交直线I于点E，设直线I的旋转角为? 解：(1 30, 1 : 60, 1.5; (2)当/ a =90时，四边形 EDBC 是菱形. / a =/ACB=90 0,. BC/ED. T

3、CE/AB,二四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt ABC 中，/ ACB=900,/ B=600,BC=2, /./ A=300. 厂 丄AC 厂 AB=4,AC=2 3. AO= 2 =、3 在 Rt AOD 中，/ A=300,二 AD=2. BD=2. BD=BC. 又四边形 EDBC 是平行四边形, 四边形 EDBC 是菱形 4、在 ABC M (1) 当直线 (2) 当直线 (3) 当直线 关系,A B 中，/ ACB=90 , AC=BC，直线 MN 经过点 C,且 AD 丄 MN 于 M C M 1 的位置时，求证： ADC CEB : N2 的位置时，求证： 3 的位置时

4、，试 占 八、 、 B 图 1 C 旋转到图 C SN 绕点 加以证明 J B A DE=AD-BE ; 、AD、 D, 请写出这个等量 B D 图 3 N E=AD + BE ; BE具有怎样 A (1)当: 度时, 四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 度时, 四边形EDBC是直角梯形，此时 AD的长为 (2)当- =90时，判断四边形 EDBC是否为菱形，并说明理由. B 2 / 7 解：(1) I / ACD= / ACB=90 / CAD+ / ACD=90 /-Z BCE+ / ACD=90 / CAD= / BCE / AC=BC ADC CEB / ADC CEB CE=A

5、D , CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) V/ ADC= / CEB= / ACB=90 ACD= / CBE 又；AC=BC ACD CBE CE=AD , CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当 MN 旋转至 U 图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等) V/ ADC= / CEB= / ACB=90 / ACD= / CBE， 又 V AC=BC , ACD CBE , AD=CE , CD=BE , DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张老师出示了问题： 如图 1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的

6、中点.AEF -90 , 且EF交正方形外角.DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M连接 ME则 AM=EC,易证 AME ECF，所以 AE 二 EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1 )小颖提出：如图 2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图 3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF 仍然

7、成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 解：(1)正确. 证明：在 AB上取一点M，使AM二EC，连接ME . 二 BM =BE .N BME=45 :、厶 AME =135。. ：CF 是外角平分线，二 N DCF =45。，二Z ECF =135 . AME - ECF . ：NAEB+NBAE =90。，zAEB+NCEF =90。， BAE=/CEF . . AME BCF (ASA). (2) 正确. 证明：在BA的延长线上取一点 N .使AN二CE，连接 BN 二 BE . N PCE =45。. :四边形ABCD是正方形，.AD II BE . . DAE BEA

8、 . . NAECEF. ANEECF (ASA). .AE = EF . 6、如图，射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 方向以 1 个单位/秒的速度移动，设 如果不正确，请说明理由. o NE . N : A D B C E G MB 外一点,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 P 的运动时间为 t. 图 1 A D A B E C G 图 2 D 3 动 B P枫沿射 f G 求(PAB 为等腰三角形的 t 值；(2) PAB 为直角三角形的 t 值； (3) 若 AB=5 且/ ABM=45 。，其他条件不变，直接写出 PAB 为直角三角形的 t 值 A 3 / 7 图 2

9、 占G. 八、 / E 为 AB 的中点， 1 BE AB 二 2. 2 在 Rt EBG 中，/ B =60 , . / BEG =30 . 即点E到BC的距离为3. (2)当点N在线段AD上运动时, / PM _EF, EG _EF, PM PMN的形状不发生改变. / EG. EF / BC, - EP 二GM , PM 二 AB=4. 如图 2,过点P作PH _MN于H / MN / AB, / NMC 二/ B =60，/ PMH 1 =30 . PH PM 2 3 MH = PM Lcos30 . 则 2 NH =MN -MH 2 =5 2 7、如图 1，在等腰梯形ABCD中，AD

10、/ BC , E是AB的中点，过点E作EF / BC交CD于点 F . AB = 4, BC = 6, / B - 60 .求：（i）求点 E 到 BC 的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM _ EF交BC于点M，过M作MN / AB交折线ADC 于点N，连结PN，设EP =x. 当点N在线段AD上时（如图 2）, PN的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN的周长；若 改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时（如图 3）,是否存在点P，使 PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 解（1）如图 1, 过点E作 EG _ BC 于 2 心

11、严1, E”汀 C G C 图 1 4 / 7 5 / 7 图 2 此时，x=EP 二GM =6一、3 =5 - J3. 当 NP 二 NM 时，如图 5, / NPM =/ PMN =30 . 则/ PMN =120，又/ MNC = 60 , - Z PNM / MNC =180 . 因此点P与F重合， PMC为直角三角形. MC=PMjan30 =1. 此时，x 二 EP 二 GM = 6-1 一1 = 4. 综上所述，当x=2或 4 或5 3时， PMN为等腰三角形. 8、如图，已知ABC 中, AB=AC=10厘米，BC =8厘米，点D为AB的中点. (1) 如果点 P 在线段 BC

12、 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点 运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD与 CQP是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD与 CQP 全等？ (2) 若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC的哪条边上相遇? 解: (1 ) t =1 秒， BP =CQ =3 1 =3厘米， AB =10厘米，

13、点D为AB的中点， BD = 5厘米.在 RtAP PMN 的周长=PM PN MN = .3 、7 . 当点N在线段DC上运动时， PMN的形状发生改变， 但 MNC恒为等边三角形. 当PM =PN时，如图 3，作PR_MN于R，则MR =NR. 3 类似，MR . - MN=2MR=3. MNC 是等边三角形， MC=MN=3. 2 此时，x 二 EP=GM 二 BC-BG-MC =6-1-3=2. MC = MN =MP 图 3 A 图 4 G M 图 5 当 MP 二 MN 时， 如图 4,这 时 又PC =BC BP, BC = 8厘米, PC =8-3=5厘米，. PC = BD

14、6 / 7 点 点 BP =CQ , P，点Q运动的时间 又BP BPD CQP 3秒, 设经过秒后B=. C ,则 BP 二 PC =4, CQ = BD = 5 VQ晋 由题意，得 聖心=80 P共运动了 3 厘米./ 80 = 2 28 24, 80 经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇. 15 15 4 厘米/秒。 80 x 二 x = 3x 2； 10 4 ，解得 3秒. 点P、点Q在AB边上相遇, 9、如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4, / BAD=120 AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BC. CD 上滑动，且 E、F 不与 B. C. D 重合. (1

15、 )证明不论 E、F 在 BC. CD 上如何滑动，总有 BE=CF ; (2)当点 E、F 在 BC . CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和厶 CEF 的面积是否发生变化？如果不 变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值. 又PC =BC BP, BC = 8厘米, PC =8-3=5厘米，. PC = BD 7 / 7 - BPD CQP 【答案】解：（1）证明：如图，连接 AC 四边形 ABCD 为菱形，/ BAD=120 , / BAE+Z EAC=60 , / FAC+ / EAC=60 , / BAE= Z FAC。 Z BAD=120 , .Z ABF=60 A

16、BC 和厶 ACD 为等边三角形。 Z ACF=60 , AC=AB .Z ABE=Z AFC。 在厶 ABE 和厶 ACF 中,BAE= Z FAC , AB=AC , Z ABE= Z AFC ,又AB = AC c 8 / 7 ABE ACF (ASA)。/ BE=CF。 (2)四边形 AECF 的面积不变， CEF 的面积发生变化。理由如下: 由(1)得厶 ABE ACF，贝 U SABE=SAACF。 - S 四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC, 是 定值。 BC AH =丄 BC % AB2 -BH2=473。 2 由 垂线段最短可知：当正二角形 A

17、EF 的边 AE 与 BC 垂直时， 故厶 AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最 小， 又 SACEF=S四边形AECF SAEF,则此时 CEF 的面积就会最大. 二 SCEF=S 四边形 AECF SAEF =4 3一2 2 3 2 3 2 一 3 2 二 3。 CEF 的面积的最大值是 3。 【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性 质。 【分析】(1)先求证 AB=AC，进而求证 ABC ACD 为等边三角形，得/ ACF =60 AC=AB，从而 求证 ABEACF，即可求得 BE

18、=CF。 (2)由厶 ABE = ACF 可得 SAABE=SACF，故根据 S 四边形 AECF=SAAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC 即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短. AEF 的面 积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 SACEF=S四边形AECF SAAEF, 则厶 CEF 的面积就会最大。 10、如图，在厶 AOB 中丄 AOB=90 OA=OB=6 , C 为 OB 上一点，射线 CD 丄 OB 交 AB 于点 D, OC=2 .点 P 从点 A 出

19、发以每秒 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速 度沿 CD 方向运动，P、Q 两点同时出发，当点 P 到达到点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止.过点 P 作 PE 丄 OA 于点 E, PF 丄 OB 于点 F，得到矩形 PEOF.以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形 QMN , 斜边 MN / OB,且 MN=QC .设运动时间为 t (单位：秒). (1 )求 t=1 时 FC 的长度. (2)求 MN=PF 时 t 的值. (3 )当厶 QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积 S 与 t 的函数关系式. (4)直接写出 QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t