大同中学学年高三上期中数学试卷

1、大同中学学年高三上期中数学试卷一、填空题(X=').已知集合A=x|x|<3,B=x|y=ln(2x),则AUB=.已知复数z满足z+z=1+3i(i为虚数单位)，则复数z=.已知tan145Wk,则sin2015嗔.111方程190=0的解为./x_x194.已知圆心角是弧度的扇形面积为16cm2,则扇形的周长为1*、.已知无穷等比数列an的前n项和Sn=+a(neN),且a是常数，则此无穷等比数列的各项和3为.(用数值作答).若体积为的正方体的各个顶点均在一球面上，则此球的体积为.(结果保留几)、某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化

2、学不同时被选中的概率为.、如图，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点.若AB|=2 ,且 /BAD =60) 则 AP CP、已知a =1, an -2anA = 2n,则an的通项公式为 、已知a >0且a =1 ,设函数x -2,x -3f(x) = <,的最大值为,2 logax,x 3则实数a的取值范围是、函数f x =2sin x :图象如图所示，则 f (x )的解读式为 、设函数y = f(x)由方程x | x |+y | y | = 1确定，下列结论正确的是.(请将你认为正确的序号都填上)()f (x)是R上的单调递减函数;()对于任意xwR

3、,f(x)十x>0恒成立；()对于任意asR,关于x的方程"刈=2都有解；()f(x)存在反函数f(x),且对于任意xwR,总有f(x)=f,(x)成立.110g3x|,0二x:二3、已知函数f(x)=«Q、，若存在实数x1,x2,x3,x4满足cosx1,3<x<9.13/f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则xix2x3x4的取值范围是、选择题(X=')().1g a 1g b卜面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是1122|a|>|b|>.a>bABC的形

4、状ab、设AABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,为.直角三角形.锐角三角形.钝角三角形.不确定、已知圆O : x2 + y2 = 4上到直线l : x + y = a的距离等于的点恰有个，则实数a的值为().一2乏或2无.242 .我 -我或72、如图所示的图形是由一个半径为的圆和两个半径为的半圆组成，它们的圆心分别是 O,。力。？.动点P从A点出发沿着圆弧按At Ot Bt Ct At Dt B 的路线运动(其中 A,O,Q,O2,B 一,.2五点共线)，记点P运动路程为x ,设y = 01P , y关于x的函数关系为y = f (x ),则

5、y = f (x )的大致图象是三、解答题()、如图所示，使用纸板可以折叠粘贴制作一个形状为正六棱柱形状的花型锁盒盖的纸盒.()求该纸盒的容积；()如果有一张长为60cm,宽为40cm的矩形纸板，则利用这张纸板最多可以制作多少个这样的纸盒.(纸盒必须用一张纸板制成)、已知函数f(x)二21=sin x cos lx- cos x -62()求函数f(x)的最大值，并写出 f(x)取最大值x时的取值集合;11 二二f（xo）=2?xol6,a1求cos2x0的值.、已知函数f(x)=2x+a2，其中常数a#0,()当a=1时，f(x)的最小值；()当a=256时，是否存在实数kw(1,2，使得不

6、等式f(kcosx庐f(k2cos2x)对任意xR恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.、已知两动圆F1:(x+J3)2+y2=2和F2:(xJ3)2+y2=(4r)2(0<r<4),把它们的公共点的轨迹记为曲线C,若曲线C与y轴的正半轴的交点为M,且曲线C上的相异两点AB满足:/彘二0.()求曲线C的方程；()证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标;()求AABM面积S的最大值.、已知数列an中，a1二3,a2=5,an的前n项和为Sn,且满足Sn+Sn/=2Sn+2n(n>3).()试求数列an的通项公式；()令bn=2，Tn是数列bn的前n

7、项和，证明：Tn<1；ana16i()证明：对任息给th的mW0,-I均存在匚N,使得当n2n0时，()中的TnAm恒成立.16)一、填空题. x|x <3. -4+3i-k .1 k21 k2x = 2. 16cm . -14,3r:2516、an =（2n1） ,2n-、J,113 J、f x =2sin 2x-1（）（）、选择题三、解答题、解：()18j3cm3；()个11、解：()f(x)=sin2x+1+264、“二，、，一3当乂=卜n+(kWZ)时，f(x)取得最大值一64f冗函数f(x)取最大值时x的取值集合为4xx=kn+=,(kwZ)卜；I6Jcos2%=8星10

8、v1、解：（）f（x）=2x+了之2,当且仅当2x=1,x=0时=成立（）当xw（一叫4）时，2x,2xw（0,16），,2x+竽J，所以f（x）在（叱4）J同理：f（x）在（4,"）。kcosxwk1,k+1七（一比,4）,k2cos2x£（-叫4）222,2一2一，.所以k-cosxMk-cosx,cosx-cosxMk-k,易得：cosx-cosx最大值为所以k2k22,k>2或k1,所以k=2、()设两动圆的公共点为Q,则有：QF1+|QF2|=4(>|F1F2).由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆,2分a=2,c=J3.所以曲线C的方程是：上+y2=1.4

9、9 / 8()证法一：由题意可知:M(0,1),设A(x1,y3B(x2,y2),当AB的斜率不存在时，易知满足条件MAF卸的直线AB为：x=0过定点3N(0,-)5当AB的斜率存在时，设直线AB： y = kx + m ,联立方程组: 21 + y2 =1 5"2 224 4,把代入有：(1+4k )x +8kmx +4m -4 = 0y = kx + m 2.-8km4m -4 小x1 +x2 =，x1 x2 =厂,1 4k21 4k2因为 MA MB=0,所以有 x1 x2 +(kx1 +m1)(kx2 +m-1) = 0,22_ -一 . .(1+k )X| x2+k(m1)

10、(x1+x2)+(m-1) =0,把代入整理:2(1+k2) 4m -？+k(m1) * m2 +(m1)2 =0 ,(有公因式)继续化简得:1 4k21 4k23/ 人(m -1)(5m -3) =0, m =一或 m =1 (舍)，5 3综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点N(0,-).证法二：(先猜后证)由题意可知：M (0,1),设A(xn y1)B%, y2),如果直线 AB恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y轴上，设为N (0, m)；取特殊直线 MA : y = x +1 ,则直线MB的方程为y = x +1,解方程组4y2 =1 8383得点A(一一，一一),同理得点

11、B(一，一一),3此时直线AB恒经过y轴上的点N(0,-)(只要猜出定点的坐标给分)分53下边证明点 N (0,)满足条件MA MB = 05当AB的斜率不存在时，直线 AB方程为：x = 0 ,点A B的坐标为(0, ±1),满足条件 mA mb =0；当AB的斜率存在时,设直线 AB :,3 y = kx.5,联立方程组:- 2X 2/7 y 二1把代入得:y 二 kx - 3522(1 4k2)x224k64x 0 52524k5(1 - 4k2)，X1 x2 =所以MA MB88X2(yi-1)“2-1)=XiX2(kxi-)(kx2)55二(1k2)x1X2-8k(x1X2

12、)56425=(1k2)-648k25(14k2)524k64c205(14k2)25()AABM面积S=S.mna'SAMNB1,4MNX1X2(XiX2)2-4xiX225k2 421 4k所以 ABM面积S的最大值为64.25_32由第（）小题的代入，整理得：S=3225因N在椭圆内部，所以kwR,可设t=J25k2+4之2,sT4t2994t-t925_64,-*4t+之，二SM(k=0时取到最大值).t225、（）由Sn+Sn”=2Sn+2n”(o>3),得Sn&=&一&+2n工(n*3),n1n-1所以又a2an=an二十2(n之3),即ana

13、n口=2(n之3)a1=2,所以an=(an-an=)+(an4am)+(%-a2)+(a2-ai)+a12(1一2n，)=2ni+2T+22+2+3=2(12)+3=2n+1.1-2,n1()bn=anan12n,11_1(2n1)(2n11)22n1*所以，Tn也bn12n十i一艺平(分)112<312n4+1)所以,Tn，Tn11-2<321n平|,因为Tn+-Tn=12n(2n11)(2n-qe-A0,所以Tn随着n的增大而增1）大.一1日右 Tn>m,则一2 <32(分)11-6m1二一i>m,化间倚>二不一，1321因为mwI。，1,所以16m>0,所以2n41>1,61-6mf3、nalog2-1i-1，(分)< 1-6m