例题讲解：米勒问题之教学设计

1、教材分析1.本例题是在学习了直角三角形中角的正切值、基本不等式、圆的相关学问例如圆周角等等进行讲解的，因此学问基础比较扎实。2.本例题是有名的经典题目，用于解决最大角问题，涉及到最大值问题，在今后的最值问题解决中有着重要的地位，为解决最大角问题供应有力的工具，省去很多繁琐的步骤。3.本例题运用了数形结合的思想，引导同学擅长把问题几何和代数之间相互代换得以解决。4.本课对同学的动手力量，观看力量都有肯定的要求，对培育同学机敏的思维，提高同学解决实际问题的力量都有重要的意义。5.本课内容支配上难度和强度不高，适合同学争辩，可以充分开展合作学习，培育同学的合作精神和团队竞争的意识。例题讲解：米勒问题

2、教学设计数学科学学院 118班 蔡洁慧 20110008008学情分析1. 授课班级同学基础较好，教学中应赐予充分思考的时间，并且以引导同学思考为主。2. 该班级同学在平常训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。3.本班为自己任课的班级，平常对同学比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同力量的同学，充分调动同学的乐观性。教学目标学问与力量目标1.了解米勒问题，并且理解米勒定理。2.学会解决米勒问题，并能够运用肯定的空间想象力量3.培育同学在解决实际问题与生活实际联系的力量。过程与方法目标1.经受探究解决米勒问题的过程，进一步探究米勒定理的证明过程。2

3、.经受应用米勒定理解决问题的过程。情感与态度目标1.同学在探究的过程中，感受动点移动时带来的角度变化的动态美，体会数学的奇异性；2.在沟通的过程中，体会与别人沟通的重要性。教学中的重点、难点重点 1.利用直角三角形和基本不等式学问解决米勒问题2.利用米勒问题得出的结论解决一般米勒问题并给出证明难点 1.用代数方法解决后转换为几何的结论2.一般米勒问题结论的证明主要教学手段及相关预备：教学手段 1.使用导学法、争辩法2.运用多媒体帮助教学3.调动同学乐观性，挂念理解预备工作多媒体课件片断，帮助难点突破教学设计策略依据教学目标和同学的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中

4、主要体现设计思想策略1. 回归同学主体，一切围围着同学的学习活动和当堂的反馈程度支配教学过程。2. 原则性和机敏性相结合，既要完成教学方案，在教学过程中又可以依据现实的状况，支配问题的难度，体现一些机敏性。3. 教学的形式上留意个体化，充分赐予同学争辩和发表意见的机会，留意学习的参与性，努力避开以老师活动为主体的教学过程。教学步骤及说明同学活动老师活动教学目标教学说明1、同学跟着老师的思路进行想象     2、依据几何画板的演示并跟着老师的思路思考问题  3、观看并思考，跟着老师解决问题  4、思考并乐观

5、回答问题    5、随着老师思路进行思考  6、同学依据老师的提示进行思考问题       7、通过老师演示，得到特殊米勒问题与一般米勒问题的区分   8、跟随老师的思路并乐观回答问题，学习新的学问  9、做好笔记并进行学问巩固   1、介绍问题：1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下一个格外好玩问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？ 2、几

6、何画板演示：把文字的问题转化为几何图形表示出来 3、把几何问题转化为代数问题，引导同学进行回答 4、依据代数方法得到答案，并把结论转换为几何结论，复习切割弦定理  5、得到关于米勒问题的几何结论，并提出为什么要总结几何结论 6、给出一般米勒问题：在已知直线l的同侧有P、Q两点，试在直线l上求一点M，使得M对P、Q两点的张角，即最大？   7、用几何画板演示，把特殊米勒问题与一般米勒问题进行对比，说明两者的不同，并说明用类似的代数方法无法解决8、引导同学擅长应用几何结论去解决问题，并进行证明，留意新学问的补充并说明 

7、  9、总结，说明米勒问题实质上是求最大角问题，因此得出的结论就是为了解决一般的米勒问题，即一般的求最大角问题。 培育同学依据题目给出的信息动手作图，培育同学学会运用数形结合的思想方法。    培育同学的空间想象力量，并引导同学解决问题    培育同学学会几何与代数进行转换  培育同学运用已知学问解决一般简洁问题力量，同时对于学问的回顾，加深巩固。 培育同学擅长思考探究的精神   同学体验从特殊到一般的过程。加深对一般状况和特

8、殊状况的理解，提高同学对问题的敏感度。     培育同学通过比较两者得到两者的区分的力量    培育同学擅长奇妙地运用新的结论来解决新的问题，培育同学严谨的数学态度，对得到的答案赐予严谨的证明培育同学学会总结的力量，并养成举一反三的力量，达到学以致用的目的让同学了解题目，并让同学想象，培育同学自主探究的学习力量，以及同学们沟通力量。    用多媒体软件进行教学，给同学直观的形象，引导同学学会运用已知条件去探究未知量。运用直角三角形和基本不等式的学问解决问题，本节课的重点之一。

9、  这是本节课的难点，同学难以突破   抛出问题引导同学思考由特殊问题过渡到一般问题，循序渐进，关键在于引导和启发，赐予同学充分的时间，必要时候使用事先预备的多媒体帮助教学，从实际结果看，同学在多媒体的启发作用下，应当会有一个思维上的突破。    。    在课堂最终进行总结，并得到结论，告知同学该结论用于解决最大角问题，让同学能够学以致用。课后小结：由于运用了肯定的教学方法和理念，学问从不同的方向得到了渗透。基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深化理

10、解打下了基础。教学分析1.米勒问题是求最大角问题的特例，通过解决米勒问题得到几何结论，依据这个结论可以事半功倍得解决一般最大角问题，因此讲解这道题对于同学解决问题格外有必要。2.米勒问题应当支配在高二其次个学期，由于米勒问题应用的学问比较综合，并且要有肯定的空间想象力，而且要对几何与代数之间的转换有肯定的了解，因此放在高二其次个学期讲解比较合适。3.米勒问题是一道经典的数学题，对于培育同学对于争辩数学和拓展课外学问很有必要，让同学领会到数学的奇特奇特之处。4.在证明一般米勒问题的时候，需要补充圆外角的相关学问，在解决问题的同时，可以让同学初步了解圆外角学问并学会应用。教学设计脚本老师：同学们好

11、，今日我们要解决一道世界有名的经典题目米勒问题。（点开PPT）既然是是米勒问题，那么我们就先了解一下米勒问题是什么？1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下一个格外好玩问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？ 这是一个格外有名的100道经典数学问题其中的一道题，大家先自己理解一下题目的意思。请同学们在草稿本上面画一下草图好，现在老师用几何画板演示一下（点开超链接，消灭几何画板）老师：大家看一下，我们把垂直悬杆简化成这个AB这段线段。大家在学校的时候已经学习地理，知道地球是一个球面，但是为了争辩问题的需要，我们就把地球表面看成是一个平面，所以问题就转化为，在地球上

12、面找到一个点D，使得人在这个位置时，悬杆呈现最长，也就是可见角是最大的。老师：老师延长线段AB到平面并交于点C，再连接CD，以点C为圆心，CD为半径作圆（几何画板演示）大家想象一下，点D在圆上移动的时候，有没有变化？同学1：老师，是没有变化的。老师：很好，也就是说，在这个圆上的点都不会影响可见角，在圆心不变的状况下，只有半径不同的其他圆才会影响的大小对不对？同学：对。老师：也就是说，我们可以把这个空间的问题转化为平面问题。（几何画板演示）那么是不是说，就肯定会存在这个点D使得达到最大呢？同学1：应当是存在的老师：假如存在的话，应当在什么位置呢？同学1：老师，确定越近可见角越大同学2：不，我觉得

13、是越远可见角越大老师：那好，有争议的话，我们再用几何画板演示一下现在我让点D始终向中间移动，同学们要留意是如何变化的？（几何画板演示）同学：是先变大，后来又渐渐变小老师：对了，也就是说，在这条直线上，总会存在一个点，使得最大，对不对？同学：对。老师：那么我们要在这条直线上找到这个点呢？同学：可以转化为求点D到交点C的距离。老师：对了，要求CD的长度，那么我们设CD的长度为x，问题就转化为当x为多少时，最大？为了解决这个问题，我们把AC、BC的长度当成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角标一下，、，这里的也就是（打开PPT）已知AC=m,BC=n,CD=x，（x>0），求当x为多少

14、时，最大？（黑板板书）老师：那么我们就要用这些已知的条件来解决这个问题了。大家先看一下,刚刚说了悬杆是垂直于地球表面的，所以是一个什么三角形？同学：直角三角形老师：那么AC、CD与之间有什么关系？同学2：（老师板书出来）老师：很好，那么我们再看呢？同学1：同样是一个直角三角形老师：所以也可以同样得到怎样的关系式？同学1：（老师板书出来）老师：那再看看、之间有什么关系？同学2：老师：也就是（板书出来）我们在上面已经求出了、的正切值了，那么可以求出的正切值吗？要怎样求？同学1： （老师板书出来）老师：请连续。同学1：把刚刚和代入上式老师：很好，那么大家动手把数据代入并进行化简。那么有那位同学化简得

15、到最终的结果？同学2：（老师板书出来）老师：好的。那么我们看看，我们要求的最大值，是不是就是求的最大值？同学：是的。老师：看看上面式子，那些是已知的？同学：m,n老师：所以说，m-n就是一个定值，那么要求的最大值，只需要求式子的分母的最小值，对不对？同学：对。老师：那好，我们就把分母分别出来，（板书出来）现在要求的是的最小值，也就是应当要（板书出来）同学们看出什么了吗？同学：基本不等式老师：那要怎样做下去呢？同学1：（老师板书出来）老师：什么时候等号成立？同学1：当时，算得（老师板书出来）老师 ：也就是，。好，到这里已经把结果算出来了，同学们回答一下题目提出问题的答案？同学：当时，取得最大值，

16、也就是取得最大值。老师：同学们看一下，我们解决这个问题的时候，先把几何的问题转化为代数问题，再用代数的方法把问题解决了，但是假如每次都遇到这种问题，都要算这么多是不是很麻烦？我们在上面的计算过程，有没有得到什么启示？同学1：当时，取得最大值。老师：很好，这也算是一个结论，有没有一个关于几何方面的结论呢？同学：（思考）老师：刚刚所说的，也就是，那么依据这个式子有没有想到关于圆的一些性质？老师在这里提示一下，大家还记得切割线定理吗？（PPT呈现）这里PA是圆O的切线，BC是圆O的一条割线，那么切割线定理是怎么描述的？同学：老师：这个等式跟上面所说的，在形式上是不是有点相像啊？同学：PA对应CD，P

17、B、PC分别对应BC、AC，也就是CD、AB分别是某个圆的切线、割线。老师：对了，表示出来就是这样子的图形（PPT呈现）所以我们有下面的结论：结论：当且仅当过ABD三点作外接圆且CD与该圆相切的时候， 最大。同学们可能在这个时候就要问，得出这个结论有什么用？老狡猾有用代数的方法去算不就行了吗？带着这个问题，下面我们再看一道题目（PPT呈现）在已知直线l的同侧有P、Q两点，试在直线l上求一点M，使得M对P、Q两点的张角， 最大？老师：那我们来看看这道题跟第一题有什么区分？（几何画板演示）我们连接PQ，再延长PQ到直线l交于点O，跟第一题画的图比较一下（几何画板演示）同学们看一下，PQ是不是相当于

18、把悬杆AB倒置了一样，还有哪些是相对应的？同学2：PO对应AC，对应，老师：既然有那么多相像的地方，大家尝试着解决。同学（在草稿本上解决）老师：有没有同学算出来？同学1：用刚刚的代数方法算不出来。老师：为什么？同学1：PO不垂直于直线l，无法用到直角三角形的性质。老师：那么除了这种方法，刚刚不是还有一个结论吗？同学2：类似于刚刚的结论，那么有结论，当且仅当PMQ三点所作的外接圆与直线l相切于点M的时候， 最大。老师：很好（几何画板演示）那我们现在用几何画板演示可以知道此时 是最大的，但是仅仅用几何画板是不够的，我们需要用数学的方法去证明。现在要证明我们找到的点M是使得 是最大的，应当要怎样去证明呢？同学1：我们可以在直线l上任取一点，只要< 即可。老师