互感和理想变压器

1、第八章含耦合电感和理想变压器的电路分析本章学习耦合电感元件和理想变压器元件，它们属于多端元件。 实际电路中，如收音机、电视机中使用的中周、振荡线圈，整流电路 中使用的变压器等都是耦合电感元件与变压器元件。§ 8-1耦合电感的伏安关系一、磁链和电感量当L通过i产生磁通，对N匝线圈产生的磁链为：=N，定义 自电感：L二一二N。i i关联条件下，电感两端的电压：u =-L-didt dt dt、互感：见P.195图8- 11. 假设线圈1中通以变化电流ii :11 :自感磁通；J :互感磁通耦合磁通 一般地，11 一。当1121，全耦合。屮自感磁链：=1二M 11 = L111 自感量互感

2、磁链：-：21二221屮-M2121 互感量112. 假设圈2中通以变化的电流i2:22 :自感磁通；12 :互感磁通耦合磁通 一般地，22 -12。当2212，全耦合。屮自感磁链：22 = N2 22 一 L222 自感量i2屮互感磁链：=2讪12- M12 旦互感量i2通过电磁场理论可以证明：M12=M21=M -03. 互感电压的产生当线圈1通变化的电流i1，在线圈2产生互感磁链21，从而产生感应电压,称为互感电压，记作:U21 0十21dt=M 21di1dtU21与* 21之间符合右手螺旋法那么。同理，当线圈2通电流，在线圈1产生互感磁链'-；12，从而产生感应电压，称为互感

3、电压，记作：U12。,d 即 12 M di2U2IVI 12dtdtU12与* 12之间符合右手螺旋法那么。注意：1 U12、U21的实际方向与两线圈的绕向有关；2假设感应线圈两端接上负载，将有电流流过。三、耦合系数cp1。一般用和的几何平均'11 22值表征这一耦合程度，称为耦合系数 M2112k。推导见P.196由于互感磁通只是总磁通的一局部，互感磁通与自感磁通的比值 <1。两线圈靠得越近，k就越接近于- "E11-! L| L2'-11 二 L,1 ，'-21 二 Mb ;-二 L2i2 ，'-12 二 Mi? /.k = M :;1L1

4、 L2当k =1时，称为全耦合；当k =0时，称为无耦合。"U无耦合一般地：传输功率或信号或变压器，K值越大越好；仪表间的磁 场干扰，K值越小越好，必要时要加以屏蔽。四、互感电压对于两个相耦合的线圈，一个线圈的电流发生变化，将在另一线 圈上产生感应电压，互感电压的大小为：di1di2U21 = M， U12 = Mdtdt由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两种情况， 因此在同 一线圈上的互感电压与自感电压可能彼此相加， 也可能彼此相减。这 与两个线圈的相对绕向、位置和电流参考方向有关。当两个施感电流同时作用:二口仆 ±U|2屮2 =U22 士 U211. U21与；21

5、 “关联方向时:有：P.196 图 8-2AI dh + di2 dt dt _ 1 di?di1U2 _ L2Mdt dt2. U12与12 “非关联方向时:diiU21 = -M -有:上式为dtdi2u-2 - -M -dtdi-di2u-二 L- M -dtdt-di-, di2u2 = -M + L2 、dt 2 dt可见，列写VAR时，需要考虑M前的正负号。为简化分析用原 模型分析不方便，往往不知道线圈的绕向，需要引入“同名端的 概念五、互感线圈的同名端假设两线圈分别加上变化的电流i-及i2: P. -97图8-2B-当电流i-和i2分别从-、2端流入：图a线圈-的磁通亠二讣-2线

6、圈2的磁通22- 222当电流i-和i2分别从-、2端流入：图c线圈-的磁通-八-2线圈2的磁通222 -2-显然：当电流从-与2端或-与2 流入时，产生的磁通相互增强； 而当电流从-与-端或-与2同时流入，产生的磁通相互削弱。为 此，我们将-与2或-与2称为同名端，用“、“ 、“ 或“表示，而将-与2、-与2称为异名端。同名端的判定：方法一：“直流法。当S合上瞬间，电压表V-上正下负正偏转=-与2为同名端2上负下正反偏转-与2为同名端方法二：“交流法OU；一山2耦合电感互感的电路符号当有效值U3 7i -U2二1与2为同名端当有效值U 3 U1 U 1与2为同名端互感电压前的“ + 、“一号

7、的问题当U1与ii , U2与i2取关联方向，且两施感电流对同名端方向一致时, M前取“ + 号，反之取“号。如：+ _ + «2di1di2uL1- M -11 dtdtdi2diU2 = L2+ Mi 22 dtdt又如:1 1lzI M I_di1di25 = L1M11 dtdt,di2- diiu? = L2 M.dt dt假设ii,那么i2均为正弦量，h r I 1 , i2r I?6 一 U 1 二 j L h 二 j M I2u2 U 2 = j L212 _ j M h这里在U和参考方向关联下，I：, I：同流入出同名端时,“ + ，反之取“ 。CM二Xm，称为互感

8、抗M前取六、互感线圈的串并联1 .串联1顺接di2di1山=L1- M dtdi2u 2 = L2+ Mdtdi1dt dtdidi二= u1u (L1L2 2M )L顺-dt dt等效电感L顺二L1 L2 2M在正弦电路中U1 二 j(XL1 Xm)I 二 jC'L< M)IU2 二 j(XL2 Xm)I 二 j( L2M )1U二Ui2 = j .(Li L2 2M ) I、j(XLi Xl2 2Xm ) *2)反接Li .di2di15 = L<|M11 dtdtdi2di12.1)u? = L2 Midtdtdidiu =比 u2 = (L| L2 - 2M ) =

9、 L反 1212dt dt等效电感L反 =L1 L -2M并联21同侧(同名端相联)U . Lb - M2Zj |L1 L2M等效电感L二J +L2 _2M2)异侧(异名端相联)iU = j ；：; Li 11 - j M 12L丄2 - M2L1 L2 2ML1L2 -M 2二等效电感Li L2 2M2(同侧取“-总之'当两互感线圈并联时'等效电感：lL%咼异侧取“+ )作业：P. 2178- 1§ 8-2含耦合电感元件电路的计算方法对于耦合电感上的电压计算，不但要考虑自感电压，还应考虑互 感电压，所以含耦合电感电路的分析有它一定的特殊性。一、含耦合电感电路的根本计

10、算方法图示电路中，Li与L2间有互感M，求：I；、I：。I 2R3ZWI；j L；j L2I： AR:U：OI;L；上的互感电压大小为： Um; =jMI；同理U M 2 = j * ' M I ；对回路；和2列KVL方程：R； I； + j©L； I； + jM I2 + R2l； - 12 = U sr2 12 - I ； + jaL2 12+ jaM I ； + R3 12 =0整理得：r*|R； +R2 + 2L；I； R2 jcoM l2 = Us-R2 - jM I； + R2 + R3 + jmL2 12 = 0 可以解出I；和I：。缺点：按上法容易漏j M 一

11、项，或搞错前面的“ + 、“ 号。二、把互感电压作为受控源的计算方法在正弦稳态分析时，可以把各互感电压作为受控源看待，并在正确标定其极性后，用正弦稳态分析方法进行分析。总结：P.20；中的划线。I2R3(R R2 j L) I j - R2 12 = U s - j M 12-R1 11(R2 R3 j 丄2) 12 - - j M 11即：(Ri R2 j L)I；-(R2 - j M)l：二Us1 *-(R2 - j M ) I ； (R2 R3 j L2) 12 = 0这与前面方法的结果完全一样。三、耦合电感的去耦等效电路互感消去法(A)LaLc+ i.1i +1 ；1i； +i2i2u

12、；u4(B)当两耦合电感有一对公共端时图A,可以用三个无耦合的电感组成的T形网络来做等效替换，如图 对A图：B。u；di1-M dtdi；di2dtdi2(；)U2u；di；dtdi ；=(LaLb)di1Lb di2dt b dtU2=Lb dtdi2dt而在图B中:根据等效电路的概念可知，应使；式与2式两式前面的系数分别 相等，即：= La * LbLa = - MM 二 Lb= Lb 二 ML * 丄Lc = L2 M上图A为公共点为同名端的耦合电感。如果公共端为异名端，女口 以下图C所示，其去耦等效电路如图 D。Tcss+ i1j1i2 +U1<!u(D)22 u(C)La =

13、Li M * Lb = MLc = L2 + M举例：L1 二 20mHic例：u =5000、.2cos104t V，求各支路电流。i*R =50"M =25mHL2 =25mH TC =1»FI1解：去耦等效电路如以下图:j (LM)I1j (LM)IcR1尺 +2 M) + jco(L2 M)l：jcoj M) I： =U1j (L2 M) I： j (L2 M) j( M ) I： = 0IoC得：I： =0I： =11.04.83.6 A或用戴维南定理求(略)。例：求图a电路的输入阻抗。利用互感消去法，可得图b所示去耦等效电路。这样，可根据 般混联的电路计算方法求

14、得该电路的输入阻抗为：Zj 二 j MR： R2 j (L： L2 - 2M )O-M-2R2HuR： j (L： - M ) R2 j (L M )耦合线圈即耦合电感一般用L：、L2和M来表征。分析含耦合电感 元件电路时，必须考虑互感电压，故使用网孔电流法比拟方便。 对于 有公共端钮的耦合电感常用去耦等效电路，把一个有互感的电路转化为一般无互感的电路来分析。例：图示电路，Us： =12. 0V， U S2 =10. 53.1 V， R：，R2 =5门，X： = -3， XL1 =6门，XL2 =61， XM =2-'。求流经 R2的电流 I：。jX L1 4 jX M 塔 jX L2

15、abjX L1 R jX M< jX*L 2 aRi+U siIi+s2(b)解：用戴维南定理，先求a、b处的开路电压，如图b。U siUs2 12 0 -10 53.1cI 1 二R1 jX L1 jX12-(6 j8)j2 =2/ -90 A 4 j34 j6-j3Uoc 二 jXM n jXc h Us2 = j2 2/-90 - j3 2/-9010 53.1=4 j8 = 8.94 63.43 VR2(d)I 2再求ab端口的入端阻抗。如果两互感线圈无公共节点，那么必须用 “加电压求电流端口鼓励响应的方法，本例两互感线圈有公 共节点，采用互感消去法要简捷得多，去耦电路如下：1.

16、1 jXMf7乙-J= -jXC<«Rb(c)j (Xl2 - Xm )j (X l X m )aR j(XL1 -Xm)( jXM jXc)乙(XL2 Xm)R1j(XL1-XM)jXM jXc二 j4 (4j4)( j) =0.16 j2.88'.1J 4 + j3JU oc戴维南等效电路如图dI2894 6443"51 34.25 A乙 R20.16 j2.88 5应当指出，在应用戴维南定理求解含互感的电路时， 不可将有互感的两线圈分开，如本例中不能将a图中的cb处将网络分割开来。例：P. 2188-6例：R1=3 ,R2= 5',Li=75.

17、' ,L2=-12.5 ' ,.M =6,U -50 0 V。求K翻开和闭合时的I。jcoM RiUiR2j L)解：1) K翻开时，两个线圈顺接，故有：2 K闭合时:U =(R + jcoL1)l + jM hJwM+(R2 + j«>L2) l： = 01U50 01.52 -75.96 AR1 R2 j (L1 L2 2M )3 5j(7.5 12.5 6)I =(R1U2(j M ) R2 j L2= 7.79/-51.50 AI； =3.47 150.30 A此题也可用互感消去法课后练习作业：P. 218 8-8、思考 8-9§ 8 3空芯变

18、压器电路的分析一、空心变压器的结构与特点1. 结构：空心变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并具 有互感的线圈组成。它没有铁心变压器产生的各种损耗， 常用于高频 电路。2. 特点：其耦合系数较小，属于松耦合。二、分析方法1. 支路法、网孔法。2. 当两线圈“完全隔离时，可加一根电流为“ 0的线，再用 互感消去法。如 P.208例8 7(2)。3. 反映阻抗法。三、空心变压器电路的分析空心变压器的电路如图：(副边)。U U工作原理：经初、次级线圈间的耦合，能量由电源传递给负载, 负载不直接与电源相连。原边回路阻抗：乙 4 = R|j L副边回路阻抗：乙2 二 R22jX 22 二 R2 j

19、L2 ZL 二(R2 Rl)j( L2 Xl)列回路方程：乙 1I1 Zm IUiZm 1 1 Z22 1 2 = 0联立求解得:U1Z22U111 2 Z11Z 22( M )j M 牛 *»ZmUi，2ZM22 ( M)2z (M)2Z11Z22ZM ； U i乙iRi'j L2JR2Zl = rl +jXL互感阻抗：Zm =j'M =jXM于是有等效电路:+U1 O其中:CM)Z11Z22,Z22*11 ZiiZ221原边UsZ22 1 2OU；Zm u：Z11副边Z22结论:1.次级回路接负载后对初级回路的影响相当于在初级回路中串联阻抗Z22令 Zl1 =(

20、M )Z22，称为次级回路阻抗在初级回路中的反映阻抗乙iR22 + jX 222m2Z22 ( R22 - jX 22 )=2m2Z22Z22X 2 = RiijXii其中.£ MR11Z22厂 R22 , Xii2 2/ X22分別为次级回路阻抗在初级回路中的反映电阻和反映电抗次级回路的电阻反映到初级回路仍为电阻，Rii必为正；次级回路的电抗反映到初级回路仍为电抗，但符 号相反，即：如果次级回路为感抗，反映到初级回路为容抗；如果次 级回路为容抗，反映到初级回路为感抗容感互变。P. 2062.在图示参考方向下，由于次级回路为12 1乙1Z ( M)2，所乙22_以在计算次级电流I;时

21、，初级电流产生的互感电压可以用一个等效电 压源来替代。如图8- 17c，其等效电源电压为：ZMZ11U：u：Z112在次级回路增加了一个阻抗Z22 -AL，称为初级回路阻抗在次 乙1级回路内的反映阻抗，它相当于等效电源内阻抗。建立了反映阻抗的概念，空心变压器的计算可对初级、 次级回 路分别计算，而不必建立方程联立求解。J Zl = Rl +jXL卜;2 .副边短路即Zl =0; 3.副边接电容C。求原边线圈的输入阻抗 乙 解：原、副边等效电路如下：Ii Zii+Ui ()乙1Z22 1 2+ )Us02图中：乙1Z22Xi2 2/.乙，=0Z22乙二Zii =Ri jXi，即副边开路对原边阻抗

22、大小无影响。2.当 Zl =0，贝卩 Z22 = R2 jX2。2 2 2 2 2 2z M - M r ；M xzii22 R2 j 22X 2z22R2 X2 R2 X2,r 2M2R2i® 2M 2X21二Zii Zii =Ri r # jXi 2 fR2 X2R2 X21 1Z22 国2 jX2 - jR2 j(X2oCi .当 Zl 乂玉，贝S Z22 二：-。3.当z-rC,coCZi=Ri22-R2 X2Ri2m2显然:1Xi-R2 + X2 CXi'-0。它吸收的功率即副边吸收的有功功率；X2X22异号，即X22为感性阻抗时，Xi为容性阻抗;CRiXi与X22

23、为容=& j= R2+jXZ=3+RL)屮 2“ 2 原边丿Mzii -Z22性阻抗时，X；为感性阻抗。这里假设取 C使丄 X2，那么Xi 0，那么WC就将副边的容抗反映到原边成了感抗。例：P. 206例8-6 反映阻抗法例：P. 208例8-7 互感消去法，划线例：P. 218 习题 8- 10作业：P. 218 8-9, 8- 11。§ 8 -4理想变压器一、理想变压器的伏安关系1.电路符号理想变压器是一种理想化的互感耦合元件，电路符号为:iii2+UiU2唯一的参数是变比n常数，即两线圈的匝数比,n,N1、N2N2分别为原边线圈和副边线圈的匝数。2. 理想化条件1变压器

24、本身无损耗；2耦合系数k =1全耦合；"丄23L、L2、M均无限大，且有L1/L2二n2。3. 理想变压器的伏安特性在图示电压电流参考方向及同名端下，总满足如下约束关系:i1! n : +«U1*u-=门氏 或h 或nU2U1 二nU21 *I112n下面利用理想化条件推导这组约束关系。由理想化条件1可知，原、副边均无电阻；由理想化条件2知：12二2 ,21 = 5，从而原 边线圈、副边线圈的中磁通链分别为：*1 -5 宀12 二 N 112八15 * 2J22亠21二 N2C22 J) =N2(2211)=2'式中：=11 *22是线圈的总磁通，也称为主磁通U1U

25、2十2dtdjdt+U1且u2 N2即： s = nu2或由u-L1ddr Mdf，得:U1 =nU2u1di1M di2=十L1dtL1 dt(*)在全耦合时，有:NrHN12 N221L1i1ii2N1 M 21L2N2 22一- n；m12M 21LiL2i2=M 12N12三二nN；i2Li全耦合时,k丄丄2 1M = . L1L2L1n代入*式，得:u1di11 di2dt n dt两边积分:LiL1t1一i5( )d 二dh上 业=h 二 i2- - 一"1 i24. 理想变压器功率平衡方程5圳住+业切2住=0 见P. 210例8-9上面的文字例：P. 210 例 8-9二、理想变压器的阻抗变换性质理想变压器除了可以用来变换电压和电流， 还可以用来变换阻抗。如下图，当副边接负载Zl时，从原边看进去的输入阻抗将是丨2 2I11+U12n1 11