几何基础》课程教学大纲---甘肃广播电视大学

1、几何基础课程期末复习指导几何基础课程期末复习指导 几 何 基 础 课 程 是 中 央 广 播 电 视 大 学 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 一 门 必 修 的 重 要 基 础课 。 该 课 程 共 54 学 时 ， 3 学 分 。本 课 程 采 用 形 成 性 考 核 和 期 末 考 试 相 结 合 的 方 式 ，满 分 为 100 分 ：期 末 考 试 成 绩满 分 为 100 分 ， 占 考 核 成 绩 的 80 ； 平 时 作 业 占 考 核 成 绩 的 20 。本 课 程 的 试 题 难 易 程 度 分 为 易 、 中 等 、 较 难 三 个 等 级 ， 其 大 致 的 比

2、例 为 40： 40： 20。考 试 题 型 分 为 三 种 ： 填 空 选 择 题 、 计 算 题 和 证 明 题 ， 相 应 的 比 例 大 致 为 30： 40： 30。其 中 选 择 题 为 单 项 选 择 题 ， 即 备 选 答 案 中 只 有 一 项 是 正 确 的 。由 于 本 课 程 本 学 期 使 用 的 是 借 用 教 材 ，内 容 与 大 纲 及 考 试 要 求 有 一 定 差 距 ，希 望 任课 教 师 及 学 生 学 习 时 ，以以 IPIP 课 件 讲 述 的 内 容 及 网 上 辅 导 内 容 为 准课 件 讲 述 的 内 容 及 网 上 辅 导 内 容 为 准

3、。下 面 逐 章 给 出 本 课程 的 复 习 要 求 。第 1 章向量方法考 核 知 识 点 ：1 向 量 的 基 本 运 算 ： 向 量 的 加 法 、 数 乘 、 数 量 积 、 向 量 积 ； 线 性 相 关 与 线 性无 关 。2 平 面 几 何 的 向 量 方 法 。3 立 体 几 何 的 向 量 方 法 。考 核 要 求 ：1.了 解 向 量 的 基 本 运 算 ；2.熟 练 掌 握 向 量 方 法 解 决 平 面 几 何 问 题 和 立 体 几 何 问 题 。第 2 章 仿射变换考 核 知 识 点 ：仿 射 平 面 ： 仿 射 平 面 、 图 形 的 仿 射 性 质 、 仿 射

4、 坐 标 系 和 2 维 向 量 、 平 面 仿 射 。考 核 要 求 ：1 知 道 仿 射 平 面 的 概 念 ；2 了 解 仿 射 平 面 的 性 质 。第 3 章射影平面考 核 知 识 点 ：1.无 穷 远 元 素 ： 无 穷 远 点 、 无 穷 远 直 线 、 射 影 直 线 的 基 本 性 质 ；2.平 面 射 影 几 何 的 基 本 特 征 ： 中 心 射 影 和 中 心 射 影 的 性 质 。3.齐 次 坐 标 、 直 线 坐 标 、 向 量 运 算 。4.笛 沙 格 定 理 和 平 面 对 偶 原 则 ： 笛 沙 格 透 视 定 理 、 平 面 对 偶 原 则 。考 核 要 求

5、 ：1.了 解 无 穷 远 元 素 ， 平 面 射 影 几 何 的 基 本 特 征 ；2.理 解 笛 沙 格 透 视 定 理 、 平 面 对 偶 原 理 。第 4 章射影变换考 核 知 识 点 ：1.点 列 和 线 束 ；2.交 比 ： 点 列 的 交 比 、 线 束 的 交 比 ；3.透 视 对 应 ： 透 射 对 应 、 Pappus 定 理 ；4.一 维 图 形 的 射 影 几 何 ；5.点 列 的 射 影 对 应 ： 射 影 对 应 、 对 合 、 笛 沙 格 第 二 定 理 。考 核 要 求 ：1. 了 解 交 比 的 概 念 ， 熟 练 掌 握 其 计 算 。2. 知 道 透 视

6、对 应 、 点 列 的 射 影 对 应 。3.理 解 Pappus 定 理 、 笛 沙 格 第 二 定 理 。第 5 章二次曲线考 核 知 识 点 ：1 二 次 曲 线 的 代 数 定 义 和 射 影 定 义 ；2 二 阶 曲 线 的 极 点 、 极 线 ；3.几 个 定 理 ： Pascal 定 理 、 Brianchon 定 理 ；4 二 阶 曲 线 的 仿 射 性 质 （ 中 心 、 直 径 ） 、 渐 近 线 。考 核 要 求 ：1. 了 解 二 阶 曲 线 和 二 级 曲 线 的 定 义 。2. 理 解 Pascal 定 理 、 Brianchon 定 理 。3. 了 解 二 次 曲

7、 线 的 性 质 ， 熟 练 掌 握 中 心 、 直 径 、 渐 近 线 的 计 算 。第 6 章公理化方法与几何体系考 核 知 识 点 ：1.公 理 化 方 法 ：公 理 化 方 法 的 起 源 、公 理 化 方 法 的 思 想 、公 理 体 系 的 相 容 性 、独立 性 和 完 备 性 、 公 理 的 意 义 ；2.希 尔 伯 特 公 理 体 系 。考 核 要 求 ：1 知 道 公 理 化 方 法 、 公 理 化 体 系 的 相 容 性 、 独 立 性 和 完 备 性 ；2 了 解 希 尔 伯 特 公 理 体 系 。附： 几 何 基 础 模 拟 练 习 题一 、选 择 与 填 空 题1.

8、非零向量a与b的内积0ba，那么（）.A.a与b平行B.a与b垂直Ca与b线性相关D.无法判定2若向量a与b线性相关，那么（）.A.存在实数21,kk，使021bkakB.存在不全为 0 的实数21,kk，使021bkakC.a与b不 平 行D.a与b垂 直3.设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（） (A)baba(B)baba(C)baba(D)baba4平行射影保持如下哪种关系和量不变（） 。(A)垂直关系(B)平行关系(C) 长度(D) 角度5 平 行 射 影 把 （） .A.平 行 线 投 影 为 平 行 线B.把 平 行 线 投 影 为 相 交 线C.保 持 线 段 的 长

9、度 不 变D.保 持 图 形 面 积 不 变6中心射影下，如下哪种量不变（） 。(A)角度(B)交比(C) 面积(D) 长度7 在 中 心 射 影 下 ， （） .A.交 比 不 变 .B.平 行 线 变 成 平 行 线 .C.直 角 三 角 形 变 成 直 角 三 角 形D.平 行 四 边 形 变 成 平 行 四 边 形 .8点列之间的射影对应是由（） 。(A)三对对应点唯一确定(B) 两对对应点唯一确定(C)四对对应点唯一确定(D) 无限对对应点唯一确定9仿射变换把正方形变成().(A)正方形(B) 矩形(C)平行四边形(D) 不能确定10仿射对应下，哪些量不变。 （）(A)长度(B)角度

10、(C) 单比(D) 面积11仿射对应是平行射影的充分必要条件为（） 。(A)象点与原象点的连线平行(B) 象点与原象点的连线交于一点(C) 不可判定(D) 象点与原象点不平行12在 实 轴R上 ，三 点CBA,坐 标 分 别 为6 , 5 , 2，那 么 三 点 的 单 比ABC为（） .A.4B.1C.0D.813线段 AB 的中点 C 与 AB 上哪一点调和共轭（） 。(A) A(B) B(C) AB 上无穷远点(D) C14.在 射 影 平 面 上 ， 两 直 线0423321xxx与021 xx的 交 点 为 （） .A.5, 4 , 4B.1, 1 , 0C.2, 1 , 2D.1

11、, 2 , 3.15.仿 射 平 面 上 无 穷 远 直 线 与 有 穷 远 直 线 （） .A.有 一 个 交 点B.没 有 交 点C.有 无 数 个 交 点D.无 法 判 定16.在 射 影 平 面 上 ， 下 面 哪 些 图 形 可 以 区 别 开 来 （） .A.三 角 形 与 圆B.圆 与 椭 圆C.四 边 形 与 正 方 形D.等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形16 A、B、C、D 为直线上的互异的四点，C、D 在 A、B 之内，则四点交比（AB，CD） （） 。(A) 大于零(B) 小于零(C) 等于零(D) 无穷大17方程02321uuu表示的点为（） 。(A)（1，1

12、，2）(B) （2，1，1）(C) （1，1，1）(D) （1，1，2）18. 直线上 A、B、C、D 为互异的四点，C、D 在 A、B 之内，则四点交比（AB，CD） （） 。(A) 大于零(B) 小于零(C) 等于零(D)19无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（） 。(A)半径(B) 直径(C) 渐近线(D) 切线20若点P在二次曲线上，那么它的极线一定是的（） 。(A)切线(B) 直径(C) 半径(D)渐近线无穷大21若点P在二次曲线上，那么它的极线一定是的（） 。(A)切线(B) 直径(C) 半径(D)渐近线22极线上的点与极点（） 。(A)共轭(B)不共轭(C)可能不共轭(D)

13、不可判定23. 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（） 。(A)一条二次曲线(B) 一条直线(C)一个点(D) 两个点24.在 仿 射 平 面 上 ，若 二 次 曲 线 与 无 穷 远 直 线 有 一 个 交 点 ，则 这 条 曲 线 是（） .A.椭 圆B.双 曲 线C.抛 物 线D.圆25.欧 氏 几 何 与 非 欧 几 何 的 本 质 区 别 在 于 （） .A.平 行 公 理 不 同B.长 度 的 算 法 不 同C.结 合 公 理 不 同D.角 度 的 算 法 不 同26三角形内角和等于 180 度（） 。(A) 与欧氏平行公设等价(B) 与罗氏平行公设等价(C)与椭圆几

14、何平行公设等价(D) 不可判定二 、 计 算 题1已知向量3 , 2 , 1a，0 , 1, 2 b，计算a，b的模长与夹角。2设通过)2, 3(A与) 1, 6(B两点的直线被直线063 yx截于点P，求单比)(ABP3求点 P1（3，1） ，P2（7，5）与 P3（6，4） ，P4（9，7）的交比),(4321PPPP。4计算直线0221 xx上无穷远点的齐次坐标。5计算下列各点的非齐次坐标：A（2，4，1） ，B（0，4，3） ，C（0，1，1） 。6欧 氏 平 面 上 直 线 的 方 程 为0cbyax， 求 出 该 直 线 在 齐 次 坐 标 下 的 方 程 .7平 面 上 过3 ,

15、 2 , 1A与1 , 2 , 1B的 直 线 ， 与1x轴 和2x轴 的 交 点 分 别 为C与D， 算 出四 点 的 交 比CDAB,.8求 二 次 曲 线054332222121xxxxxx在 点5 , 1, 0 处 的 切 线 方 程 .9求二次曲线01124632232221xxxxx在（1，2，1）点的切线方程。10 求二次曲线03231232221xxxxx在（1 ,25, 2）点的切线方程。11 求由两个射影线束031 xx，032xx，21决定的二次曲线的方程。三 、 证 明 题1 证 明 在 两 个 三 角 形 中 ， 三 组 对 应 边 的 交 点 共 线 ， 则 三 组 对 应 顶 点 连 线 共 点 .2 利用向量方法证明三角形三条中线交于一点。3 利用向量方法证明三角形三条高交于一点。4 若三角形ABC的二顶点B与 C 分别在定直线与上移动，三边 AB、BC、C A 分别通过共线的定点 P，Q，R，求证顶点 A 也在一定直线上移动。5 设),(11