大学物理静电场中的导体和电介质课后习题及答案

1、第7章静电场中的导体和电介质习题及答案1.半径分别为R和r的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1和2。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明：。2R证明：因为两球相距甚远，半径为R的导体球在半径为r的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r的导体球在半径为R的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R的导体球的电势为i R24兀oRiR4 0半径为r的导体球的电势为V2用细导线连接两球，有 V14兀or5,所以2r4 o(1)相向的两面上，电荷的面密度总是2.证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说,大小相等而符号相反；(2)相

2、背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。证明：如图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为4(1)取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得1 八SEdS0(23)SS0故23。上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。(2)在A内部任取一点P,则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即又故3.半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d3R处有一点电荷+q,试求：金属球上的感应电荷的电量。解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q,金属球接地时电势V0由电势叠加原理，球心电势为1qVodqq4冗oR4

3、冗o3Ro4冗oR47to3R故qq34 .半径为R的导体球，带有电量q,球外有内外半径分别为R2、R3的同心导体球壳，球壳带有电量Q。11)求导体球和球壳的电势V1和V2；(2)如果将球壳接地，求V1和V2;(3)若导体球接地(设球壳离地面很远)，求V1和V2。解：(1)应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。半径为R、带电量为q的均匀带电球面产生的电势分布为4 oRq40r(r R)(r R)导体球外表面均匀带电q；导体球壳内表面均匀带电q,外表面均匀带电qQ,由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。导体球是等势体，

4、其上任一点电势为1( qq40 RiR2q Q)R3球壳是等势体，其上任一点电势为V2q40rq0rq Q40 R3q Q40 R3(2)球壳接地V24 冗 0 R30,表明球壳外表面电荷 q Q入地，球壳外表面不带电， 导体球外表面、球壳内表面电量不变，所以q 11Vi()40 R1R2(3)导体球接地V10 ,设导体球表面的感应电荷为面均匀带电q Q ,所以V1jq幺 3 040 R1R2 R3q ,则球壳内表面均匀带电q、外表解得 qR1R2QR2 R3R1 R3R1 R2V2q Q40R3(R2R)Q40(R2R3WR3R1R2)5 .两个半径分别为R1和R2(R1VR2)的同心薄金属

5、球壳，现给内球壳带电+q，试求：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电量以及外球壳上的电势。解：(1)内球壳外表面带电q；外球壳内表面带电为q,外表面带电为q,且均匀分布，外球壳上电势为qqVEdr2drR2R24/0r4/0R2q。所以球壳电势(2)外球壳接地时，外表面电荷q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为由内球q与外球壳内表面q产生，其电势为V04冗0R24冗0R2（3）如图所示，设此时内球壳带电量为q;则外壳内表面带电量为q,外壳外表面带电量为qq（电荷守恒）,此时内球壳电势为

6、零，且Vaqq04u0R14u0R24u0R2得q-qR2外球壳的电势为q'q'qq'RiR2qVB24冗0R24/0R24/0R24冗0R26.设一半径为R的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为，球体内的介电常数为i,球体外充满介电常数为2的各向同性均匀电介质。求球内外任一点的场强大小和电势（设无穷远处为电势零点）。解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得球内球外R时,R时,r R)SDqiqidS43R33r2电势为ViEr6r R）电势为V2rD 4 r2r3,所以EiR3,E2dr-(R21E dr所以qir3R3

7、22-dr1R34r2rEdr r 3 2r27.如图所示，一平行板电容器极板面积为R33 2rS ,两极板相距为d ,其中放有一层厚度为t的介质，相对介电常数为r,介质两边都是空气。设极板上面电荷密度分别为+和，求:（1）极板间各处的电位移和电场强度大小；（2）两极板间的电势差U；（3）电容Co解：（1）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，左底面圆在极板导体中，右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得DdSDSS(空气中)0r(介质内)0rUEdlAB(dt)t00r(3) CS0rSUrd(r1)tr的电介质，设极板面积为8.如图所示，在平行板电容器的一半容

8、积内充入相对介电常数为S,两极板上分别带电荷为Q和Q,略去边缘效应。试求：(1)在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值;(2)两极板间的电势差U；(3)电容C。解：(1)充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1,有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度分别为2和1。取闭合圆柱面(圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，上底面圆在极板导体中，下底面圆在两极板之间)为高斯面，由oDdSq0得1E1E20 ,D22Di，0 0d，0 r0rd由、解得2r1S一(2)由电荷守恒定律知，(12)Q2由、解得2QdU(r1)0S(3) CQSU2dR2和R3,当内球9.半径为R1的

9、导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为带电荷Q时，求：(1)整个电场储存的能量；(2)将导体壳接地时整个电场储存的能量；(3)此电容器的电容值。解：如图所示，内球表面均匀带电Q,外球壳内表面均匀带电Q,外表面均匀带电Q(1)由高斯定理得当rR1和R2rR3时，E0当RirR2时,EiR3时,E22or所以,在Ri4冗°rR2区域WiR2iRi20(2orR3区域W2总能量为r2Q2drRi8冗0Q28九00(Q)24"为4冗°r2W1W2Q28兀R2(2)导体壳接地时，只有R1R2时EQ28T7(Rii(-)RiR2Q2i8兀0R3Q_2,其它区域E

10、4冗°r0,所以W20(3)电容器电容为c2WCQ2“i4冗0/(RiR2)10.一个圆柱形电容器，内圆柱面半径为两圆筒间充有两层相对介电常量分别为所示。设内、外圆柱面单位长度上带电荷(i)电容器的电容；(2)电容器储存的能量。解：(i)电场分布具有轴对称性，由介质中的高斯定理得ri和Ri,外圆柱面半径为R2,r2的各向同性均匀电介质，(即电荷线密度)分别为和长为L(LR2Ri),其分界面半径为R,如图,求：取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l,底面圆半径为r。SDdSD271rlqi当RrR2时，qi两圆筒间场强大小为D2TtrDE0r20rir(RirR)(RrR2)两圆筒间的

11、电势差为R2riLERidrdrRi2冗0rirR2drR2冗0.2rln九lnR2r1R120r2Rr2ln R/R10 r1 r2 Lr11n R2 /R电容器的电容为CU(2)电容器储存的能量1 Q2 W2 C11 .如图所示，一充电量为2lRR2r2lnr1lnR1R4冗0r1r2Q的平行板空气电容器，极板面积为S,间距为d,在保持极板上电量Q不变的条件下，平行地插入一厚度为d/2,面积S,相对电容率为的电介质平板,在插入电介质平板的过程中，外力需作多少功解：插入电介质平板之前,Wo1Q2插入电介质平板之后,2C0由本章习题20rS(r1)d0s一C。,电容器储存的能量为dQ2d2S7的解法可得到电容器储存的能量为1)d4orS2Q2d(1r)A W W0由能量守恒定律知，在插入电介质平板的过程中，外力作的功为4orS12.一球形电容器，内球壳半径为R1,外球壳半径为R2,两球壳间充有两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R,相对介电常数分别为求：(1)电容器的电容；(2)电容器储存的能量。解：(1)设球内球壳和外球壳分别带电r1和r2,如图所示。设在两球壳间加上电势差 U12Q、Q,电场具有球对称分布，以 r为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得2二 D dS D 4 r2Sqi当 R1 r R2 时，qi Q , D内球壳和外球壳之间场强大小为QDE 0 r